江苏省扬州市2015届高三上学期期末考试数学试题

江苏省扬州市2015届高三上学期期末考试数学试题2015年2月第I卷一、填空题（70分）1、集合A＝{－1,0，2}，B＝{x｜｜x｜＜1}，则AB＝＿＿＿＿＿＿2、已知i是虚数单位，则21(1)ii－的实部为＿＿＿＿＿3、命题P：“2,230xRxx”，命题P的否定：＿＿＿＿＿4、在三张奖券中有一、二等奖各一张，另一张无奖，甲乙两人各抽取一张（不放回），两人都中奖的概率为＿＿5、如图是一个算法流程图，输出的结果为＿＿＿＿＿6、已知样本6，7，8，9，m的平均数是8，则标准差是＿＿＿＿7、实数x，y满足24011xyxy，则2zxy的最小值为＿＿＿8、已知4(0,),cos5，则tan()4＝＿＿＿＿9、已知双曲线C：22221(0,0)xyabab的一条渐近线与直线l：3xy＝0垂直，且C的一个焦点到l的距离为2，则C的标准方程为＿＿＿＿10、设函数22,2(),2xaxfxxax，若f（x）的值域为R，是实数a的取值范围是＿＿＿＿11、已知A（,AAxy）是单位圆（圆心为坐标极点O，半径为1）上任一点，将射线OA绕点O逆时针旋转3到OB交单位圆于点B（,BBxy），已知m＞0，若2ABmyy的最大值为3，则m＝＿＿＿＿12、设实数x，y满足x2＋2xy－1＝0，则x2＋y2的最小值是＿＿＿＿13、设数列{na}的前n项和为Sn，且114()2nna，若对任意*nN，都有1(4)3npSn，则实数p的取值范围是＿＿＿＿＿14、已知A（0,1），曲线C：y＝logax恒过点B，若P是曲线C上的动点，且ABAP学科网的最小值为2，则a＝＿＿＿＿＿二、解答题（90分）15、（14分）已知函数()sin()(0,0,0)2fxAxA部分图象如图所示。（1）求函数f（x）的解析式；（2）当15[,]22x时，求函数(1)()yfxfx的值域。16、（14分）在三棱锥P－ABC中，D为AB的中点。（1）与BC平行的平面PDE交AC于点E，判断点E在AC上的位置并说明理由如下：（2）若PA＝PB，且△PCD为锐角三角形，又平面PCD⊥平面ABC，求证：AB⊥PC。17、（15分）如图，A，B，C是椭圆M：22221(0)xyabab上的三点，其中点A是椭圆的右顶点，BC过椭圆M的中心，且满足AC⊥BC，BC＝2AC。（1）求椭圆的离心率；（2）若y轴被△ABC的外接圆所截得弦长为9，求椭圆方程。18、（15分）如图，某商业中心O有通往正东方向和北偏东30º方向的两条街道，某公园P位于商业中心北偏东角（0tan332＜＜，），且与商业中心O的距离为21公里处，现要经过公园P修一条直路分别与两条街道交汇于A，B两处。（1）当AB沿正北方向时，试求商业中心到A，B两处的距离和；（2）若要使商业中心O到A，B两处的距离和最短，请确定A，B的最佳位置。19、（16分）已知数列{na}中，121,aaa，且12()nnnakaa对任意正整数都成立，数列{na}的前n项和为Sn。（1）若12k，且20152015Sa，求a；（2）是否存在实数k，使数列{na}是公比不为1的等比数列，且任意相邻三项12,,mmmaaa按某顺序排列后成等差数列，若存在，求出所有k值，若不存在，请说明理由；（3）若1,2nkS求。20、（16分）已知函数2(),()xfxegxaxbxc。（1）若f（x）的图象与g（x）的图象所在两条曲线的一个公共点在y轴上，且在该点处两条曲线的切线互相垂直，求b和c的值。（2）若a＝c＝1，b＝0，试比较f（x）与g（x）的大小，并说明理由；（3）若b＝c＝0，证明：对任意给定的正数a，总存在正数m，使得当x(,)m时，恒有f（x）＞g（x）成立。数学试题(附加题)(考试时间：30分钟总分：40分)21.A．（本小题满分10分，矩阵与变换）在平面直角坐标系xoy中，设曲线C1在矩阵A＝10102　　　　　对应的变换作用下得到曲线C2：2214xy，求曲线C1的方程。B．（本小题满分10分，坐标系与参数方程选讲）已知曲线C1的极坐标方程为2cos()42，以极点为原点，极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系，曲线C2的参数方程为2cossinxy，求曲线C1与曲线C2交点的直角坐标。［必做题］第22题，第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22.（(本小题满分10分)射击测试有两种方案，方案1：先在甲靶射击一次，以后都在乙靶射击；方案2：始终在乙靶射击，某射手命中甲靶的概率为23，命中一次得3分；命中乙靶的概率为34，命中一次得2分，若没有命中则得0分，用随机变量表示该射手一次测试累计得分，如果的值不低于3分就认为通过测试，立即停止射击；否则继续射击，但一次测试最多打靶3次，每次射击的结果相互独立。（1）如果该射手选择方案1，求其测试结束后所得部分的分布列和数学期望E；（2）该射手选择哪种方案通过测试的可能性大？请说明理由。23.（(本小题满分10分)对于给定的大于1的正整数n，设2012nnxaananan，其中ia{0,1,2,,1n}，1,2,,1,inn，且0na，记满足条件的所有x的和为An。（1）求A2（2）设nA(1)()2nnnfn；，求f（n）扬州市2014—2015学年度第一学期期末调研测试试题高三数学参考答案第一部分1.02．123.Rx,0322xx4.135.156.27.-28.179.221412xy10.12，，11.6112.51213.[2,3]14.e14.解：点(0,1)A，(1,0)B，设(,log)aPxx，则1,1,log1log1aaABAPxxxx．依题()fxlog1axx在(0,)上有最小值2且(1)2f，故1x是()fx的极值点，即最小值点．1ln1'()1lnlnxafxxaxa，若01a，'()0fx，()fx单调增，在(0,)无最小值；故1a，设'()0fx，则logaxe，当(0,log)axe时，'()0fx，当(log,)axe时，'()0fx，从而当且仅当logaxe时，()fx取最小值，所以log1ae，ae．15⑴由图，212,()1433TA，得4T，2，则()2sin()26fxx，……3分由22()2sin()2323f，得sin()13，所以2()32kkZ，又02，得6，所以()2sin()26fxx；……7分⑵(1)()2sin()2cos()22sin()2626212yfxfxxxx，……10分因为15[,]22x，故762126x，则1sin()12212x，即2()22fx，所以函数(1)()yfxfx的值域为[2,22]．……14分PACDE16⑴解：E为AC中点．理由如下：平面PDE交AC于E，即平面PDE平面ABCDE，而//BC平面PDE，BC平面ABC，所以//BCDE，……4分在ABC中，因为D为AB的中点，所以E为AC中点；……7分⑵证：因为PAPB，D为AB的中点，所以ABPD，因为平面PCD平面ABC，平面PCD平面ABCCD，在锐角PCD所在平面内作POCD于O，则PO平面ABC，…10分因为AB平面ABC，所以POAB又POPDP，,POPD平面PCD，则AB平面PCD，又PC平面PCD，所以ABPC．……14分17.解⑴因为BC过椭圆M的中心，所以22BCOCOB，又,2ACBCBCAC，所以OAC是以角C为直角的等腰直角三角形，……3分则10(,0),(,),(,),22222aaaaAaCBABa，所以2222()()221aaab，则223ab，所以2262,3cbe；……7分⑵ABC的外接圆圆心为AB中点(,)44aaP，半径为104a，则ABC的外接圆为：2225()()448aaxya……10分令0x，54ay或4ay，所以5()944aa，得6a，（也可以由垂径定理得22109()()442aa得6a）所以所求的椭圆方程为2213612xy．……15分18⑴以O为原点，OA所在直线为x轴建立坐标系．设(,)Pmn，∵02，tan33∴7cos14，321sin14，则9sin2mOP，3cos2nOP，……4分PABCDOyxPBOA依题意，AB⊥OA，则OA=92，OB=2OA=9，商业中心到A、B两处的距离和为13.5km．⑵方法1：当AB与x轴不垂直时，设AB：39()22ykx，①令0y，得3922Axk；由题意，直线OB的方程为3yx，②解①②联立的方程组，得932(3)Bkxk，∴229323BBBkOBxyxk，∴3993223kyOAOBkk，由0Ax，0Bx，得3k，或0k．……11分22228333(33)(53)'2(3)2(3)kkykkkk，令'0y，得33k，当33k时，'0y，y是减函数；当303k时，'0y，y是增函数，∴当33k时，y有极小值为9km；当3k时，'0y，y是减函数，结合⑴知13.5ykm．综上所述，商业中心到A、B两处的距离和最短为9km，此时OA=6km，OB=3km，方法2：如图，过P作PM//OA交OB于M，PN//OB交OA于N，设∠BAO=，△OPN中sin(90)sin(30)sin120PNONOP，得PN=1，ON=4=PM，△PNA中∠NPA=120°-∴sinsin(120)PNNA得sin(120)sinNA同理在△PMB中，sinsin(120)BMPM，得4sinsin(120)MB，sin(120)4sin142459sinsin(120)yOAOB，……13分当且仅当sin(120)4sinsinsin(120)即sin(120)2sin即3tan3时取等号．NMP北BOA方法3：若设点(,3)Bmm，则AB：392293322yxmm，得4(4,0)21Am，∴4424211492121OAOBmmmm，……13分当且仅当42121mm即32m时取等号．方法4：设(,0)An，AB：093022yxnn，得2142Bxn，442441(4)5944BOAOBnxnnnn，……13分当且仅当444nn即6n时取等号．答：A选地址离商业中心6km，B离商业中心3km为最佳位置．……15分19⑴12k时，121()2nnnaaa，211nnnnaaaa，所以数列{}na是等差数列，……1分此时首项11a，公差211daaa，数列{}na的前n项和是1(1)(1)2nSnnna，……3分故12015201520152014(1)2aa，即112014(1)2aa，得1a；……4分（没有过程，直接写1a不给分）⑵设数列{}na是等比数列，则它的公比21aqaa，所以1mmaa，1mmaa，12mmaa，……6分①若