江苏省淮阴市2014-2015学年度高三第一学期期中调研测试数学试题(含附加题)

江苏省淮阴区期中调研测试试题数学一、选择题（本大题满分70分，每小题5分）1、设集合}|{},1|{axxBxxA，若RBA，则实数a的取值范围为2、复数iiz2)21(的实部为3、某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6，则应从一年级本科生中抽取________名学生．4、从1、2、3、4这4个数中一次性随机地取两个数，则所取两个数的和为5的概率为5、函数)62sin(2xy的图像中，离坐标原点最近的一条对称轴的方程为6、阅读如图1­1所示的程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为图1­17、等比数列}{na的公比大于1，6,152415aaaa，则3a8、一个圆柱和一个圆锥同底等高，若圆锥的侧面积是其底面积的2倍，则圆柱的侧面积是其底面积的倍。9、在平面直角坐标系中，直线0323yx被圆422yx截得的弦长为10、设函数1sin)1()(22xxxxxf的最大值为M，最小值为m，则mM11、已知点),1(mP是函数xaxy2图像上的点，直线byx是该函数图像在P点处的切线，则mba12、设P为ABC中线AD的中点，D为边BC中点，且2AD，若3PCPB，则ACAB13、若存在正数x使1)(axex成立，则a的取值范围是14、已知0,0,1xyyx，则1||||21yxx的最小值为二、解答题（本大题共6小题，共90分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15、（本题满分14分）已知2tan),,2(（1）求)4sin(的值；（2）求)232cos(的值。16、（本题满分14分）如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，ADPD，AF⊥PC于点F，FE∥CD交PD于点E.(1)证明：CF⊥平面ADF；(2)若OBDAC，证明//FO平面AED17、（本题满分15分）设椭圆)0(12222babyax的左焦点为F，短轴上端点为B，连接BF并延长交椭圆于点A，连接AO并延长交椭圆于点D，过OF、、B三点的圆的圆心为C。（1）若C的坐标为）（1,1-，求椭圆方程和圆C的方程；（2）若AD为圆C的切线，求椭圆的离心率。18、为迎接省运会在我市召开，美化城市，在某主干道上布置系列大型花盆，该圆形花盆直径2米，内部划分为不同区域种植不同花草。如图所示，在蝶形区域内种植百日红，该蝶形区域由四个对称的全等三角形组成，其中一个三角形OAB的顶点O为圆心，A在圆周上，B在半径OQ上，设计要求120ABO。（1）请设置一个变量x，写出该蝶形区域的面积S关于x的函数表达式；（2x为多少时，该蝶形区域面积S最大？19、（本题满分16分设数列}{na的前n项和为nS（1）若数列}{na是首项为1，公比为2的等比数列，求常数tm,的值，使tmaSnn对一切大于零的自然数n都成立。（2）若数列}{na是首项为1a，公差0d的等差数列，证明：存在常数btm,,使得btamaSnnn2对一切大于零的自然数n都成立，且21t。（3）若数列}{na满足btamaSnnn2，Nn，btm、、（0m）为常数，且0nS，证明：当21t时，数列}{na为等差数列。20、（本题满分16分）已知函数xeexfxx2)(，Rx（1）证明)(xf为奇函数，并在R上为增函数；（2）若关于x的不等式322)(mxmexfx在),0(上恒成立，求实数m的取值范围（3）设)(4)2()(xbfxfxg，当0x时，0)(xg，求b的最大值。POBQA数学（附加题）21、（本小题满分10分）已知在一个二阶矩阵M的变换作用下,点)1,2(A变成了点)4,3(A，点)2,1(B变成了点)5,0(B，求矩阵M.22、（本小题满分10分）在极坐标系中，已知圆)4cos(2与直线a)4sin(2相切，求实数a的值。23、（本小题满分10分）如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，BA⊥AC，AB＝AC＝A1B＝2，顶点A1在底面ABC上的射影恰为点B．（1）求异面直线AA1与BC所成角的大小；（2）在棱B1C1上确定一点P，使AP＝14，并求出二面角P－AB－A1的平面角的余弦值．24、（本小题满分10分）已知1(1)2nx展开式的各项依次记为1231(),(),(),(),()nnaxaxaxaxax．设1231()()2()3(),()(1)()nnFxaxaxaxnaxnax．（1）若123(),(),()axaxax的系数依次成等差数列，求n的值；（2）求证：对任意12,[0,2]xx，恒有112|()()|2(2)1nFxFxnC1B1BACA1（第23题）数学答案及评分标准一、填空题1、1a；2、-3；3、60；4、31；5、6；6、9；7、48、32；9、2；10、2；11、2；12、0；13、1a；14、43二、解答题15、解：（1）由2tan),,2(得552sin，55cos。。。。。。。4分，每个数据2分sin4coscos4sin)4sin(。。。。公式2分10101。。。。。。。。。。。。。。。。。。结论2分（2）cossin22sin54。。。。。。2分，公式和结论各1分53sincos2cos22。。。。2分，也可以用平方关系方法得到103432sin32sin2cos32cos)232cos(。。。。。。2分，公式和结论各1分16、（1）由PD⊥平面ABCD，得ADPD（1分）由CDCADDCADPDAD,,AD平面PDC（3分，少一个条件扣一分）CFAD（1分）由CCFAFCFAFCFAD,,CF平面ADF（2分）（2）因为AD=PD，由（1）知，F为PC中点。取AD中点M。连AM、EM，证明FO//EM本小题方法较多，关键采分点是证明线面平行的相关要素17、（1）因为三角形BFO为直角三角形，所以其外接圆圆心为斜边BF中点C，由C点坐标为)1,1(得，2,2cb，所以222cba8，圆半径2COr，所以椭圆方程为14822yx，圆方程为2)1()1(22yx（4分，每个方程2分）（2）由AD与圆C相切，得COADBF方程为bxcby由12222byaxbxcby得),)(2(2232222cabcaccaA。。。（6分，每个坐标3分）0OCOA得2242cab，222222)(caca044224ccaa，32e（5分）18、（1）设xAOB，在三角形AOB中，由正弦定理得231120sin)60sin(sinAOxOBxABxxxOBOASSAOBsin)60sin(34sin24（7分）（2）整理得33)302sin(332xS（整理过程和结论共6分，过程4分，结论2分）所以30x时，蝶形区域面积最大（2分）注：本题也可以用余弦定理和基本不等式解答，参照得分19、（1）12212111nnnnaaqqaaS所以1,2tm（4分）（2）在等差数列}{na中，dnaan)1(1，所以11daanndaaaadddaadaaadaadnnnaSnnnnnn222121))(1(21)1()1(21211211111所以存在dm21，21d，daab22211使得命题成立（6分）（3）由题知)2()(21)(1212naaaaamSSnnnnninn0)(21)(1212nnnnaaaam0]21)()[(11nnnnaamaa若,01nnaa则02S，与题设矛盾所以21)(1nnaam，0m，得maann211所以数列}{na为等差数列（6分）20、（1）Rx，)(.....)(xfxf，所以)(xf为奇函数（2分）不写定义域扣1分021)(2/eexfx在R上恒成立，所以)(xf在R上增（2分）（2）由322)(mxmexfx变形得xxxeeem2112令1xet得43113412tttttm得43211m。。。。。（本小题共6分）（3）g(x)＝f(2x)－4bf(x)＝e2x－e－2x－4b(ex－e－x)＋(8b－4)x，g′(x)＝2[e2x＋e－2x－2b(ex＋e－x)＋(4b－2)]＝2(ex＋e－x－2)(ex＋e－x－2b＋2)．(i)当b≤2时，g′(x)≥0，等号仅当x＝0时成立，所以g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．而g(0)＝0，所以对任意x0，g(x)0.(ii)当b2时，若x满足2ex＋e－x2b－2，即0xln(b－1＋b2－2b)时，g′(x)0.而g(0)＝0，因此当0xln(b－1＋b2－2b)时，g(x)0.综上，b的最大值为2.。。。。。（本小题共6分）理科附加题答案21.2112M22、解：a=1或-123、解（1）建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0,2,0)，B(2,0,0)，A1(0,－2,2)，B1(4,0,2)．从而，AA1→＝(0,－2,2)，BC→＝B1C1→＝(－2,2,0)．……………………2分记AA1→与BC→的夹角为θ，则有cosθ＝AA1→·BC→|AA1→|·|BC→|＝－48·8＝－12.又由异面直线AA1与BC所成角的范围为（0，π），可得异面直线AA1与BC所成的角为60º.……………………4分（2）记平面PAB和平面ABA1的法向量分别为m和n，则由题设可令m＝(x,y,z)，且有平面ABA1的法向量为n＝(0,2,0).设B1P→＝λB1C1→＝(－2λ,2λ,0)，则P(4－2λ,2λ,2)．于是AP＝(4－2λ)2＋(2λ)2＋22＝14，解得λ＝12或λ＝32．又题设可知λ∈(0,1)，则λ＝32舍去，故有λ＝12．从而，P为棱B1C1的中点，则坐标为P(3,1,2)．……………6分由平面PAB的法向量为m，故m⊥AP→且m⊥PB→.由m·AP→＝0，即(x,y,z)·(3,1,2)＝0，解得3x＋y＋2z＝0；①由m·PB→＝0，即(x,y,z)·(－1,－1,－2)＝0，解得－x－y－2z＝0，②解方程①、②可得，x＝0，y＋2z＝0，令y＝－2，z＝1，则有m＝(0,－2,1).……………8分记平面PAB和平面ABA1所成的角为β，则cosβ＝m·n|m|·|n|＝(0,－2,1)·(0,2,0)5·2＝－425＝－255.故二面角P－AB－A1的平面角的余弦值是255．……10分zyxC1B1BCAA1（第23题）24、24．解：（1）依题意111()()2kkknaxCx，1,2,3,,1kn，123(),(),()axaxax的系数依次为01nC，1122nnC，221(1)()28nnnC，所以(1)2128nnn，解得8n；………4分（2）1231()()2()3(),()(1)()nnFxaxaxaxnaxnax01221111112()3()()(1)()2222nnnnnnnnnCCxCxnCxnCx0121(2)23(1)nnnnnnnFCCCnCnC设012123(1)nnnnnnnnSCCCnCnC，则1210(1)32n