江苏省连云港徐州宿迁三市2015届高三下学期第三次模拟数学试卷Word版含解析

-1-2015年江苏省连云港、徐州、宿迁三市高考数学三模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分。不需写出解答过程。请把答案写在答题卡的指定位置上。1．已知复数z=i（3+4i）（i为虚数单位），则z的模为．2．已知集合A={﹣1，3}，B={2，4}，则A∩B=．3．如图是某市2014年11月份30天的空气污染指数的频率分布直方图．根据国家标准，污染指数在区间[0，51）内，空气质量为优；在区间[51，101）内，空气质量为良；在区间[101，151）内，空气质量为轻微污染；…，由此可知该市11月份空气质量为优或良的天数有天．4．执行如图所示的程序框图，则输出k的值是．5．已知集合A={0，1}，B={2，3，4}，若从A，B中各取一个数，则这两个数之和不小于4的概率为．6．设等差数列{an}的前n项和为Sn，a3+a5=26，S4=28，则a10的值为．7．设函数f（x）=，则f（f（﹣1））的值为．8．已知双曲线C的离心率为2，它的一个焦点是抛物线x2=8y的焦点，则双曲线C的标准方程为．-2-9．f（x）=sin（ωx+）（0＜ω＜2），若f（）=1，则函数f（x）的最小正周期为．10．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面AB1C1，AA1=1，底面△ABC是边长为2的正三角形，则此三棱柱的体积为．11．如图，半径为2的扇形的圆心角为120°，M，N分别为半径OP，OQ的中点，A为上任意一点，则•的取值范围是．12．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣a+2）2=1，点A（0，2），若圆C上存在点M，满足MA2+MO2=10，则实数a的取值范围是．13．已知实数x，y满足条件，若不等式m（x2+y2）≤（x+y）2恒成立，则实数m的最大值是．14．函数f（x）=ax﹣x2（a＞1）有三个不同的零点，则实数a的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，计90分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内。15．在△ABC在，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosC=，sinA=cosB．（1）求tanB的值；（2）若c=，求△ABC的面积．16．如图，矩形ABCD所在平面与三角形ECD所在平面相交于CD，AE⊥平面ECD．（1）求证：AB⊥平面ADE；（2）若点M在线段AE上，AM=2ME，N为线段CD中点，求证：EN∥平面BDM．-3-17．如图，在P地正西方向8km的A处和正东方向1km的B处各有一条正北方向的公路AC和BD，现计划在AC和BD路边各修建一个物流中心E和F，为缓解交通压力，决定修建两条互相垂直的公路PE和PF，设∠EPA=α（0＜α＜）．（1）为减少对周边区域的影响，试确定E，F的位置，使△PAE与△PFB的面积之和最小；（2）为节省建设成本，试确定E，F的位置，使PE+PF的值最小．18．如图，已知椭圆M：=1（a＞b＞0），其离心率为，两条准线之间的距离为．B，C分别为椭圆M的上、下顶点，过点T（t，2）（t≠0）的直线TB，TC分别与椭圆M交于E，F两点．（1）求椭圆M的标准方程；（2）若△TBC的面积是△TEF的面积的k倍，求k的最大值．19．设正项数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=+an，n∈N*．正项等比数列{bn}满足：b2=a2，b4=a6．-4-（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）设cn=，数列{cn}的前n项和为Tn，求所有正整数m的值，使得恰好为数列{cn}中的项．20．已知函数f（x）=x3+ax2﹣x+b，其中a，b为常数．（1）当a=﹣1时，若函数f（x）在[0，1]上的最小值为，求b的值；（2）讨论函数f（x）在区间（a，+∞）上的单调性；（3）若曲线y=f（x）上存在一点P，使得曲线在点P处的切线与经过点P的另一条切线互相垂直，求a的取值范围．选修4-1：几何证明选讲21．如图，已知直线AB为圆O的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D．证明：DB=DC．（选修4-2：矩阵与交换）22．已知矩阵A的逆矩阵A﹣1=．求曲线xy=1在矩阵A所对应的变换作用下所得的曲线方程．（选修4-4：坐标系与参数方程）23．已知曲线C1的参数方程为（α为参数）．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos（θ+）=2．求C1与C2交点的极坐标，其中ρ≥0，0≤θ＜2π．（选修4-5：不等式选讲）-5-24．已知a，b，c都是正数，求证：≥abc．[必做题]每小题10分，计20分。请把答案写在答题卡的指定区域内。25．如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，沿对角线BD将△ABD折起，使A，C之间的距离为，若P，Q分别为线段BD，CA上的动点．（1）求线段PQ长度的最小值；（2）当线段PQ长度最小时，求直线PQ与平面ACD所成角的正弦值．26．设a，b，n∈N*，且a≠b，对于二项式（1）当n=3，4时，分别将该二项式表示为﹣（p，q∈N*）的形式；（2）求证：存在p，q∈N*，使得等式=﹣与（a﹣b）n=p﹣q同时成立．-6-2015年江苏省连云港、徐州、宿迁三市高考数学三模试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分。不需写出解答过程。请把答案写在答题卡的指定位置上。1．已知复数z=i（3+4i）（i为虚数单位），则z的模为5．考点：复数求模；复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．解答：解：复数z=i（3+4i）=3i﹣4．∴|z|==5．故答案为：5．点评：本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，属于基础题．2．已知集合A={﹣1，3}，B={2，4}，则A∩B={2}．考点：交集及其运算．专题：集合．分析：根据交集的运算定义计算即可．解答：解：集合A={﹣1，3}，B={2，4}，∴A∩B={2}；故答案为：{2}点评：本题考查了交集的运算，属于基础题．3．如图是某市2014年11月份30天的空气污染指数的频率分布直方图．根据国家标准，污染指数在区间[0，51）内，空气质量为优；在区间[51，101）内，空气质量为良；在区间[101，151）内，空气质量为轻微污染；…，由此可知该市11月份空气质量为优或良的天数有28天．考点：频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：根据频率和为1，利用频率=，求出对应的频率与频数即可．-7-解答：解：根据频率分布直方图，得；该市11月份空气污染指数在100内的频率为1﹣×10=，∴该市11份空气质量为优或良的天数有：30×=28．故答案为：28．点评：本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率、频数与样本容量的应用问题，是基础题目．4．执行如图所示的程序框图，则输出k的值是4．考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，k的值，当S=12时不满足条件S＜12，退出循环，输出k的值为4．解答：解：模拟执行程序框图，可得k=1，S=0满足条件S＜12，S=2，k=2满足条件S＜12，S=6，k=3满足条件S＜12，S=12，k=4不满足条件S＜12，退出循环，输出k的值为4．故答案为：4．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的S，k的值是解题的关键，属于基础题．5．已知集合A={0，1}，B={2，3，4}，若从A，B中各取一个数，则这两个数之和不小于4的概率为．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．-8-分析：集合合A={0，1}，B={2，3，4}，从A，B中各取任意一个数，取法总数为6，这两个数之和不小于4的情况有2种，由此能求出两个数之和不小于4的概率解答：解：集合A={0，1}，B={2，3，4}，从A，B中各取任意一个数，取法总数为：2×3=6，这两个数之和不小于4的情况有，0+4，1+3，1+4共3种，∴这两个数之和不小于4的概率p==，故答案为：点评：本题考查概率的求法，是基础题，解题时要注意古典概型概率计算公式的合理运用6．设等差数列{an}的前n项和为Sn，a3+a5=26，S4=28，则a10的值为37．考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：设出等差数列的首项和公差，由已知列式求得首项和公差，再由等差数列的通项公式求得a10的值．解答：解：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由a3+a5=26，S4=28，得：，解得：．∴a10=a1+9d=1+36=37．故答案为：37．点评：本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和，是基础题．7．设函数f（x）=，则f（f（﹣1））的值为﹣2．考点：分段函数的应用；函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：直接利用分段函数化简求解即可．解答：解：函数f（x）=，则f（﹣1）=，f（f（﹣1））=f（）=log2=﹣2．故答案为：﹣2．点评：本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力．-9-8．已知双曲线C的离心率为2，它的一个焦点是抛物线x2=8y的焦点，则双曲线C的标准方程为y2﹣．考点：抛物线的简单性质；双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用抛物线的焦点坐标得到双曲线的焦距，然后利用离心率求出a，b，即可求解双曲线方程．解答：解：抛物线x2=8y的焦点为（0，2），双曲线C的一个焦点是抛物线x2=8y的焦点，所以c=2，双曲线C的离心率为2，所以a=1，则b=，所求双曲线方程为：y2﹣．故答案为：y2﹣．点评：本题考查圆锥曲线方程的综合应用，考查计算能力．9．f（x）=sin（ωx+）（0＜ω＜2），若f（）=1，则函数f（x）的最小正周期为4π．考点：三角函数的周期性及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：由条件求得ω=，f（x）=sin（x+），再根据函数y=Asin（ωx+φ）的周期为，得出结论．解答：解：由于f（x）=sin（ωx+）（0＜ω＜2），f（）=sin（+）=1，∴+=2kπ+k∈z，即ω=3k+，∴ω=，f（x）=sin（x+），故函数f（x）的最小正周期为=4π，故答案为：4π．点评：本题主要考查根据三角函数的值求角，函数y=Asin（ωx+φ）的周期性，利用了函数y=Asin（ωx+φ）的周期为，属于基础题．10．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面AB1C1，AA1=1，底面△ABC是边长为2的正三角形，则此三棱柱的体积为．-10-考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由等积法证明，然后利用棱锥的体积公式求得答案．解答：解：如图，连接B1C，则，又，∴，∵AA1⊥平面AB1C1，AA1=1，底面△ABC是边长为2的正三角形，∴．点评：本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系及体积等基础知识；考查学生的空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力，是中档题．11．如图，半径为2的扇形的圆心角为120°，M，N分别为半径OP，OQ的中点，A为上任意一点，则•的取值范围是[，]．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由题意，设∠AOM=θ，将所求用向量表示，利用向量的数量积公式表示为θ的代数式，利用正弦函数的有界性求范围．解答：解：由题意，设∠AOM=θ，则•=（）（）==+4﹣2cosθ﹣2cos（120°﹣θ）-11-=﹣cosθ﹣sinθ=﹣2sin（θ+30°），因为θ∈[0，120°]，所以（θ+30°）∈[30°，150°]，所以sin（θ+30°），所以•的取值范围是[，]；故答案为：[，]．点评：本题考查了向量的数量积运算以及三角函数的恒等变形求范围；关键是将所求用向量的夹角表示，借助于三角函数的有界性求范围．12．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣a+2）2=1，点A（0，2），若圆