材料力学实验论文

关于𝐺=E2(1+ν）的证明摘要：众所周知，材料力学在工科专业中发挥着不可忽视的重要基础作用，前人们也对此进行了深入的研究和探索，为我们现在的快速计算打下了良好的基础，胡克定律的发明极大方便了弹力的计算，而剪切模量𝐺、弹性模量E和泊松比ν的发现也方便了我们对应力的计算，三者关系的得出更是提升了我们的计算效率。本文首先对剪切模量、弹性模量和泊松比的重要意义进行了说明，然后证明了三者之间的关系，最后简要谈一些相关应用。关键词：剪切模量、弹性模量、泊松比、应用引言：在学习《材料力学》到关于扭转时，学到了弹性胡克定律：σ=Eε，式中σ为正应力，E为弹性模量，ε为线应变；泊松比：v=𝜀1𝜀2，式中v为泊松比，𝜀1为横向线应变，𝜀2为轴向线应变；剪切胡克定律：τ=Gγ，式中τ为切应力，γ为切应变，G为切变模量。对各向同性材料，材料的三个弹性常数：弹性模量E、泊松比ν和切变模量G之间存在下列关系𝐺=E2(1+ν）。但是教材中并没有给出详细证明，所以我把这个问题留作材料力学实验论文的主要研究方面。主要概念：剪切模量：材料常数，是剪切应力与应变的比值。又称切变模量或刚性模量。材料的力学性能指标之一。是材料在剪切应力作用下，在弹性变形比例极限范围内，切应力与切应变的比值。它表征材料抵抗切应变的能力。模量大，则表示材料的刚性强。剪切模量的倒数称为剪切柔量，是单位剪切力作用下发生切应变的量度，可表示材料剪切变形的难易程度。弹性模量：材料在弹性变形阶段，其应力和应变成正比例关系（即符合胡克定律），其比例系数称为弹性模量。弹性模量的单位是达因每平方厘米。泊松比：是材料横向应变与纵向应变的比值的绝对值（即比值的负数），也叫横向变形系数，它是反映材料横向变形的弹性常数。[3]首先，从量纲上进行分析，剪切模量和弹性模量的单位均为帕，泊松比的单位为1，公式符合量纲要求。下面从公式关系上进行分析，为方便研究,笔者选择纯剪切平面应力状态单元体,如图1所示。在纯剪切应力状态下，由于1=,=，根据主应力的广义胡克定律，得主应变𝜀1=1𝐸(1𝜐)=（1+υ）𝐸……………(1)单元体内任意斜面上的线应变公式𝜀𝛼=12(𝜀+𝜀)+12(𝜀𝜀)cos2𝛼+12𝛾cos2𝛼………(2)公式（2）推导如下：图2图3图4图5如图2，取一微元体，设其边长分别为dx,dy,角度为α，则可得下式：由图3可知：Δ𝐿1=𝜀𝑥𝑑𝑥cos𝛼............................(3)由图4可知：Δ𝐿2=𝜀𝑦𝑑𝑦sin𝛼............................(4)由图5可知：Δ𝐿=𝛾𝑥𝑦𝑑𝑥sin𝛼...........................(5)由叠加定理和（3）（4）（5）可得，ΔL=Δ𝐿1+Δ𝐿2+Δ𝐿，𝜀𝑦𝑑𝑦𝛾𝑥𝑦𝑑𝑥α1ααα𝜀𝑥𝑑𝑥𝜀𝛼=Δ𝐿Δ𝑆=𝜀𝑑𝑥cos𝛼+𝜀𝑑𝑦sin𝛼+𝛾𝑑𝑥sin𝛼Δ𝑆因为𝑑𝑑𝑠=cos𝛼,𝑑𝑑𝑠=sin𝛼。所以𝜀𝛼=𝜀cos𝛼cos𝛼+𝜀sin𝛼sin𝛼+𝛾cos𝛼sin𝛼=12(𝜀+𝜀)+12(𝜀𝜀)cos2𝛼+12𝛾cos2𝛼令α=45°εx=εy=0，则单元体中45°方向的应变为𝜀=2…………(6)=𝐺𝛾……(7)因为45°方向是最大主应变方向，所以二者相等，即𝜀=𝜀1……(8)由（1）、（6）、（7）和（8）可知，2=(1+)𝐸,化简可得𝐺=E2(1+ν）故原公式得证。