材料力学第3章扭转.

材料力学第三章扭转§3-1扭转的概念和实例§3-2外力偶矩的计算扭矩和扭矩图§3-3纯剪切§3-4圆轴扭转时的应力§3-5圆轴扭转时的变形§3-6圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形§3-7非圆截面杆的扭转材料力学第三章扭转§3-1扭转的概念和实例1．受力特征：在杆件两端垂直于杆轴线的平面内作用一对大小相等，方向相反的外力偶。2．变形特征：横截面形状大小未变，只是绕轴线发生相对转动。轴：以扭转为主要变形的构件称为轴。材料力学第三章扭转材料力学第三章扭转受扭转变形杆件通常为轴类零件，其横截面大都是圆形的，所以本章主要介绍圆轴扭转。材料力学第三章扭转§3-2外力偶矩的计算扭矩和扭矩图直接计算1．外力偶矩材料力学第三章扭转按输入功率和转速计算电机每秒输入功：外力偶作功完成：)N.m(1000kPW602nMWe已知轴转速－n转/分钟输出功率－P千瓦求：力偶矩Mem)(N9550nPm材料力学第三章扭转例3-2-1传动轴如图所示，主动轮A输入功率PA=50kW，从动轮B、C、D输出功率分别为PB=PC=15kW，PD=20kW，轴的转速n=300r/min，计算各轮上所受的外力偶矩。MAMBMCBCADMD解：计算外力偶矩mN6379550mN5.4779550mN15929550nPMnPMMnPMDDBCBAA材料力学第三章扭转2．扭矩与扭矩图,0xM由0eMTeMT＝得扭矩的正负号规定：按右手螺旋法则，T矢量背离截面为正，指向截面为负（或矢量与截面外法线方向一致为正，反之为负）T称为截面n-n上的扭矩。用截面法求扭矩时，建议均假设各截面扭矩T为正，如果由平衡方程得到T为正，则说明是正的扭矩，如果为负，则是负的扭矩。在画轴的扭矩图，正的扭矩画在x轴上方，负的扭矩画在x轴下方。注意MeMeMeTx材料力学第三章扭转扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化规律的图线。目的①扭矩变化规律；②|T|max值及其截面位置强度计算（危险截面）。xT材料力学第三章扭转例3-2-2计算例3-2-1中所示轴的扭矩，并作扭矩图。MAMBMCBCADMD解：已知mN637mN5.477mN1592DCBAMMMM477.5N·m955N·m637N·mT+-作扭矩图如左图示。材料力学第三章扭转例3-2-3已知：一传动轴，n=300r/min，主动轮输入P1=500kW，从动轮输出P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图。解：①计算外力偶矩m)15.9(kN3005009.5555911nP.mm)(kN78.43001509.5555.9232nPmmm)(kN37.63002009.5555.944nPmnABCDm2m3m1m4112233材料力学第三章扭转②求扭矩（扭矩按正方向设）mkN7840,02121.mTmTmCmkN569784784(,0322322.)..mmTmmTmkN37.6,04343mTmT材料力学第三章扭转③绘制扭矩图mkN569max.TBC段为危险截面。xTnABCDm2m3m1m44.789.566.37––材料力学第三章扭转§3-3纯剪切薄壁圆筒：壁厚r101（r：为平均半径）1．实验：实验前：①绘纵向线，圆周线；②施加一对外力偶m。一、薄壁圆筒扭转时的切应力材料力学第三章扭转2．实验后：①圆周线不变；②纵向线变成斜直线。3．结论：①圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改变，只是绕轴线作了相对转动。②各纵向线均倾斜了同一微小角度。③所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。材料力学第三章扭转acddxbdy´´①无正应力②横截面上各点处，只产生垂直于半径的均匀分布的剪应力，沿周向大小不变，方向与该截面的扭矩方向一致。4．与的关系：LRRL微小矩形单元体如图所示：材料力学第三章扭转5．薄壁圆筒剪应力大小：2222dd2AMATrTTrrArTrAeAAA：平均半径所作圆的面积。材料力学第三章扭转二、切应力互等定理：0故dxdytdxdytmz上式称为剪应力互等定理。该定理表明：在单元体相互垂直的两个平面上，剪应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向则共同指向或共同背离该交线。acddxbdy´´tz材料力学第三章扭转三、切应变剪切胡克定律单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力作用，这种应力状态称为纯剪切应力状态。材料力学第三章扭转T=m)()2(0RLtAT剪切虎克定律：当剪应力不超过材料的剪切比例极限时（τ≤τp)，剪应力与剪应变成正比关系。材料力学第三章扭转G式中：G是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，因无量纲，故G的量纲与相同，不同材料的G值可通过实验确定，钢材的G值约为80GPa。剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系（推导详见后面章节）：可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量就可以推算出来。)1(2EG材料力学第三章扭转1.横截面变形后仍为平面；2.轴向无伸缩；3.纵向线变形后仍为平行。平面假设：变形前为平面的横截面变形后仍为平面，它像刚性平面一样绕轴线旋转了一个角度。§3-4圆轴扭转时的应力一、等直圆杆扭转实验观察：材料力学第三章扭转二、等直圆杆扭转时横截面上的应力：1.变形几何关系：xddtg距圆心为任一点处的与到圆心的距离成正比。xdd——扭转角沿长度方向变化率。材料力学第三章扭转2.物理关系：虎克定律：代入上式得：GxGxGGddddxGdd材料力学第三章扭转3.静力学关系：OdAAxGAxGATAAAddddddd22AIApd2令xGITpddpGITxdd代入物理关系式得：xGddpIT材料力学第三章扭转pIT—横截面上距圆心为处任一点剪应力计算公式。4.公式讨论：①仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面直杆。②式中：T—横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。—该点到圆心的距离。Ip—极惯性矩，纯几何量，无物理意义。材料力学第三章扭转单位：mm4，m4。AIApd2③尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，只是Ip值不同。4420221032d2dD.DAIDAp对于实心圆截面：DdO材料力学第三章扭转对于空心圆截面：)1(10)1(32)(32d2d4444442222D.DdDAIDdAp)(DddDOd材料力学第三章扭转④应力分布（实心截面）（空心截面）工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻，结构轻便，应用广泛。材料力学第三章扭转⑤确定最大剪应力：pIT由知：当max,2dR)2(22maxdIWWTdITIdTptpp令tWTmaxWt—抗扭截面系数（抗扭截面模量），几何量，单位：mm3或m3。对于实心圆截面：332016D.DRIWpt对于空心圆截面：)-(12016)1(4343D.DRIWpt材料力学第三章扭转三、强度条件强度条件：，[]—许用切应力；][pmaxmaWTx轴扭转时，其表层即最大扭转切应力作用点处于纯剪切状态，所以，扭转许用切应力也可利用上述关系确定。理论与试验研究均表明，材料纯剪切时的许用切应力[]与许用正应力[]之间存在下述关系：对于塑性材料．[]＝(0.5一0.577)[]对于脆性材料，[]＝(0.8—1.0)[l]式中，[l]代表许用拉应力。材料力学第三章扭转强度计算三方面：①校核强度：②设计截面尺寸：③计算许可载荷：][maxmaxtWT][maxTWt][maxtWT）（空：实：43311616DDWt材料力学第三章扭转例3-4-1：一厚度为30mm、内直径为230mm的空心圆管，承受扭矩T=180kN·m。试求管中的最大剪应力，使用：(1)薄壁管的近似理论；(2)精确的扭转理论。解：(1)利用薄壁管的近似理论可求得trT2max2)1(1643maxDT(2)利用精确的扭转理论可求得43329023011629.010180MPa2.6203.013.021018023MPa5.56材料力学第三章扭转例3-4-2：一空心圆轴，内外径之比为α=0.5，两端受扭转力偶矩作用，最大许可扭矩为Ｔ，若将轴的横截面面积增加一倍，内外径之比仍保持不变，则其最大许可扭矩为Ｔ的多少倍？（按强度计算）。解：设空心圆轴的内、外径原分别为d、D，面积增大一倍后内外径分别变为d1、D1，最大许可扭矩为Ｔ1由TDTD113434161161()()[]由得DDDD1222214105241052(.)(.)828.222/3311DDTT得材料力学第三章扭转例3-4-3：某汽车主传动轴钢管外径D=76mm，壁厚t=2.5mm，传递扭矩T=1.98kN·m，[]=100MPa，试校核轴的强度。33pp4444p103.202/101.77)1(32mmDIWmmDI][5.97PMPaWTmaxmax解：计算截面参数：由强度条件：故轴的强度满足要求。材料力学第三章扭转同样强度下，空心轴使用材料仅为实心轴的三分之一，故空心轴较实心轴合理。31334.044)2(222dtDDAA实空空心轴与实心轴的截面面积比(重量比)为：MPadWTmaxmax5.9716/1098.133p由上式解出：d=46.9mm。MPamax5.97若将空心轴改成实心轴，仍使，则材料力学第三章扭转例3-4-4：功率为150kW，转速为15.4转/秒的电动机转子轴如图，许用剪应力[]=30MPa,试校核其强度。nNmTBC2103m)(kN55.1m)(N4.1514.32101503Tm解：①求扭矩及扭矩图②计算并校核剪应力强度③此轴满足强度要求。x][MPa231607.01055.133maxtWT材料力学第三章扭转§3-5圆轴扭转时的变形一、扭转时的变形由公式pGITxdd知：长为l一段杆两截面间相对扭转角为值不变）若(dd0TGITlxGITplp对于阶梯轴，两端面间相对扭转角为1nipiiiGIlT材料力学第三章扭转二、单位扭转角：(rad/m)ddpGITx/m)(180ddpGITx或三、刚度条件(rad/m)maxpGIT/m)(180maxpGIT或GIp—抗扭刚度，表示杆抵抗扭转变形能力的强弱。[]称为许用单位扭转角。材料力学第三章扭转刚度计算的三方面：①校核刚度：②设计截面尺寸：③计算许可载荷：][maxGTIp][maxpGIT有时，还可依据此条件进行选材。max材料力学第三章扭转例3-5-1：图示圆截面轴AC，承受扭力矩MA，MB与MC作用，试计算该轴的总扭转角φAC(即截面C对截面A的相对转角)，并校核轴的刚度。已知MA＝180N·m，MB＝320N·m，MC＝140N·m，Iρ＝3.0×105mm4，l=2m，G＝80GPa，[θ]＝0