材料力学第五章弯曲应力1.

(StressesinBeams)Chapter5StressesinbeamsMechanicsofMaterials(StressesinBeams)§5–1引言(Introduction)§5–2纯弯曲时的正应力(Normalstressesinpurebeams)§5–3横力弯曲时的正应力(Normalstressesintransversebending)§5–4梁的切应力及强度条件(Shearstressesinbeamsandstrengthcondition)第五章弯曲应力(Stressesinbeams)§5–5提高梁强度的主要措施（Measurestostrengthenthestrengthofbeams)(StressesinBeams)mmFSM一、弯曲构件横截面上的应力当梁上有横向外力作用时,一般情况下,梁的横截面上既有弯矩M,又有剪力FS.§5–1引言(Introduction)mmFSmmM弯矩M正应力只有与正应力有关的法向内力元素dFN=dA才能合成弯矩剪力FS切应力内力只有与切应力有关的切向内力元素dFS=dA才能合成剪力所以,在梁的横截面上一般既有正应力,又有切应力(StressesinBeams)二、分析方法(Analysismethod)平面弯曲时横截面纯弯曲梁(横截面上只有M而无FS的情况)平面弯曲时横截面横力弯曲(横截面上既有FS又有M的情况)简支梁CD段任一横截面上,剪力等于零,而弯矩为常量,所以该段梁的弯曲就是纯弯曲(Purebending).若梁在某段内各横截面的弯矩为常量,剪力为零,则该段梁的弯曲就称为纯弯曲(Purebending).三、纯弯曲（Purebending)FFaaCD++FF+F.a图5-1AB(StressesinBeams)变形几何关系物理关系静力关系观察变形，提出假设变形的分布规律应力的分布规律建立公式§5–2纯弯曲时的正应力(Normalstressesinpurebeams)(StressesinBeams)一、实验（Experiment）1、变形现象（Deformationphenomenon)纵向线且靠近顶端的纵向线缩短，靠近底端的纵向线段伸长相对转过了一个角度,仍与变形后的纵向弧线垂直各横向线仍保持为直线，各纵向线段弯成弧线，横向线(StressesinBeams)2、提出假设(Assumptions）(a)平面假设变形前为平面的横截面变形后仍保持为平面且垂直于变形后的梁轴线(b)单向受力假设纵向纤维不相互挤压,只受单向拉压推论：必有一层变形前后长度不变的纤维——中性层（Neutralsurface）中性轴横截面对称轴中性轴横截面对称轴⊥中性层(StressesinBeams)观察变形提出假设变形的分布规律变形几何关系物理关系静力关系应力的分布规律建立公式实验平面假设单向受力假设中性层、中性轴(StressesinBeams)dx图（b）yzxo应变分布规律直梁纯弯曲时纵向纤维的应变与它到中性层的距离成正比图（a）dx二、变形几何关系（Deformationgeometricrelation）图（c）dzyxo’o’b’b’ybboo''bb()dyxbbdoo''oodyyddd)((StressesinBeams)三、物理关系(Physicalrelationship)所以Hooke’sLawMyzOx直梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力，与它到中性轴的距离成正比应力分布规律?待解决问题中性轴的位置中性层的曲率半径ρ??EyE(StressesinBeams)观察变形提出假设变形的分布规律变形几何关系物理关系静力关系应力的分布规律建立公式实验平面假设单向受力假设中性层、中性轴yyE(StressesinBeams)yzxOMdAyσdA四、静力关系(Staticrelationship）横截面上内力系为垂直于横截面的空间平行力系这一力系简化，得到三个内力分量中性层的曲率半径ρ中性轴的位置待解决问题FNMzMy内力与外力相平衡可得dAdAdAzyAAAFddNNFyMzMAAyAzMddAAzAyMdd0(1)0(2)M(3)NdFyMdzMd(StressesinBeams)将应力表达式代入(1)式，得将应力表达式代入(2)式，得将应力表达式代入(3)式，得中性轴通过横截面形心zIEM1自然满足0dNAyEFA0dAAyE0dAAyzS0dAyzEMAy0dAAyzE0dAAyzyzIMAyyEMAzdMIEzMAyEAd2(StressesinBeams)观察变形提出假设变形的分布规律变形几何关系物理关系静力关系应力的分布规律建立公式实验平面假设单向受力假设中性层、中性轴中性轴过横截面形心EIz称为抗弯刚度(Flexuralrigidity)zEIM1yEyzIMy(StressesinBeams)纯弯曲时横截面上正应力的计算公式:zIMyM为梁横截面上的弯矩y为梁横截面上任意一点到中性轴的距离Iz为梁横截面对中性轴的惯性矩讨论(1)应用公式时,一般将M,y以绝对值代入.根据梁变形的情况直接判断的正负号.以中性轴为界，梁变形后凸出边的应力为拉应力(为正号).凹入边的应力为压应力(为负号).(2)最大正应力发生在横截面上离中性轴最远的点处IyMzmaxmax则公式改写为WMmax引用记号——抗弯截面系数maxyIWz(StressesinBeams)（1）当中性轴为对称轴时矩形截面实心圆截面空心圆截面bhzyzdyzDdy322/64/2/34ddddIWz62/12/2/23bhhbhhIWzDdαDW)1(3243(StressesinBeams)zy（2）对于中性轴不是对称轴的横截面ycmaxytmaxM应分别以横截面上受拉和受压部分距中性轴最远的距离和直接代入公式求得相应的最大正应力ytmaxycmaxzIMyσmaxcσmaxtIMyσzccmaxmaxIMyσzttmaxmax(StressesinBeams)当梁上有横向力作用时,横截面上既又弯矩又有剪力.梁在此种情况下的弯曲称为横力弯曲(Nonuniformbending)§5–3横力弯曲时的正应力(Normalstressesofthebeaminnonuniformbending)横力弯曲时,梁的横截面上既有正应力又有切应力.切应力使横截面发生翘曲,横向力引起与中性层平行的纵截面的挤压应力,纯弯曲时所作的平面假设和单向受力假设都不成立.一、横力弯曲(Nonuniformbending)虽然横力弯曲与纯弯曲存在这些差异,但进一步的分析表明,工程中常用的梁,纯弯曲时的正应力计算公式,可以精确的计算横力弯曲时横截面上的正应力.等直梁横力弯曲时横截面上的正应力公式为WxMz)((StressesinBeams)二、公式的应用范围(Theapplicablerangeoftheflexureformula)1、在弹性范围内(Allstressesinthebeamarebelowtheproportionallimit)3、平面弯曲（Planebending）4、直梁（Straightbeams）2、具有切应力的梁（Thebeamwiththeshearstress）5hl三、强度条件（Strengthcondition)：梁内的最大工作应力不超过材料的许用应力1、数学表达式（Mathematicalformula)对称截面梁（中性轴是对称轴）][maxmaxWM(StressesinBeams)2、强度条件的应用(Applicationofstrengthcondition)][maxMW(2)设计截面][maxWM(3)确定许可载荷(1)强度校核][maxWM对于铸铁等脆性材料(Brittlematerials)制成的梁,由于材料的][][ct且梁横截面的中性轴(Neutralaxis)一般也不是对称轴,所以梁的maxmaxct(两者有时并不发生在同一横截面上)要求分别不超过材料的许用拉应力(Allowabletensilestress)和许用压应力(Allowablecompressivestress)][maxtt][maxcc(StressesinBeams)例1矩形等截面梁，L=3m，h=150mm，b=100mm，q=3kN/m，yk=50mm，[σ]=10MPa，求危险截面上K点的正应力σk，并校核梁的正应力强度。解：1)外力分析：2)内力分析(M图)：kN5.42qLRRBA危险截面在L/2处。3)应力分析：12bhI3Z6bhW2Z)(MPa6IyMZKmaxK压)(MPa9WMZmaxmax拉(StressesinBeams)4)强度校核：MPa10][MPa9max讨论：1)当已知梁截面上一点的正应力大小,其余各点的正应力均可用正比例关系求得。2)横截面上局部截面上的分布内力的合力和此部分内力对中性轴的合力偶矩：1AdAF1AydAMA1(StressesinBeams)例2.钢质悬臂梁如图所示，[σ]＝170MPa，若横截面为：①圆形，②正方形，③h/b=2的矩形，④工字钢；试分别选择尺寸，并比较耗费的材料。AB2m20kN/mxM40kN.m解：(1)内力分析(作M图)Mmax=40kN.m(2)强度计算][WMzmaxmax33maxzmm10235][MWσ(StressesinBeams)①圆截面：32dW3z21mm14060A,mm8.133d②正方形：6aW3z22mm12570A,mm1.112a③h/b=2的矩形:3b26bhW32z29970mmA70.6mm,b3④工字钢:查表，选20a号工字钢，Wz＝237×103mm3，A4=3550mm2A1:A2:A3:A4=1:0.894:0.709:0.252材料耗费比：(StressesinBeams)解：1)外力分析：2)内力分析(M图)：:0MB可能的危险截面B、D。)kN(5RE例3.槽形截面铸铁外伸梁，已知：q=10kN/m，P=20kN，Iz=4.0×107mm4,y1=60mm，y2=140mm，[σ+]=35MPa，[σ-]=140MPa,试校核梁的正应力强度。(StressesinBeams)2)内力分析(M图)：可能的危险截面B、D。3)危险点的确定：,MPa70IyMZbBmaxb最大压应力点：b点。最大拉应力点：a或d点。4)应力分析：MPa30IyMZaBaMPa35IyMZdDd5)强度校核：][b][dmax强度满足。(StressesinBeams)讨论：1)对于脆性材料必须要同时校核拉、压正应力强度。2)危险截面一般在峰值点或极值点，最好把各点的拉压最大应力计算出来，进行校核，不能遗漏。(StressesinBeams)例4.AD梁由两根8号槽钢构成，B点由圆截面钢拉杆BC支承。已知d=20mm，梁和杆的[σ]=160MPa，求[q]。解：1)外力分析：2)内力分析(M图)：3)求许用[q]：][WMZmaxmax按梁的强度条件),(q75.0RA)(q25.2RB按钢拉杆的强度条件m/kN2.16q][4/dq2.252maxm/kN50qkN/m16.2[q]Wz=2×25.3cm3(StressesinBeams)例题1螺栓压板夹紧装置如图所示.已知板长3a＝150mm，压板材料的弯曲许用应力[σ]＝140MP.试计算压板传给工件的最大允