材料力学第八章.

§8-1工程中的弯曲变形问题一、为何要研究弯曲变形][zWM仅保证构件不会发生破坏，但如果构件的变形太大也不能正常工作。1、构件的变形限制在允许的范围内。２、工程有时利用弯曲变形达到某种要求。汽车板簧应有较大的弯曲变形,才能更好的起到缓和减振的作用；案例1：安装在工程机械驾驶室上方的ROPS/FOPS要求其在碰撞的过程中有较大的变形吸收落物或碰撞能量，保证驾驶员的人身安全案例2：案例3：蹦床要有大变形，才能积蓄能量，将人体弹射到一定高度。3、研究弯曲变形还广泛应用于超静定问题分析、稳定性分析以及振动分析等方面。除了解决构件的刚度外，二、弯曲变形的物理量EAlFlNPIGlT扭转：FF拉伸弯曲变形的物理量如何？抗变形刚度杆件长度内力1、挠曲线x2、挠度ω向上为正3、转角逆时针为正截面形心在力的方向的位移截面绕中性轴转过的角度弯曲变形的物理量挠度ω弯曲变形的物理量转角+§8-2梁的挠曲线近似微分方程2、挠曲线方程：)(xfyyxxy1、建立坐标系Xoy平面就是梁的纵向对称面；在平面弯曲的情况下，变形后梁的轴线将成为xoy面内的一条平面曲线；该曲线方程为：3、挠度、转角物理意义yxxy①：挠度的物理意义：挠曲线在该点处的纵坐标；ydxdytg②：转角的物理意义过挠曲线上点作挠曲线的切线该切线与水平线的夹角为挠曲线在该点处的切线斜率；挠曲线方程在该点处的一阶导数；转角的正方向：从x轴正向向切线旋转，逆时针转动为正。4、挠曲线微分方程中性层处曲率:EIxM)(1yx)(xfy232)('1)(''1xyxy对于曲线y=f(x)在任一点处曲率（瑞士科学家Jacobi.贝努利得到）正好为xoy平面内的一条曲线，平面弯曲的挠曲线所以曲线y=f(x)：从数学上讲是一条普通的平面曲线，从力学上讲就是梁发生弯曲变形的挠曲线。zEIxMxyxy)()('1)(''232挠曲线微分方程EIxM)(1232)('1)(''1xyxy由于没有采用曲率的简化式，且弹性模量E无定量结果，挠曲线微分方程故挠曲线微分方程没有得到广泛应用。该挠曲线微分方程是适用于弯曲变形的任何情况。非线性的，5、挠曲线近似微分方程0)()('xxy1)(12'xy在小变形的条件下，挠曲线是一条光滑平坦的曲线，，较小，转角EIxMy)(''故得挠曲线近似微分方程：zEIxMxyxy)()(1)(232'''符号规定：MM022dxyd0MzEIxMy)(''挠曲线近似微分方程022dxyd0M挠曲线为凹曲线挠曲线为凸曲线y弯矩M与二阶导数符号一致。适用范围：xωxωMM线弹性、小变形;y轴向上，x轴向右；zEIxMdxyd)(22挠曲线的近似微分方程积分一次：CdxEIxMdxdyz)('转角方程积分二次：DCxdxdxEIxMyz))((挠曲线方程C、D为积分常数，由梁的约束条件决定。§8-3用积分法求弯曲变形悬臂梁：xy梁的边界条件:0xL00y简支梁：xωL:0x:Lx梁的边界条件00CCCCyy连续性条件：CPABaLxy:0x0y:Lx0y边界条件光滑连续性条件:ax连续性光滑性:ax连续性条件：ABLaCMxyCCyyCC特别强调在中间铰两侧转角不同，但挠度却是唯一的。连续不光滑例1：写出梁的边界条件、连续性条件：xykCPABaLCCCCyy:0x0:LxkFyBy边界条件光滑连续性条件:ax例2：写出梁的边界条件、连续性条件：hEACPABaL:0x0:LxEAhFyBy边界条件光滑连续性条件CCCCyy:ax讨论：挠曲线分段（1）凡弯矩方程分段处，应作为分段点；（2）凡截面有变化处，或材料有变化处，应作为分段点；（3）中间铰视为两个梁段间的联系，此种联系体现为两部分之间的相互作用力，故应作为分段点；ABLaCM（4）凡分段点处应列出连续条件；:0x:ax0lax根据梁的变形的连续性，对同一截面只可能有唯一确定的挠度和转角；ABLaCM讨论：挠曲线分段0y0y在中间铰两侧转角不同，但挠度却是唯一的。边界条件连续性条件CCyyA例1悬臂梁受力如图所示。求和。Axyx取参考坐标系1、列写弯矩方程221)(qxxM)0(Lx2、代入挠曲线近似微分方程中''yzEIxM)(221''qxEIy积分一次：CqxEIEIy361'积分二次：DCxqxEIy4241转角方程挠曲线方程AqBL3、确定常数C、D.边界条件：:Lx361qLC0y481qLD)6161(133qLqxEI)86241(1434qLxqLqxEIyCqxEIEIy361'DCxqxEIy4241AqBL0EIqLA630xEIqLyA84AqBL)6161(133qLqxEI)86241(1434qLxqLqxEIy4、计算A截面的挠度和转角A截面处CFABaLxy例2一简支梁受力如图所示。试求和。)(),(xyxA1、求支座反力,LFbFAyLFaFByByFAyF2、分段列出梁的弯矩方程b,)(1xLFbxFxMA)(LxaBC段)0(axAC段),()(2axFxLFbxMxx,''1xLFbEIy),(''2axFxLFbEIy3、代入各自的挠曲线近似微分方程中,)(1xLFbxM),()(2axFxLFbxM4、各自积分121'12CxLFbEIEIy2222')(222CaxFxLFbEIEIy11316DxCxLFbEIy22332)(66DxCaxFxLFbEIy5、确定积分常数边界条件：0xLx连续条件：21ax)(6221bLLFbC,2C021DDFaLxω01y02y21yy1212CxLFbEI2222)(22CaxFxLFbEI11316DxCxLFbEIy22332)(66DxCaxFxLFbEIy)],(3[6)(2221bLxLEIFbx)(LxaBC段)0(axAC段],)([6)(2231xbLxLEIFbxy,2)()](3[6)(22222axFbLxLEIFbx])(6)([6)(32232axLxbLxLEIFbxy7、求转角0xLEIbLFbxA6)(2201LxLEIaLFabLxB6)(26、挠曲线方程§8-4用叠加法求弯曲变形一、叠加原理在小变形，是线性的；材料服从胡克定律的情况下，)()(''xMxEIy挠曲线的近似微分方程弯矩)(xM与载荷之间的关系对应于几种不同的载荷，是线性的；弯矩可以叠加，近似微分方程的解也可以叠加。计算弯矩时，使用变形前的位置FMEIyF''qMEIyq''MEIy''qFMMxM)(设弯矩MqFMMEIyEIyqF'''')(qFyyEI)(''''qyyEIFqFyyy挠曲线分别满足各自的近似微分方程将两个微分方程叠加M分别计算出每一载荷单独引起的变形，将所得的变形叠加即为载荷共同作用下引起的变形——叠加原理。总的近似微分方程：)(qFyyEI证明二、叠加原理的限制条件叠加原理仅适用于线性函数，要求挠度、转角是载荷的线性函数。(1)、弯矩与载荷成线性关系;梁发生小变形，忽略各载荷引起梁的水平位移；梁处于线弹性范围内，满足虎克定律；(2)、曲率1与弯矩成线性关系;221dxd0.1121(3)、挠曲线二阶导数与成线性关系;即梁处于小变形条件下;几种载荷共同作用下某截面的挠度和转角，三、叠加原理的特征等于每种载荷单独作用下引起的同一截面挠度、转角的向量和。例1已知：q、l、EI，求：yC,B载荷叠加法（查表法）应用于多个载荷作用的情形yC,B1、载荷分解qlql2qqlql2qB1C1yB3B2C2yC3y2查表：单独载荷作用下,2431EIqlBEIqlyC384541,1616)(322EIqlEIlqlBEIlqlyC48)(32,33)(323EIqlEIlqlBEIqlyC48343321BBBBEIql243EIql33EIql163EIql48113321CCCCyyyyEIql38454EIql4834EIlql48)(3EIql3841143、变形叠加例2抗弯刚度EI为常量，用叠加法确定C和yC?L/2L/2qCBAqL/2L/2qCBAqqqqC1C1y,631EIqlCEIqlyC841B2yC2yB2C2EIlqB6)2(322c2222lyyBBCEIlq8)2(422lBw21CCCyyyEIql84EIlq8)2(422lBEIql38441421CCCEIql63EIlq6)2(3EIql4874第二类叠加法1将梁的挠曲线分成几段;逐段刚化法2首先分别计算各段梁的变形在需求位移处引起的位移（挠度和转角）;3然后计算其总和（代数和或矢量和），即得需求的位移。在分析各段梁的变形在需求位移处引起的位移时，除所研究的梁段发生变形外，其余各段梁均视为刚体。例3：用叠加法确定yC?ABalFC1）考虑AB段变形引起的Ｃ截面的挠度(BC段看作刚体)外力向研究的ＡＢ段上简化ABalCFFaF：作用在支座上，不产生变形。Fa：使AB梁产生变形。BEIlFaB3)(1CyayBC1aEIlFa3)()(32EIlFaABalCFFaFa引起梁的变形形状为ＡＢ段上凸；2）考虑BC段变形引起C截面的挠度a2Cy)(332EIFayC21CCCyyy)(3332EIFaEIlFaABalFCAB段看作刚体FBCC截面的总挠度讨论积分法求变形有什么优缺点？叠加法求变形有什么优缺点？弯曲变形的刚度条件：],[maxyy][max[y]——许用挠度，[]——许用转角工程中，[y]常用梁的计算跨度l的若干分之一表示。对于桥式起重机梁：750~500][lly对于一般用途的轴：100005~100003][lly在安装齿轮或滑动轴承处，许用转角为：rad001.0][§8–5梁的刚度计算§8–6静不定梁1静定结构或系统无多余约束的几何不变的承载系统;其全部约束反力与内力都可由静力平衡方程求出。PP未知力的数目多于该系统能列出的独立平衡方程的数目；2超静定结构仅仅利用平衡方程不能解出全部未知力。未知力的数目与独立平衡方程数目之差。3超静定次数PP4多余约束静不定结构中，超过维持静力平衡所必须的约束；与多余约束相对应的反力；5多余约束反力①、提高构件的强度和刚度。6超静定系统的特点：PP②、各部分的内力分配与其各部分的刚度比相关。③、可以产生装配应力和温度应力。7超静定问题分类结构外部和内部均存在多余约束，即支反力和内力是超静定的。在结构外部存在多余约束，即支反力是静不定的;仅在结构内部存在多余约束，即内力是静不定的;第一类：外力超静定系统。第二类：内力超静定系统。第三类：混合超静定系统；判断下列结构属于哪类超静定外力超静定内力超静定混合超静定8、基本静定基解除超静定结构的某些约束后得到的静定结构；静定基可根据需要方便选取，同一超静定结构可有不同选择。可取尾顶针处为多余约束，得到静定基；也可以把卡盘处视为多余约束而解除，得到静定基。9相当系统在外载和多余约束作用下的静定基称为相当系统。PP