材料力学第十章.

第十章能量法•§10-1概述•§10-2弹性应变能的计算•§10-3互等定理•§10-4卡氏第二定理•§10-6单位载荷法(莫尔积分)第十章能量法•§10-7图乘法(维利沙金法)•§10-9超静定结构的基本解法•§10-10力法正则方程*•小结§10-1概述一、功能原理用功能原理求解结构位移、变形的方法。外力功应变能无能量损失：WU二、能量法三、重要性解题简单、适用性广；不受材料限制—线弹性、非线性和塑性；可求解静定与非静定问题；学习后续课程的基础。§10-2弹性应变能的计算一、广义力和广义位移1．定义：2．线弹性—广义力与广义位移成线性关系。F1F3F2d2d3d1广义力泛指力与力矩；广义位移为相应广义力产生的位移和转角(力→位移，力矩→转角)；二、克拉贝依隆原理1．应变能由外力和位移的最终值决定，与加力顺序无关；2．弹性应变能：)d()d(diiiFFWd3)外力功WWddd)(iiFiiFd2110d)(diiF1)等比例加载，Fi(di)同时由零到终值；2)引进参数(0～1)，则Fidi，给一个增量d，则位移增量ddi。§10-2弹性应变能的计算4)功能互等：iiFWUd21——克拉贝依隆原理线弹性体应变能等于每一广义力与其产生广义位移乘积二分之一的总和。二、克拉贝依隆原理5)应变能可以表示成外力或位移的唯一表达式，称为外力或位移的二次齐函数。§10-2弹性应变能的计算2．弹性应变能：l1．轴向拉伸或压缩：DlF1)应变能：lFWUD21EAlFU22N若轴力FN或截面面积A为变量时：分段变化：niiiiniiEAlFUU12N12为杆长x的函数：llxxEAxFUU02N0d)(2)(d2)比能：VUudd2221212EExxAxEAxxFd)()](2/[]d)([2N§10-2弹性应变能的计算三、杆件应变能的计算)(2)(22NxEAxFdxAl1)应变能：e21MWUp22GIlTU若扭矩或截面直径为变量时：分段变化：niiiiniiGIlTUU1p212为杆长x的函数：llxxGIxTUU0p20d)(2)(d2)比能：VUudd22222GGVxAd)d)((5.02．扭转圆轴：Medx§10-2弹性应变能的计算三、杆件应变能的计算1)dx段应变能：dxMU)(21dllxEIxMUU020d2)(d3．弯曲：dxM(x)dM(x)xxMd)(21EIxxM2d)(22)l段应变能：§10-2弹性应变能的计算三、杆件应变能的计算4．剪切：)d)((21dxAUllxGAFUU02Q0d2dGxA2d21)dx段应变能：2)l段应变能：GAxF2d2Q矩形：=6/5；实心圆：=10/9；薄圆环：=2；3)注意：在一般细长梁中，远小于弯矩应变能的剪力应变能，通常忽略不计。§10-2弹性应变能的计算dxAdxFQ—横截面剪力；A—横截面面积；—截面系数三、杆件应变能的计算5．组合变形下的应变能：xEAxFUd2)(d2NllzlxGIxTxEIxMxEAxFUd2)(d2)(d2)(p222N各广义力只在相应广义位移上做功，互不相干；M(x)M(x)dxFN(x)FN(x)T(x)T(x)xEIxMzd2)(2xGIxTd2)(p2上式指圆截面情况。若截面并非圆形，则右第三项中的Ip应为It。§10-2弹性应变能的计算三、杆件应变能的计算EIlFxFxEIUl96d)2(212322/02弯3)求C点挠度：GAlFxFGAUl8d)2(2222/02剪矩形截面梁：)]1(2/[12//5/62EGhAI，，GAlFEIlFUUU896232剪弯2)1(512:lhUU弯剪若=0.3，h/l=0.1，比值为0.0312。长梁忽略剪切应变能。EIFlfC483CFfW21EIlFU9632弯§10-2弹性应变能的计算x例10-1图示矩形梁，比较弯曲和剪切两种应变能，并求中点C的挠度。Fl/2l/2hbC解：1)列剪力、弯矩方程：2)(2)(QFxFFxxM，2)求应变能(考虑对称性)：四、非线性固体的应变能1．应变能与比能：应变能：比能：10dddFWU非线性10du非线性线弹性1121*dFUU线弹性1121*uu10d*FFUd非线性10d*u非线性d1F111线性线性非线性非线性UuU*u*1121dFWU线弹性1121u线弹性2．余能与余比能：余能：余比能：Fd§10-2弹性应变能的计算§10-3互等定理12122221ddFF)(21)(21222121211122ddddFFWU21212121ddFFUU2112ddd11d21F1F2d12d221111121dFWU先加F1再加F2，二力总功：F1F2d11+d12d21+d22同时加F1和F2，二力总功：两种加载次序下的应变能相同：如F1=F2，则：位移角标约定：一、互等定理推导第一角标表示产生位移点位置，第二角标为产生该位移的力。1．功的互等定理：jijijiFFdd第一组力在第二组力产生位移上所作功等于第二组力在第一组力产生位移上所作功；2．位移互等定理：jiijdd作用在1点的力在2位置产生的位移等于作用在2点的相同大小的力在1位置产生的位移；只适用于线弹性；力与位移为广义力和相应的广义位移。如位移互等定理中数值相同的力和力矩在相互位置产生的转角和挠度数值相同。§10-3互等定理二、互等定理的一般形式3．注意：解：1)思路例10-2任意形状弹性体承受一对等值、反向、共线的力F作用，材料的弹性常数为E、，求弹性体的体积改变。FFABABpd功的互等定理需要两组力：第一组力：必须在第二组力产生的F连线位移上作功§10-3互等定理F第二组力：必须在第一组力产生的与体积改变有关的位移上作功得到表面每点的法向位移d，弹性体表面积为A，则体积改变为：DAAVddp例10-2任意形状弹性体承受一对等值、反向、共线的力F作用，材料的弹性常数为E、，求弹性体的体积改变。FFABABpd解：1)该弹性体表面上只作用均匀压应力pppp三向均压状态：p321任意方向的线应变为：EpE/)21(/)]([321AB连线的变化量为：EpllAB/)21(D2)由功能互等定理：DAABApF])d[(||dVpApplEFADd21dFlEV21D§10-3互等定理解：1)挠度器应安装在梁端5点处；2)将F依次作用于1、2、3、4点，测出梁端5点挠度即为F作用于梁端时1、2、3、4各点的挠度。§10-3互等定理例10-3用一个固定位置挠度计，测量图示悬臂梁1、2、3、4各点的挠度，挠度计应安装在何处？如何测量？12345F挠度记Fd51d15=d51Fd52d25=d52Fd35=d53d53Fd45=d54d54§10-4卡氏第二定理F1F3F2FiDDDDniiiiiFFU121ddiiniiiFFddDD1iiFUDDdiiFFUiDd0一、问题：求Fi作用力方向的位移diDFidid2d1d3DniiiF1d加DFi后应变能的增量：将F1、F2…Fi…看作第一组力，DFi看作第二组力，由功能互等定理有：UDDdiDd2Dd3Dd1—卡式第二定理二、卡氏第二定理公式的含义若结构的应变能U表示为F1、F2…Fi的函数，则U对Fi的偏导数为结构在Fi作用点沿Fi方向的位移。di为沿广义力Fi方向的广义位移，di为正表示与Fi方向相同，U是整个结构的应变能；仅适用于线弹性结构；U是内力的函数，根据复合函数求导法则，可先U对内力求导，内力再对Fi求导：lllxGIxTxEIxMxEAxFUd2)(d2)(d2)(p222NlililiiixFTGITxFMEIMxFFEAFFUdddpNNdiiFUd§10-4卡氏第二定理三、公式使用方法及注意只有轴力的桁架：若所求位移方向无Fi，则需沿所求位移方向加一个广义力Fs(虚加，求偏导数后，即令其为零)：njijjjjiiFFEAlFFU1N2Nd弯曲梁：liixFxMEIxMd)()(d若外力符号相同，则需将求位移点的外力进行标定，以便在求偏导时区别于其它外力。lFsFsssxFMEIMFFFFUssd),,,(0021d§10-4卡氏第二定理在线弹性情况下：U=U*，即卡氏第二定理是克罗第—恩格塞定理的特例；克罗第—恩格塞定理适用于非线性结构；iiFU*d§10-4卡氏第二定理四、克罗第—恩格塞定理*结构的余能U*对Fi的偏导数为结构在Fi作用点沿Fi方向的位移。x例10-4求图示结构C点的铅垂与水平位移(结构的EI为常数)。BCARFasin)(FRM解：1)求铅垂位移fCr：FRxM)(BACBCVxFxMxMRFMMEIf)d)()()d()()(1CB段：BA段：§10-4卡氏第二定理sin)(RFMRFxM)(aREIFRxFRRFEIfaCV4ddsin12022/023Fsx例10-4求图示结构C点的铅垂与水平位移(结构的EI为常数)。BCARFa2)(aREIFRfCHC点无水平力，虚加Fs§10-4卡氏第二定理)cos1(-sin)(RFFRMs2)求水平位移fCH：)(-)(xRFFRxMsBAsFCBsFCHxFxMxMRFMMEIfss)d)()()d()()(100CB段：BA段：)cos1()(RFMs)()(xRFxMsxCFs例10-5图示悬臂梁AB，B端作用铅垂力F，梁的EI已知，1)求梁的挠曲线方程；2)若在梁中截面再作用力F，求自由端挠度fB。lFAB)()()(111xxFxlFxMsx1)()(22xlFxMx2xxlEIFxxxxxlFEIxf02111)3(6d))((1)(解：1)求梁的挠曲线方程：在距梁左端x处虚加FsAC段：CB段：§10-4卡氏第二定理11)(xxFxMs0)(2sFxMACsFCxFxMxMEIfs)d)()(1101§10-4卡氏第二定理11)(FxxM2)(2022lxFFxxM2)梁中点再作用力F，求fB：EIFlxxlxFFxxFxEIflllB167d)2(d132/222022/0121将中点的F用F0表示，以同梁端F区分。BD段：DA段：x1x2=F0例10-5图示悬臂梁AB，B端作用铅垂力F，梁的EI已知，1)求梁的挠曲线方程；2)若在梁中截面再作用力F，求自由端挠度fB。l/2FABFl/2D11)(xFxM22)(xFxM3)讨论坐标系原点合理的选择：FFFF22N1N，解：1)两杆应力：dBVdBH例10-6图示桁架两杆材料的应力应变关系=K1/2(K为常数)。横截面面积均为A，求集中力F作用点B处的位移。AB①45oFC②b=K1/2AFAF/2/21，2)两杆余比能