材料力学学生习题解答

-1-EFN1FN3FN2β(c)2-1试绘出下列各杆的轴力图。2-2求下列结构中指定杆内的应力。已知(a)图中杆的横截面面积A1=A2=1150mm2；解：（1）分析整体，作示力图0)(iBFM：041088AF40kNAF（2）取部分分析，示力图见（b）0)(iCFM：02442.22qFFAN2(404402)36.36kN2.2NF3262236.361031.62MPa115010NFA杆（3）分析铰E，示力图见（c）0ixF：0sin12NNFF22122140.65kN2NNFF3161137.961035.3MPa115010NFA杆F2FFN2FFNAECDBFAFBCFAqFCyFCxFN2(b)-2-2-3求下列各杆内的最大正应力。（3）图(c)为变截面拉杆，上段AB的横截面积为40mm2，下段BC的横截面积为30mm2，杆材料的ρg=78kN/m3。解：1.作轴力图，BC段最大轴力在B处6N120.530107812.0kNBFAB段最大轴力在A处6N1212(0.5300.540)107812.0kNAF3N2612.010400MPa30mm3010BBF3N2612.010300MPa40mm4010AAF杆件最大正应力为400MPa，发生在B截面。2-4一直径为15mm，标距为200mm的合金钢杆，比例极限内进行拉伸试验，当轴向荷载从零缓慢地增加58.4kN时，杆伸长了0.9mm，直径缩小了0.022mm，确定材料的弹性模量E、泊松比ν。解：加载至58.4kN时，杆件横截面中心正应力为3N2458.410330.48MPa1.5104FA＝线应变：333Δ0.9104.51020010ll弹性模量：33330.48MPa73.410MPa4.510E侧向线应变：310467.115022.0＝，泊松比：,0.3262-6图示短柱，上段为钢制，长200mm，截面尺寸为100×100mm2；下段为铝制，长300mm，截面尺寸为200×200mm2。当柱顶受F力作用时，柱子总长度减少了0.4mm，试求F值。已知E钢=200GPa，E铝=70GPa。解：柱中的轴力都为F，总的变形（缩短）为：120.20.3ΔglFFlEAEA12399Δ0.20.30.4100.20.3200100.10.170100.20.21931.0kNgllFEAEAABC12.012.0FN(kN)-3-2-7图示等直杆AC，材料的容重为ρg，弹性模量为E，横截面积为A。求直杆B截面的位移ΔB。解：AB段内轴力N1FFgAxBC段内轴力N22FFgAxB点位移为杆BC的伸长量：22(2)d21.5lBlFgAxxFlgAlEAEA2-8图示结构中，AB可视为刚性杆，AD为钢杆，面积A1=500mm2，弹性模量E1=200GPa；CG为铜杆，面积A2=1500mm2，弹性模量E2=100GPa；BE为木杆，面积A3=3000mm2，弹性模量E3=10GPa。当G点处作用有F=60kN时，求该点的竖直位移ΔG。解：（1）求①、②杆轴力由平衡方程可以求出:N1N3N2240kN320kN360kNFFFFFF（2）求杆的变形34N11961140101Δ410m2001050010ADFllEA（压缩）34N22962260100.5Δ210m10010150010CGFllEA（拉伸）36N33963320101Δ6.6710m1010300010BEFllEA（压缩）（3）由几何关系：421321ΔΔΔ6.8910m33Glll-＝（下降）2-11图示一挡水墙示意图，其中AB杆支承着挡水墙，各部分尺寸均已示于图中。若AB杆为圆截面，材料为松木，其容许应力［σ］=11MPa，试求AB杆所需的直径。解：（1）求水压力的合力：FNP3m4m2m-4-21240kNPhb（2）作示力图（a）由平衡方程求轴力2N3N()0:0.60.4011.11kNOiMFFPF（3）由强度条件，设计截面尺寸：N3632[]411.1110/(1110)1.28610m3.58cmFAdd2-12图示结构中的CD杆为刚性杆，AB杆为钢杆，直径d=30mm，容许应力［σ］=160MPa，弹性模量E=2.0×105MPa。试求结构的容许荷载F。解：（1）求AB杆的轴力FN0)(iCFM：NNsin3022.502.5FFFF（2）由强度条件求FN462.591016010445.2kN2.5FFAAF3-1试作下列各杆的扭矩图。3-2一直径d=60mm的圆杆，其两端受外力偶矩T=2kN·m的作用而发生扭转。试求横截面上1，2，310010Mx(N·m)21Mx(kN·m)53-5-点处的切应力和最大切应变，并在此三点处画出切应力的方向。(G=80GPa)。解：横截面上切应力大小沿半径线性分布，方向垂直半径33P213200047.2MPa3.140.06/160.02/331.4MPaTW4max3/5.910radG3-3从直径为300mm的实心轴中镗出一个直径为150mm的通孔而成为空心轴，问最大切应力增大了百分之几?解：实心轴max13P116xxMMWd空心轴max234P216(10.5)xxMMWd最大切应力增大了4343max2max14max1316160.5(10.5)100%100%100%6.67%1610.5xxxMMddMd3-4一端固定、一端自由的钢圆轴，其几何尺寸及受力情况如图所示（空心处有两段，内径10mm，外径30mm）,试求：(1)轴的最大切应力。(2)两端截面的相对扭转角(G=80GPa)。解：（1）作扭矩图，AB段中最大切应力max36P6035.56MPa31016xMWCD段中最大切应力max946P644031101616401024MPa2713xMW所以轴中，MPa56.35max（2）相对扭转角分四段计算P1P1P2P2400.2300.1300.1600.15ΔΔΔΔΔDCCEEBBAGIGIGIGIP1P2P1P211121112GIGIGII3160лл30л40лABCD-6-94844811120.011426rad1180103101331032323-5一圆轴AC如图所示。AB段为实心，直径为50mm；BC段为空心，外径为50mm，内径为35mm。要使杆的总扭转角为0.12°，试确定BC段的长度a。设G=80GPa。解：（1）作扭矩图100NmxM（2）杆件A、C截面相对扭转角分两段计算4PPΔΔΔ0.91ACBCBAxxMaMaGIGIP4P948Δ350.9,0.7501Δ0.315960.980100.12510180320.91000.315960.405mACxACxGIaaMGIaMaa其中＝＝3-8传动轴的转速为n=500转/分，主动轮输入功率P1=500kW，从动轮2、3分别输出功率P2=200kW，P3=300kW。已知［τ］=70MPa，［θ］=1°/m，G=8×104MPa。(1)确定AB段的直径d1和BC段的直径d2。(2)若AB和BC两段选用同一直径，试确定直径d。解：（1）由输入和输出功率求等效力偶，作扭矩图1235009.559.55kNm5002009.553.82kNm5003009.555.73kNm500TTT由强度条件：maxmaxPxMW3311633226169.5510,0.089m7010165.7310,0.075m7010dddd由刚度条件：maxmaxPxMGI⊕⊕100N·mMxAC5.739.55MxABC-7-34111023422102329.5510,0.091m810180325.3710,0.080m810180dddd为满足强度和刚度条件，AB段的直径d取91mm；BC段的直径d取80mm。（2）若AB和BC两段选用同一直径，直径d取91mm。A-2试求图形水平形心轴z的位置，并求影阴线部分面积对z轴的面积矩Sz。解：分三块计算215050501501505022500mmiAA形心轴位置12331257517591.67mm25500.025cmzAAAhASAhA-3试计算(b)图形对y，z轴的惯性矩和惯性积。解：查型钢表得20a号工字钢几何性质：'4'4200mm,2370cm,158cmzyhII故'362120.11.4100.10.0140.10712zzII4888237010321010558010m－－－＝＋＝'238884121.4100.11215810233.310391.310myyII由对称性，0yzIA-8计算图示（a）图形的形心主惯性矩。解：1.首先求形心位置：1505025200501501505020050168750096.4317500h2.求惯性矩A2A3hA1zz'hyzhC-8-3341151520512121406.25208.331614.58cmyI2233411520520159.6431555159.6432.512123333.32869.7156.253826.710185.95cmzI＋－＋＋－＝＋＋＋4-1求下列各梁指定截面上的剪力和弯矩。解：（b）自右向左分析：1-1截面Q12FF，弯矩12MFl；2-2截面Q22FF，弯矩1MFl（c）支座反力68820kN63AF（铅直向上），自左向右分析：1-1截面Q16kNF，弯矩112kNmM；2-2截面Q22/3kNF，弯矩212kNmM4-2写出下列各梁的剪力方程、弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。解：支座反力52AFql，32BFql，自左向右分析：剪力方程：Q5()2(02)2FxqlqxxlQ()0(23)Fxlxl弯矩方程：25()(02)2Mxqlxqxxl2()(23)Mxqllxl由方程作图。注意标出最大弯矩所在截面位置及最大弯矩值。FAFAFB5ql/2FQ3ql/2Mql225ql2/161.25l-9-4-3利用剪力、弯矩与荷载集度之间的关系作下列各梁的剪力图和弯矩图。解：(a)自左向右分析（这样不需要计算固定端反力）梁分3段，5个控制面Q110,3FMFl；Q220,3FMFlQ33,3.5FFMFl；Q440,3.5FMFlQ55,4FFMFl(b)支座反力29/3kN,13/3kNAAFF梁分3段，6个控制面Q110,4kNmFM；Q226kN,2kNmFMQ3311/3kN,2kNmF