材料弹塑性及有限元.

材料弹塑性基础主讲人:刘拥军西南交通大学材料成型及控制工程教研室二○○八年十二月——材料成型及控制工程教研室2联系方式：办公室：87600726；手机：[phone]；电邮：[e-mail]；网络平台：=6370想，要壮志凌云！学，要脚踏实地！——材料成型及控制工程教研室3是研究物体在外力作用下和温度变化时所引起的应力和变形，以及由变形所产生的位移的一门学科。弹性力学所研究的是物体在弹性变形阶段的力学问题。弹性力学不但能解决材料力学和结构力学中的问题，而且能解决它们所不能解决的问题，其研究范围更为广泛，方法更加精确。第1章绪论§1-1弹性力学的内容和研究方法一、弹性力学——材料成型及控制工程教研室41、研究对象材料力学的研究对象主要是杆件，弹性力学的研究对象，除杆件以外，还包括板、壳以及实体（例如滚珠）等。2、研究的方法在材料力学中研究梁的弯曲时，引用了平面截面假设，即变形前的平面截面在变形后仍保持为平面。二、材料力学与弹性力学之间的区别——材料成型及控制工程教研室5在弹性力学里就不作平面截面假设，而是从变形的连续性出发建立几何方程和变形协调条件，即变形前的连续物体、变形后仍保持连续，不发生重叠现象或出现裂纹情况。因此，在大多数的情况下，物体变形后为了保持连续性，原来的平面截面就不再保持为平面。——材料成型及控制工程教研室6弹性力学研究平衡是以构件内任一微小单元体为对象，建立平衡微分方程，并同时建立微元体间的变形协调条件。这样的研究方法，反映了弹性体变形的普遍规律，所得的结果更符合实际情况。3、分析对象图1-2材料力学在研究构件的平衡时，是用假想截面从构件中切截出一个分离体来考虑，因而只能保证整体平衡，而不能保证构件各微小部分的平衡。——材料成型及控制工程教研室7（1）和材料力学、结构力学一起，综合地、不同层次地解决各类工程实际问题；（2）校核初等理论所得出公式的可靠性，精确性以及适用范围；（3）为后继课程提供基本方程和研究方法。三、弹性力学的基本任务——材料成型及控制工程教研室81、假设物体是连续的：即假设物体整个体积内毫无空隙地都充满着介质。根据连续性假设，物体内的一些物理量，例如应力、应变、位移等，才可能是连续的；2、假设物体是均匀的：即假设整个物体由同一性能材料所组成的，即各点的物理性质，如E、v等不随坐标不同而改变。3、假设物体是各向同性的即认为材料沿各个方向的力学性能相同。即认为某一点沿各个方向的力学性质E,v等都相同；4、假设物体是完全弹性的应力与应变呈线性关系，即符合虎克定律。§1-2弹性力学的基本假设——材料成型及控制工程教研室95、小变形假设即认为物体在外力作用下各点的位移都远小于其本身的几何尺寸，而应变和转角都远小于1。这样，在建立物体变形以后的平衡方程时，就可以用变形以前的几何尺寸来代替变形以后的尺寸。此外，物体的变形和各点的位移表达式中二阶微量可以略去不计，从而使得几何变形线性化；6、假设物体处于自然状态即假设物体无初应力。不考虑物体在制造和加工过程（铸造、焊接、碾压、锻压等）中的初应力。——材料成型及控制工程教研室10弹性力学中经常用到的基本概念有外力、应力、应变和位移。作用在物体的外力可以分为体积力和表面力，简称为体力和面力。1、体力分布在物体体积内的力，如重力、惯性力、电磁力等。它在坐标轴Ox,Oy,Oz上的投影称为体力分量X,Y,Z,以沿坐标轴正方向为正，反之为负。它们的因次是[力][长度]－3。2、面力是分布在物体表面上的力，例如流体压力、物体表面接触力等。它在坐标轴Ox,Oy,Oz上的投影称为面力，分量X,Y,Z,以沿坐标轴正方向为正，反之为负。它们的因次是[力][长度]－2。§1-3规定的符号——材料成型及控制工程教研室113、应力单位面积上的内力,因次是[力][长度]－2。正应力剪应力——材料成型及控制工程教研室124、正面截面上的外法线沿着坐标轴的正方向，这个截面叫正面。正面上的应力分量以沿坐标轴正方向为正；沿坐标轴反方向为负。5、负面截面上的外法线沿着坐标轴的反方向，这个截面叫负面。负面上的应力分量以沿坐标轴反方向为正；沿坐标轴正方向为负。对于正应力说来,正为拉应力，负为压应力；对于剪应力说来，没有正与负之分.——材料成型及控制工程教研室136、变形就是形状的改变，物体的变形可以归结为长度的改变和角度的改变。为了分析物体在其某一点P的应变状态，在这一点沿着坐标轴Ox,Oy,Oz的正方向取三个微小线段PA,PB,PC,如图1-4。物体变形后，各线段的每单位长度的伸缩，称为线应变，线应变以伸长为正，缩短为负。各线段之间的直角的改变，用弧度表示，称为剪应变，剪应变以直角变小时为正，反之为负。线应变和剪应变都是无因次的数量。——材料成型及控制工程教研室14图1-4——材料成型及控制工程教研室157、位移就是位置的移动。物体内任一点P，变形后移动到点（见图1-4），P点的位移，用它在Ox,Oy,Oz三轴上的投影u,v,w来表示，以沿坐标轴正方向的为正，反之为负。u,v,w称为该点的位移分量。位移及其分量的因次是[长度]。物体内任一点的体力分量、面力分量、应力分量、应变分量和位移分量，都是随着该点的位置而变动，因而都是位置坐标的函数。——材料成型及控制工程教研室16第2章平面问题的基本理论任何弹性体都是空间物体，一般的外力都是空间力系，所以实际的弹性力学问题都是空间问题。但对于某种特殊形状的弹性体、受有某种特殊外力，就可以将空间问题转化为平面问题处理，使分析和计算工作量大为简化，而又可得到满足一定的工程精度的要求。§2-1平面应力问题和平面应变问题——材料成型及控制工程教研室17设有很薄的等厚度平板形式的弹性体，如图2-1所示。只在板边上作用有平行于板面，并且沿板厚均匀分布的面力。体力也平行于板面并且不沿厚度变化。例如平面链片、板式吊钩、梁腹板、高梁、薄圆环、旋转圆盘等，就属于此类问题。设薄板的厚度为h，以薄板的中面为xOy面，Oz轴垂直于中面。图2-1一、平面应力问题——材料成型及控制工程教研室18因为板很薄，外力沿厚度均匀分布，应力沿板厚又是连续分布的，所以可认为在整个薄板的所有各点都存在σz=0,τzx=0,τzy=0注意到剪应力的互等定理，因此τxz=0,τyz=0。这样，只剩下平行xOy平面的三个应力分量：σx,σy,τxy=τyx同时，也因为板很薄，这三个应力分量，以及所有的需要考虑的应变分量和位移分量，都可以认为沿板厚是不变的，即它们只是x和y的函数，所以这种问题称为平面应力问题。——材料成型及控制工程教研室19二、平面应变问题设有等截面长柱体形弹性体，其受力的特点是：面力和体力都平行于横截面，且沿长度（Oz轴）方向不变化，支承情况也沿长度方向不变化。例如厚壁圆筒、高压管道、滚柱、水坝等，见图2-2。——材料成型及控制工程教研室20假如图2-2所示长柱体，两端因受约束而在OZ轴方向不能移动则此柱体各横截面上的位移分量w均为零，且位移分量u与v仅为坐标x,y的函数，与OZ轴无关，即u=u(x,y),v=v(x,y),w=0这类问题称为平面位移问题，也称为平面应变问题。在这种情况下，图2-2所示柱体的每一横截面都可视为对称面，即τzx=0，τzy=0。根据剪应力互等定理，可知τxz=0，τyz=0。由于Z方向变形受阻，所以σz并不等于零。平面应变问题有四个应力分量：σx,σy,σz，τxy=τyx——材料成型及控制工程教研室21§2-2平衡微分方程弹性力学分析问题要从静力学方面、几何学方面和物理学三方面来考虑。首先考虑静力学方面，根据平衡条件导出应力分量和体力分量之间的关系式，即平面问题的平衡微分方程。一般来说，应力分量是坐标x和y的函数，因此，作用于左右面或上下面的应力分量不完全相同，差一个微小量。例如，设作用于左面中点处的正应力是σx，则作用于右面中点处的正应力，由于x坐标的改变，按泰勒（Taylor）级数展开：——材料成型及控制工程教研室22x222d21dxxxxxxx图2-3——材料成型及控制工程教研室23。在静力平衡条件下，各应力分量与体力分量必须满足平衡条件。首先以通过中心D并平行于Oz轴的直线为矩轴,由得合并相同的项，得到除以dxdy，略去微量不计（亦即dx,dy都趋于零时），得出（2-1）这就是已证明过的剪应力互等定理。0DM2d1d2d1ddxyxyxxxyxyxy02d1d2d1ddyxyxyyyxyxyxyxyyyxxxyxyxxyxyddd21ddd21yxxy——材料成型及控制工程教研室24列出对Ox轴投影的平衡方程，得约简整理以后，得两边除以dx,dy得0xFxyyyyxxyxyxxxxdd1d1dd01dd1d1yxXxyx0ddyxXyxyxx0Xyxyxx——材料成型及控制工程教研室25同理，由平衡方程可得出一个相似的微分方程。于是得出平面应力问题中应力分量与体力分量之间的关系式，即(2-2）式（2-2）即为平面问题中的平衡微分方程。这两个微分方程中包含着三个未知函数，因此，决定应力分量的问题是超静定问题，还必须考虑变形和位移，才能解决问题。0yF00YyxXyxyxyyxxyxxyyx,,——材料成型及控制工程教研室26对于平面应变问题来说，由于不等于零，在图2-3所示的六面体上，一般还有作用于前后两面的正应力，但由于它们自相平衡，并不影响xOy平面上平衡方程（2-1）及（2-2）的建立。所以在平面应变情况下，平衡方程仍适用。z——材料成型及控制工程教研室27§2-3几何方程和刚体位移现考虑几何学方面，导出平面问题应变分量与位移分量间的关系式，即几何方程。经过平面问题的弹性体内任一点P，分别沿Ox轴和Oy轴取微小长度的线段PA=dx,PB=dy，如图2-4所示。假设弹性体受力变形后，P,A,B三点各自移动到，如图。BAP,,图2-4——材料成型及控制工程教研室28——材料成型及控制工程教研室29首先求出线段PA和PB的线应变，即和。设P点在x方向的位移分量为u，则A点在x方向的位移分量将是（仅取一阶微量）。P点在y方向的位移分量是v,A点在y方向的位移分量将是。同理B点在x方向的位移分量是，在y方向的位移分量是。xyxxuudxxvvdxxuudyyvvd——材料成型及控制工程教研室30线段PA的线应变是PAPAAPx式中：PA=dx；22dddvxxvvuxxuuxAP2221dxvxuxux2121dxux2211dxuxux。——材料成型及控制工程教研室31略去二阶和二阶以上的微量，得出xuxAP1d，所以xuxxxuxxdd1d（a）同理线段PB的线应变是yvy（b）——材料成型及控制工程教研室32线段PA与PB之间的直角的改变，就是剪应变γxy。剪应变γxy由两部分组成：一部分是由y方向的位移v引起的，即x方向的线段PA的转角；另一部分是由x方向的位移u引起的，即y方向的线段PB的转角β。即xy——材料成型及控制工程教研室33式中：xvxuxvxxvv1ddsin；yuyvyvyyuu