材料成型理论基础刘全坤第二版第13章。ppt.

1第十三章应力分析五、应力莫尔圆一、张量的基本知识二、外力、应力和点的应力状态三、主应力和主切应力四、应力平衡微分方程2•各向同性的均匀连续体•体积力为零•变形体在表面力作用下处于平衡状态•初始应力为零•体积不变假设由于金属塑性成形非常复杂，数学与力学的处理非常困难，因此需要做一些假设和近似处理：金属塑性成形基本假设3•各向同性的均匀连续体假设材料是连续的，即在材料内不存在任何缺陷；假设材料各质点的组织、化学成分相同；假设材料在各方向上的物理性能和力学性能相同；金属塑性成形基本假设4•体积力为零成形过程中的外力可分为两类：表面力和体积力；体积力是作用在物体质点上的力，例如重力、磁力和惯性力等等；对于塑性成形来说，除了高速锤锻造、爆炸等少数成形情况，体积力相对于其它成形外力很小，可以忽略不计；金属塑性成形基本假设5•变形体在表面力作用下处于平衡状态材料成形时模具和零件处于平衡状态；如果零件划分为有限个单元体，每个单元体仍处于平衡状态；每个单元体的外力系的矢量和为零，外力系对任一点的总力矩也为零；金属塑性成形基本假设6•初始应力为零内力是由于外力作用下产生的，内力的变化达到一定程度就会使金属产生塑性变形；主要考虑金属由于外力的作用下产生塑性变形，不考虑金属存在初始应力情况；金属塑性成形基本假设7•体积不变假设弹性变形时，体积变化必须考虑；塑性变形时，体积虽有微小变化，但与塑性变形量相比很小，可以忽略不计，因此一般假设金属在塑性变形前后的体积保持不变；金属塑性成形基本假设8成组的符号和数组用一个带下角标的符号表示，这种符号叫角标符号。用角标符号表示物理量在坐标系中的分量，可以使冗长繁杂的公式在形式上变得简洁明了。如直角坐标系的三根轴x、y、z，可写成x1、x2、x3，用角标符号简记为xi（i＝1，2，3）；空间直线的方向余弦l、m、n可写成lx、ly、lz，简记为li（i＝x、y、z）。如果一个坐标系带有m个角标，每个角标取n个值，则该角标符号代表着nm个元素，例如ij(i，j=x，y，z)就包含有9个元素,即9个应力分量。一、角标符号和求和约定13.1张量的基本知识9在运算中，常遇到n个数组各元素乘积求和的形式，例如求和约定：在算式的某一项中，如果有某个角标重复出现，就表示要对该角标自1到n的所有元素求和。根据这一约定，上式可简记为上述重复出现的角标叫哑标，而在用角标表示的算式中有不重复出现的角标，称为自由标。自由标不包含求和的意思，但可以表示该等式代表的个数。Fxaxaxaxaiii31332211)3,2,1(iFxaii(13-1)10实例)3,2,1,(0jixσiiji为哑标，j为自由标11二、张量的基本概念有些简单的物理量，只需要一个标量就可以表示，如距离、时间、温度等。有些物理量是空间矢量，如位移、速度和力等，需要用空间坐标系中的三个分量来表示。更有一些复杂的物理量，如应力状态、应变状态，需要用空间坐标系中的三个矢量，即9个分量才能完整地表示，这就需要引入张量的概念。张量是矢量的推广，可定义为由若干个当坐标系改变时满足转换关系的所有分量的集合。广义地说，绝对标量就是零阶张量，其分量数目为30=1；矢量就是一阶张量，有31=3个分量；应力状态、应变状态是二阶张量，有32=9个分量。12设有某物理量P，它关于xi(i=1，2，3)的空间坐标系存在9个分量Pij(i,j=1,2,3)。若将xi空间坐标系的坐标轴绕原点O旋转一个角度，则得到新的空间坐标系xk(k=1',2',3')，如图13-1所示。新坐标系xk的坐标轴关于原坐标系xi的方向余弦可记为lki或llj(k,l=1′,2′,3'；i,j=1,2,3）。由于cos(xk,xi)=cos(xi,xk)，所以lki=lik，llj=ljl。新旧坐标系间的方向余弦见表13－1。13物理量P在新坐标系xk的九个分量为Pkl(k，l＝1'，2'，3')。若这个物理量P在坐标系xi中的9个分量Pij与坐标系xk中的九个分量Pkl之间存在下列线性变换关系：这个物理量被定义为张量，可用矩阵表示Pij所带的下标数目是2个，称为二阶张量。张量是满足一定的坐标转换关系的分量所组成的集合，它的重要特征是在不同的坐标系中分量之间可以用一定的线性关系来换算。式（13-3）为二阶张量的判别式。)3,2,1,;3,2,1,(lkjillPPljkiijkl（13-3）14三、张量的基本性质1）张量不变量张量的分量一定可以组成某些函数f(Pij)，这些函数值与坐标轴无关，它不随坐标而改变，这样的函数，叫做张量不变量。二阶张量存在三个独立的不变量。2）张量可以叠加和分解几个同阶张量各对应的分量之和或差定义为另一个同阶张量。两个相同的张量之差定义为零张量。3）张量可分为对称张量、非对称张量、反对称张量若张量具有性质Pij=Pji，就叫对称张量；若张量具有性质Pij=−Pji，且当i=j时对应的分量为0，则叫反对称张量；如果张量Pij≠Pji，就叫非对称张量。任意非对称张量可以分解为一个对称张量和一个反对称张量。4）二阶对称张量存在三个主轴和三个主值如果以主轴为坐标轴，则两个下角标不同的分量均为零，只留下两个下角标相同的三个分量，叫作主值。home1513.2外力、应力和点的应力状态一、外力和应力塑性加工时，由外部施加于物体的作用力叫外力。外力通常分为两类，一类是作用于物体表面的力，叫面力或接触力，可以是集中力，也可以是分布力。另一类是作用在物体每个质点上的力，称为体积力，如重力、磁力和惯性力等。塑性成形时，体积力相对于面力要小得多，可以忽略不计。作用于物体表面的分布载荷，正压力和摩擦力都是面力。在外力的作用下，变形体内各质点就会产生相互作用的力，称为内力。单位面积上的内力称为应力。16图13-2a在A面上围绕Q点取一很小的面积ΔA，该小面积上内力的合力为ΔF，则定义为截面A上Q点的全应力。全应力S是一个矢量，可以分解成两个分量，垂直于截面的正应力和平行于截面的切应力。显然有dAdFAFSAΔΔlim0Δ222τσS17若将截取的下半部分放入空间坐标系Oxyz中，并使截面F的法线方向N平行于y轴（图13-2b），则全应力S在三个坐标轴上的投影称为应力分量，它们是y、yx、yz。在变形体内各点的应力情况一般是不同的。对于任一点而言，过Q点可以作无限多的切面，在不同方向的切面上，Q点的应力是不同的。仅用某一个切面的应力不足以全面表示该点的应力情况。为了全面表示一点的应力情况，下面引入点的应力状态的概念。18二、直角坐标系中一点的应力状态设在直角坐标系Oxyz中有一承受任意力系的变形体，过变形体内任意点Q切取一六面体作为单元体，其棱边分别平行于三坐标轴。在互相垂直的微分面上的全应力都可以按坐标轴方向分解成一个正应力和两个切应力分量，这样，在三个互相垂直的微分面上就有三个正应力分量和六个切应力分量，共计9个应力分量，它们是xx，yy，zz，xy，yx，yz，zy，zx，xz。它们可以完整地描述一点的应力状态，如图13-3所示。19按应力分量的符号规定，两个下角标相同的正应力分量，例如xx表示x面上平行于x轴的正应力分量，可简写为x；两个下角标不同的是切应力分量，例如xy表示x面上平行于y轴的切应力分量。将9个应力分量写成矩阵的形式为zx20应力分量有正、负号，确定方法为：当单元体的外法线指向坐标轴正向的微分面叫做正面，反之为负面。在正面上指向坐标轴正向的应力分量取正号，指向相反方向的取负号。负面上的应力分量则相反。按此规定，正应力分量以拉为正，以压为负。由于单元体处于静力平衡状态，故绕单元体各轴的合力矩等于零，由此导出切应力互等定理xzzxzyyzyxxyττττττ;;(13-4)21实际上，一点的应力状态中的9个应力分量只有6个是互相独立的，它们组成对称的应力张量ij22若过一点的三个互相垂直的微分面上的九个应力分量已知，则借助静力平衡条件，该点任意方向上的应力分量可以确定。如图13-4所示，设过Q点任一斜切面的法线N与三个坐标轴的方向余弦为l，m，n，l=cos(N,x)；m=cos(N,y)；n=cos(N,z)。若斜微分面ABC的面积为dA，微分面OBC（x面）、OCA（y面）、OAB（z面）的微分面积分别为dAx、dAy、dAz，则各微分面之间的关系为ndAdAmdAdAldAdAzyx;;23又设斜微分面ABC上的全应力为S，它在三坐标轴方向上的分量为Sx、Sy、Sz，由静力平衡条件ΣFx=0，得：整理得用角标符号简记为0zzxyyxxxxdAτdAτdAσdAS),,,(zyxjilσSiijj24显然，全应力斜微分面上的正应力为全应力S在法线N方向的投影，它等于Sx,Sy,Sz在N方向上的投影之和，即斜切微分面上的切应力为25所以，已知过一点的三个正交微分面上9个应力分量，可以求出过该点任意方向微分面上的应力，也就是说，这9个应力分量可以全面表示该点应力状况，亦即可以确定该点的应力状态。如果质点处于受力物体的边界上，则斜切微分面ABC即为变形体的外表面，其上的表面力（外力）T沿三坐标轴的分量为Tx、Ty、Tz，其值据式（13-6）为简记为Tj=ijli（i，j=x，y，z）。式（13-9）称为应力边界条件。home2613.3主应力和主切应力一、主应力如果表示一点的应力状态的九个应力分量为已知，则过该点的斜微分面上的正应力和切应力都将随法线N的方向余弦l，m，n而改变。特殊情况下，斜微分面上的全应力S和正应力重合，而切应力=0。这种切应力为零的微分面称为主平面，主平面上的正应力叫做主应力。主平面的法线方向称为应力主方向或应力主轴。27图13-5中的三个微分面互相正交，设斜微分面ABC是待求的主平面，面上的切应力为0，正应力即为全应力，=s。于是，主应力在三个坐标轴上的投影为上式与式（13-6）结合并整理得28上式是一齐次线性方程组，l，m，n为未知数，其解为应力主轴方向。此方程组的一组解为l=m=n=0，但由解析几何可知，方向余弦之间必须满足即l，m，n不能同时为零，必须寻求非零解。为了求得非零解，只有满足齐次线性方程组式（13-10）的系数组成的行列式等于零的条件，即1222nml(13-11)29展开行列式，整理后得令上式可写成式（13-13）称为应力状态特征方程，它有三个实根，即三个主应力，用1、2、3表示。30二、应力张量不变量对于一个确定的应力状态，主应力只有一组值，即主应力具有单值性。由此，式（13-13）中的系数J1、J2、J3也应是单值的，而不随坐标系而变。由此得出重要结论：尽管应力张量的各分量随坐标而变，但按式（13-12）组成的函数值是不变的，所以将J1、J2、J3称为应力张量第一、第二、第三不变量。如果取三个主方向为坐标轴，并用1、2、3代替x,y,z，这时应力张量可写为31在主轴坐标系中斜微分面上的正应力和切应力为根据式（13-12），应力张量的三个不变量为32三、主切应力和最大切应力与斜微分面上的正应力一样，切应力也随斜微分面的方位而改变。使切应力数值达到极大值的平面称为主切应力平面，其上所作用的切应力称为主切应力。经分析，在主轴空间中，垂直一个主平面而与另两个主平面交角为45°的平面就是主切应力平面，如图13-6所示。该面上的主切应力为33主切应力角标表示与主切应力平面呈450相交的两主平面的编号。三个主切应力平面也是互相正交。主切应力中绝对值最大的一个称为最大切应力，用max表示。设三个主应力的关系为123，则231maxσστ(13-19)34将主切应力平面的方向余弦的不同组合代入式（13-15）、（13-16），可以解出作用于主切应力平面上的正应力值和主切应力值，即将上述求解结果列于表13-2。图13-7所示的坐标平面上，垂直于该主平面的主切应力平面有两组，将各组平面