清大附中三维设计2014年高考数学二轮复习推理与证明

清大附中三维设计2014年高考数学二轮复习：推理与证明本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．如图，圆周上按顺时针方向标有1,2,3,4,5五个点，一只青蛙按顺时针方向绕圆从一个点跳到另一点；若停在奇数点上，则下一次只能跳一个点；若停在偶数点上，则下一次可以跳两个点，该青蛙从5这点跳起，跳2008次后它将停在的点是()A．1B．2C．3D．4【答案】A2．将正偶数集合,6,4,2从小到大按第n组有n2个偶数进行分组：,24,22,20,18,16,14,12,10,8,6,4,2则2120位于第()组A．33B．32C．31D．30【答案】A3．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝()A．f(x)B．－f(x)C．g(x)D．－g(x)【答案】D4．用反证法证明：如果a＞b,则33ab.其中假设的内容应是()A．33abB．33abC．33ab且33abD．33ab或33ab【答案】D5．n个连续自然数按规律排列如下：根据规律，从2011到2013箭头方向依次是()A．↓→B．→↑C．↑→D．→↓【答案】D6．下面几种推理过程是演绎推理的是()A．某校高三有8个班,1班有51人,2班有53人,3班有52人,由此推测各班人数都超过50人；B．由三角形的性质，推测空间四面体的性质；C．平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分；D．在数列}{na中，)1(21,1111nnnaaaa，由此归纳出}{na的通项公式.【答案】C7．下面给出了关于复数的三种类比推理：①复数的乘法运算法则可以类比多项式的乘法运算法则；②由向量a的性质22||aa可以类比复数的性质22||zz；③由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义．其中类比错误的是()A．①③B．①②C．②D．③【答案】C8．分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的()A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．等价条件【答案】Ａ9．下面说法正确的有:（1）演绎推理是由一般到特殊的推理；（2）演绎推理得到的结论一定是正确的；（3）演绎推理一般模式是“三段论”形式；（4）演绎推理的结论的正误与大前提、小前提和推理形有关()A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C10．在边长为1的正三角形ABC的边AB、AC上分别取D、E两点，使沿线段DE折叠三角形时，顶点A正好落在边BC上,则AD的长度的最小值为()A．21B．332C．6233D．213【答案】B11．现给出如下命题：(1)若直线l与平面内无穷多条直线都垂直，则直线l平面；(2)已知zC，则22||zz；(3)某种乐器发出的声波可用函数0.001sin400()yttR来描述，则该声波的频率是200赫兹；(4)样本数据11011，，，，的标准差是1．则其中正确命题的序号是()A．(1)、(4)．B．(1)、(3)．C．(2)、(3)、(4)．D．(3)、(4)．【答案】D12．给出定义：若1122mxm（其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}，即{x}=m在此基础上给出下列关于函数}{)(xxxf的四个命题：①11();22f②(3,4)0.4;f③11()();44ff④()yfx的定义域为R，值域是11[,];22则其中真命题的序号是()A．①②B．①③C．②④D．③④【答案】B第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．已知22334422,33,44,33881515，若aanntt(a，t,n为正实数,2n），通过归纳推理，可推测a，t的值，则at．（结果用n表示）【答案】21nn14．设函数()(0)2xfxxx,观察:1()(),2xfxfxx21()(()),34xfxffxx32()(()),78xfxffxx43()(()),1516xfxffxx根据以上事实，由归纳推理可得：当nN且2n时，1()(())nnfxffx.【答案】(21)2nnxx15．根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n个图中有____________个点.【答案】n2-n+116．阅读材料：某同学求解sin18的值其过程为：设18，则590，从而3902，于是cos3cos(902)，即cos3sin2，展开得34cos3cos2sincos，coscos180，24cos32sin，化简，得24sin2sin10，解得15sin4，sinsin18(01)，，15sin4（15sin04舍去），即15sin184．试完成以下填空：设函数13)(3xaxxf对任意11x，都有0)(xf成立，则实数a的值为．【答案】4三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．2(4)nn个正数排成n行n列:111213141naaaaa212223242naaaaa313233343naaaaa1234nnnnnnaaaaa其中每一行的数由左至右成等差数列,每一列的数由上至下成等比数列,并且所有公比相等,已知241a,4218a,43316a,试求1122nnaaa的值.【答案】设11aa,第一行数的公差为d,第一列数的公比为q,可得1[(1)]sstaatdq又设第一行数列公差为d,各列数列的公比为q,则第四行数列公差是3dq,于是可得24113421134342(3)11()8316aadqaadqaadq.解此方程组,得1112adq,由于给2n个数都是正数,必有0q,从而有1112adq.于是对任意的1kn,有11111[(1)]2kkkkkkkaaqakdq得231232222nnS,又2341112322222nnS.两式相减后得:23111111222222nnnS.所以11222nnnS18．设f(x)＝x2＋a.记f1(x)＝f(x)，fn(x)＝f(fn－1(x))，n＝1，2，3，…，M＝{a∈R|对所有正整数n，||fn(0)≤2}．证明，M＝[－2，14]．【答案】⑴如果a＜－2，则||f1(0)＝|a|＞2，a∈/M．⑵如果－2≤a≤14，由题意，f1(0)＝a，fn(0)＝(fn－1(0))2＋a，n＝2，3，……．则①当0≤a≤14时，||fn(0)≤12，(n≥1).事实上，当n＝1时，||f1(0)＝|a|≤12，设n＝k－1时成立(k≥2为某整数），则对n＝k，||fk(0)≤||fk－1(0)2＋a≤(12)2＋14＝12．②当－2≤a＜0时，||fn(0)≤|a|，(n≥1)．事实上，当n＝1时，||f1(0)≤|a|，设n＝k－1时成立(k≥2为某整数)，则对n＝k，有－|a|＝a≤()fk－1(0)2＋a≤a2＋a注意到当－2≤a＜0时，总有a2≤－2a，即a2＋a≤－a＝|a|．从而有||fk(0)≤|a|．由归纳法，推出[－2，14]M．⑶当a＞14时，记an＝fn(0)，则对于任意n≥1，an＞a＞14且an＋1＝fn＋1(0)＝f(fn(0))＝f(an)＝an2＋a．对于任意n≥1，an＋1－an＝an2－an＋a＝(an－12)2＋a－14≥a－14．则an＋1－an≥a－14．所以，an＋1－a＝an＋1－a1≥n(a－14)．当n＞2－aa－14时，an＋1＞n(a－14)＋a＞2－a＋a＝2，即fn＋1(0)＞2．因此a∈/M．综合⑴，⑵，⑶，我们有M＝[－2，14]19．.41x)z1(,z)y1(,y)x1(:).1,0(z,y,x:不可能都大于求证已知【答案】假设三个式子都大于41，即（1-x）y41,(1-y)z41,(1-z)x41,三个式子相乘得:(1-x）y·(1-y)z·(1-z)x341①∵0x1∴x(1-x)≤(2x1x)2=41同理:y(1-y)≤41,z(1-z)≤41,∴（1-x）y·(1-y)z·(1-z)x≤341②显然①与②矛盾,所以假设是错误的,故原命题成立.20．由倍角公式1cos22cos2xx，可知x2cos可以表示为xcos的二次多项式.对于x3cos，我们有xxxxxxxsin2sincos2cos)2cos(3cosxxxxxsin)cos(sin2cos)1cos2(2xxxxcos)cos1(2coscos223xxcos3cos43可见x3cos可以表示为xcos的三次多项式。一般地，存在一个n次多项式)(tPn，使得)(coscosxPnxn，这些多项式)(tPn称为切比雪夫多项式.(I）求证：3sin33sin4sinxxx；(II）请求出)(4tP，即用一个xcos的四次多项式来表示x4cos；(III)利用结论x3cosxxcos3cos43，求出sin18的值.【答案（I）证法一：33sin3cos(3)cos[3()][4cos()3cos()]2222xxxxx33(4sin3sin)3sin4sinxxxx2222333sin3sin(2)sin2coscos2sin2sincossin(12sin)2sin(1sin)sin(12sin)2sin2sinsin2sin3sin4sinxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx证法二：(II）1)1cos2(212cos2)22cos(4cos222xxxx1cos8cos81)1cos4cos4(22424xxxx(III）sin36cos54，32sin18cos184cos183cos18，24sin182sin181051sin18421．已知函数()fx在其定义域上满足()2()1(0)xfxafxxaa．(1）函数()yfx的图象是否是中心对称图形？若是，请指出其对称中心（不证明）；(2）当14()[,]25fx时，求x的取值范围；(3）若(0)0f，数列{}na满足11a，那么：①若10()nnafa，正整数N满足nN时，对所有适合上述条件的数列{}na，110na恒成立，求最小的N；②若1()nnafa，求证：122334137nnaaaaaaaa．【答案】（1）依题意有(2)()1xafxxa．若2xa，则110xaa，得1a，这与0a矛盾，∴2xa，∴11()1(2)22xaafxxaxaxa，故()yfx的图象是中心对称图形，其对称中心为点(2,1)a．(2）∵14()[,]25fx，∴11,2214,25xaxaxaxa即20,2350,2xxaxaxa又∵0a，∴2,2,235,xaxaxa或得[2,35]xa．(3）①由(0)0f得1a，∴