湖北省黄冈中学高中数学竞赛(预赛)训练试题(2)

学而思网校湖北省黄冈中学高中数学竞赛（预赛）训练试题（二）姓名：班级：分数：一、填空题（本题满分70分，每小题7分）1．方程9135xx的实数解为．2．函数sincosyxx(xR)的单调减区间是.3．在△ABC中，已知4ABAC，12ABBC，则AB＝.4．函数221fxxx在区间0,2上的最大值是，最小值是．5．在直角坐标系xOy中，已知圆心在原点O、半径为R的圆与△ABC的边有公共点，其中4,0A、6,8B、2,4C，则R的取值范围为．6．设函数fx的定义域为R，若1fx与1fx都是关于x的奇函数，则函数yfx在区间0,100上至少有个零点.7．从正方体的12条棱和12条面对角线中选出n条，使得其中任意两条线段所在的直线都是异面直线，则n的最大值为．8．圆环形手镯上等距地镶嵌着4颗小珍珠，每颗珍珠镀金、银两色中的一种．其中镀2金2银的概率是．9．在三棱锥ABCD中，已知ACBCBD，ACDADCBCDBDC，且10cos10．已知棱AB的长为62，则此棱锥的体积为．10．设复数列nx满足1nxa，0，且11nnnaxxx．若对任意nN*都有3nnxx，则a的值是．（第7题）学而思网校二、解答题（本题满分80分，每小题20分）11．直角坐标系xOy中，设A、B、M是椭圆22:14xCy上的三点．若3455OMOAOB，证明：线段AB的中点在椭圆22212xy上．12．已知整数列na满足31a，74a，前6项依次成等差数列，从第5项起依次成等比数列．(1)求数列na的通项公式；(2)求出所有的正整数m，使得1212mmmmmmaaaaaa．13．如图，圆内接五边形ABCDE中，AD是外接圆的直径，BEAD，垂足H.过点H作平行于CE的直线，与直线AC、DC分别交于点F、G．证明：(1)点A、B、F、H共圆；(2)四边形BFCG是矩形．14．求所有正整数x，y，使得23xy与23yx都是完全平方数．学而思网校高中数学竞赛（预赛）训练试题（二）详细解答一、填空题（本题满分70分，每小题7分）1．方程9135xx的实数解为．提示与答案：x＜0无解;当0x时，原方程变形为32x+3x－6=0，解得3x=2，x=log32．2．函数sincosyxx(xR)的单调减区间是.提示与答案：与f(x)=y2=1+|sin2x|的单调减区间相同，[,],2422kkkZ．3．在△ABC中，已知4ABAC，12ABBC，则AB＝.提示与答案：216ABACABBCAB，得4AB．4．函数221fxxx在区间0,2上的最大值是，最小值是．提示与答案：极小值－4，端点函数值f(2)=0，f(0)=－2，最小值－4，最大值0．5．在直角坐标系xOy中，已知圆心在原点O、半径为R的圆与△ABC的边有公共点，其中4,0A、6,8B、2,4C，则R的取值范围为．提示与答案：画图观察，R最小时圆与直线段AC相切，R最大时圆过点B．[855，10]．6．设函数fx的定义域为R，若1fx与1fx都是关于x的奇函数，则函数yfx在区间0,100上至少有个零点.提示与答案：f(2k-1)=0，k∈Z.又可作一个函数fx满足问题中的条件，且fx的一个零点恰为21xk，k∈Z.所以至少有50个零点.7．从正方体的12条棱和12条面对角线中选出n条，使得其中任意两条线段所在的直线都是异面直线，则n的最大值为．提示与答案：不能有公共端点，最多4条，图上知4条可以．8．圆环形手镯上等距地镶嵌着4颗小珍珠，每颗珍珠镀金、银两色中的一种．其中镀2金2银的概率是．提示与答案：穷举法，注意可翻转，有6种情况，2金2银有两种，概率为13．（第7题）学而思网校．在三棱锥ABCD中，已知ACBCBD，ACDADCBCDBDC，且10cos10．已知棱AB的长为62，则此棱锥的体积为．提示与答案：4面为全等的等腰三角形，由体积公式可求得三棱锥的体积为144．10．设复数列nx满足1nxa，0，且11nnnaxxx．若对任意nN*都有3nnxx，则a的值是．提示与答案：由11nnnaxxx，2321nnnaxxx21111nnaxax3211nnnaxxaax恒成立，即2110nnaaxxa.因为1nxa或0，故210aa，所以1322ai．二、解答题（本题满分80分，每小题20分）11．直角坐标系xOy中，设A、B、M是椭圆22:14xCy上的三点．若3455OMOAOB，证明：线段AB的中点在椭圆22212xy上．解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x124＋y12＝1，x224＋y22＝1．由3455OMOAOB，得M(35x1＋45x2，35y1＋45y2)．因为M是椭圆C上一点，所以(35x1＋45x2)24＋(35y1＋45y2)2＝1，…………………6分即(x124＋y12)(35)2＋(x224＋y22)(45)2+2(35)(45)(x1x24＋y1y2)=1，得(35)2＋(45)2+2(35)(45)(x1x24＋y1y2)＝1，故x1x24＋y1y2＝0．…………………14分又线段AB的中点的坐标为(x1＋x22，y1＋y22)，学而思网校所以(x1＋x22)22＋2(y1＋y22)2＝12(x124＋y12)+12(x224＋y22)+x1x24＋y1y2＝1，从而线段AB的中点(x1＋x22，y1＋y22)在椭圆x22＋2y2＝1上．………………20分12．已知整数列na满足31a，74a，前6项依次成等差数列，从第5项起依次成等比数列．(1)求数列na的通项公式；(2)求出所有的正整数m，使得1212mmmmmmaaaaaa．解：(1)设数列前6项的公差为d，则a5=－1+2d，a6=－1+3d，d为整数.又a5，a6，a7成等比数列，所以(3d－1)2=4(2d－1)，即9d2－14d+5=0，得d=1.…………………6分当n≤6时，an=n－4，由此a5=1，a6=2，数列从第5项起构成的等比数列的公比为2，所以，当n≥5时，an=2n-5.故an=n－4，n≤4，2n-5，n≥5．…………………10分(2)由（1）知，数列na为：－3，－2，－1，0，1，2，4，8，16，…当m=1时等式成立，即－3－2－1=―6=(－3)(－2)(－1)；当m=3时等式成立，即－1+0+1=0；当m=2、4时等式不成立；…………………15分当m≥5时，amam+1am+2=23m-12，am+am+1+am+2=2m-5(23－1)=7×2m-5，7×2m-5≠23m-12，所以am+am+1+am+2≠amam+1am+2.故所求m=1，或m=3．…………………20分13．如图，圆内接五边形ABCDE中，AD是外接圆的直径，BEAD，垂足H.过点H作平行于CE的直线，与直线AC、DC分别交于点F、G．证明：(1)点A、B、F、H共圆；(2)四边形BFCG是矩形．ABCDEFHG学而思网校证明：(1)由HG∥CE，得∠BHF=∠BEC，又同弧的圆周角∠BAF=∠BEC，∴∠BAF=∠BHF，∴点A、B、F、H共圆；…………………8分(2)由(1)的结论，得∠BHA=∠BFA，∵BE⊥AD，∴BF⊥AC，又AD是圆的直径，∴CG⊥AC，…………………14分由A、B、C、D共圆及A、B、F、H共圆，∴∠BFG=∠DAB=∠BCG，∴B、G、C、F共圆.∴∠BGC=∠AFB=900,∴BG⊥GC，∴所以四边形BFCG是矩形．…………………20分14．求所有正整数x，y，使得23xy与23yx都是完全平方数．解：若x=y，则x2+3x是完全平方数.∵x2＜x2+3x＜x2+4x+4=(x+2)2，∴x2+3x=(x+1)2，∴x=y=1.………………5分若x＞y，则x2＜x2+3y＜x2+3x＜x2+4x+4=(x+2)2.∵x2+3y是完全平方数，∴x2+3y=(x+1)2，得3y=2x+1，由此可知y是奇数，设y=2k+1，则x=3k+1，k是正整数.又y2+3x=4k2+4k+1+9k+3=4k2+13k+4是完全平方数，且(2k+2)2=4k2+8k+4＜4k2+13k+4＜4k2+16k+16=(2k+4)2，∴y2+3x=4k2+13k+4=(2k+3)2，得k=5，从而求得x=16，y=11.…………………15分若x＜y，同x＞y情形可求得x=11，y=16.综上所述，(x，y)=(1，1),(11，16),(16，11)．…………………20分