湖北省黄冈中学高中数学竞赛(预赛)训练试题(五)

金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com第1页共6页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com湖北省黄冈中学高中数学竞赛（预赛）真题训练（五）姓名：班级：分数：一、填空题（本题满分64分，每小题8分。直接将答案写在横线上。）1．数列}{na满足：3,121aa，且)(||*12Nnaaannn．记}{na前n项的和为nS，则100S．2．在△ABC中，已知B的平分线交AC于K．若BC=2，CK=1，223BK，则△ABC的面积为．3．设100n，则使得nba)(的展开式中有连续三项的系数成等差数列的最大整数n为．4．在小于20的正整数中，每次不重复地取出3个数，使它们的和能被3整除，不同的取法种数为．5．若zyx,,均为正实数，且1222zyx，则xyzzS2)1(2的最小值为．6．设椭圆1422yx的左、右焦点分别为21,FF，M为椭圆上异于长轴端点的一点，122FMF，△12MFF的内心为I，则cos||MI．7．对于一切]21,2[x，不等式0123xxax恒成立，则实数a的取值范围为．8．将总和为200的10个数放置在给定的一个圆周上，且任意三个相邻的数之和不小于58．所有满足上述要求的10个数中最大数的最大值为．二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分）9．已知数列}{na中，41,121aa，且),4,3,2()1(1nananannn．（1）求数列}{na的通项公式；（2）求证：对一切*Nn，有6712nkka．金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com第2页共6页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com10．设313116234xxxxP，求使P为完全平方数的整数x的值．11．已知直线xy与椭圆C：1111622yx交于BA,两点，过椭圆C的右焦点F、倾斜角为的直线l交弦AB于点P，交椭圆C于点NM,．（1）用表示四边形MANB的面积；（2）求四边形MANB的面积取到最大值时直线l的方程．金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com第3页共6页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com湖北省黄冈中学高中数学竞赛（预赛）真题训练（五）详细解答一、填空题（本题满分64分，每小题8分。直接将答案写在横线上。）1．数列}{na满足：3,121aa，且)(||*12Nnaaannn．记}{na前n项的和为nS，则100S89．2．在△ABC中，已知B的平分线交AC于K．若BC=2，CK=1，223BK，则△ABC的面积为16715．3．设100n，则使得nba)(的展开式中有连续三项的系数成等差数列的最大整数n为98．4．在小于20的正整数中，每次不重复地取出3个数，使它们的和能被3整除，不同的取法种数为327．5．若zyx,,均为正实数，且1222zyx，则xyzzS2)1(2的最小值为223．6．设椭圆1422yx的左、右焦点分别为21,FF，M为椭圆上异于长轴端点的一点，122FMF，△12MFF的内心为I，则cos||MI32．7．对于一切]21,2[x，不等式0123xxax恒成立，则实数a的取值范围为110a．8．将总和为200的10个数放置在给定的一个圆周上，且任意三个相邻的数之和不小于58．所有满足上述要求的10个数中最大数的最大值为26．二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分）9．已知数列}{na中，41,121aa，且),4,3,2()1(1nananannn．金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com第4页共6页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com（1）求数列}{na的通项公式；（2）求证：对一切*Nn，有6712nkka．解（1）由已知，对2n有11)1()1(11nannananannnn，两边同除以n，得)1(1)1(111nnannann，即)111()1(111nnannann，……………………4分于是，)111(111)1(1112121nkkakkanknkkk，即2),111(1)1(12nnaann，所以123)111(1)1(12nnnaann，2,231nnan．又1n时也成立，故*,231Nnnan．……………………8分（2）当2k，有)131431(31)13)(43(1)23(122kkkkkak，………………12分所以2n时，有)131431()8151()5121(31112212nnaankknkk.6761113121311n又1n时，.67121a故对一切*Nn，有6712nkka．……………………16分10．设313116234xxxxP，求使P为完全平方数的整数x的值．金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com第5页共6页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com解)10(3)13(22xxxP．所以，当10x时，2131P是完全平方数．……………………5分下证没有其它整数x满足要求．（1）当10x时，有22)13(xxP，又03132)3(222xxxxP，所以22)3(xxP，从而2222)13()3(xxPxx．又Zx，所以此时P不是完全平方数．……………………10分（2）当10x时，有22)13(xxP．令ZyyP,2，则|13|||2xxy，即|13|1||2xxy，所以222)13(1||2xxyy，即01|13|2)10(32xxx．解此不等式，得x的整数值为6,5,4,3,0,1,2，但它们对应的P均不是完全平方数．综上所述，使P为完全平方数的整数x的值为10.……………………20分11．已知直线xy与椭圆C：1111622yx交于BA,两点，过椭圆C的右焦点F、倾斜角为的直线l交弦AB于点P，交椭圆C于点NM,．（1）用表示四边形MANB的面积；（2）求四边形MANB的面积取到最大值时直线l的方程．解（1）直线MN的倾斜角为，记MFO，则，22222222cos2cos2||caabcaabMN．而AB与MN所成的角为4，则四边形MANB面积2222coscossin||2)4sin(||||21caabOAMNABSMANB．…………5分而5,11,16222cba，A点坐标为9334,9334，且9664||OA，金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com第6页共6页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com从而，22cos516cossin933352cos516cossin933352MANBS，其中59334334arctan0或59334334arctan．……………10分（2）记2cos516cossin)(f，而)(f只可能在,59334334arctan时才可能取到最大值．对)(f求导数得到：222)cos516()sincos10)(cos(sin)cos516)(sin(cos)(f．令0)(f，则有0)tan10)(1(tan)11tan16)(tan1(2．……………………15分化简得到011tan21tan6tan1623．所以0)11tantan8)(1tan2(2．而011tantan82无实根，则21tan．经检验21tan，符合,59334334arctan．故所求直线l的方程为：2521xy．……………………20分