柯西不等式及其应用

湖北师范学院文理学院本科毕业论文论文题目柯西不等式及其应用作者姓名邓丽芬指导老师严慧讲师所在院系数学系专业名称数学与应用数学完成时间2015年5月21日编号2015010304研究类型理论研究分类号O17本科毕业论文诚信承诺书中文题目：柯西不等式及其应用外文题目：TheCauchyInequalityandApplication学生姓名邓丽芬学生学号院系专业数学系数学与应用数学学生班级1103班学生承诺我承诺在毕业论文活动中遵守学校有关规定，恪守学术规范，本人毕业论文内容除特别注明和引用外，均为本人观点，不存在剽窃、抄袭他人学术成果，伪造、篡改实验数据的情况。如有违规行为，我愿承担一切责任，接受学校的处理。学生（签名）：年月日指导教师承诺我承诺在指导学生毕业论文（设计）活动中遵守学校有关规定，恪守学术规范，经过本人核查，该生毕业论文（设计）内容除特别注明和引用外，均为该生本人观点，不存在剽窃、抄袭他人学术成果，伪造、篡改实验数据的现象。指导教师（签名）：年月日目录1.前言....................................................................12.柯西不等式的证明........................................................12.1利用数学归纳法证明..................................................22.2利用构造函数法证明..................................................22.3利用二次型法证明....................................................32.4利用线性相关法证明..................................................32.5利用配方法证明......................................................42.6利用初等方法证明....................................................52.7利用向量内积证明....................................................53.柯西不等式的不同形式....................................................63.1柯西不等式在微积分中的形式..........................................63.2柯西不等式在线性代数中的形式........................................63.3柯西不等式在概率论中的形式..........................................73.4柯西不等式在泛函分析中的形式........................................74.柯西不等式的应用........................................................74.1推导重要公式........................................................84.2解释样本线性相关系数................................................94.3证明三角形不等式...................................................114.4求最值问题.........................................................114.5在初等几何中的应用.................................................135.柯西不等式的推广.......................................................145.1推广到复数.........................................................145.2赫尔德不等式.......................................................145.3闵可夫斯基不等式...................................................15参考文献.................................................................17柯西不等式及其应用邓丽芬(指导老师，严慧讲师)（湖北师范学院文理学院中国黄石435002）摘要:柯西不等式是一个非常重要的不等式，灵活巧妙地应用它可以使一些较为困难的问题迎刃而解.本文探讨了柯西不等式的七种证明方法及其推广，能够深入地理解它的本质.并给出了柯西不等式在微积分、线性代数、概率论、泛函分析中的另一内容和形式，充分体现了数学各领域间的内通性、渗透性和统一性.通过列举了一系列范例揭示了柯西不等式在推导公式、证明三角形不等式、求最值等方面的广泛应用.关键词:柯西不等式；赫尔德不等式；闵可夫斯基不等式中图分类号:O17TheCauchyInequalityandApplicationDengLifen(Tutor：YanHui)(CollegeofArts&ScienceofHubeiNormalUniversity,Huangshi,435002,China)Abstract:CauchyInequalityisaveryimportantinequality,anditcanmakesomerelativelydifficultproblemssimpleifyoucanuseitflexiblyandingeniously.ThisarticleanalyzessevenkindsofmethodstoprovetheCauchyInequalityanditsgeneralization,andyoucanunderstandtheessencedeeply.ItgivesanotherformandcontentoftheCauchyInequalityincalculus,linearalgebra,probabilitytheory,functionalanalysis,andfullybeembodiedtheinternalcause,thepermeabilityandunityinthefieldofmathematics.Accordingtoaseriesofexamples,itcanrevealwideapplicationsinvariousfieldsinusingtheCauchyInequalityintheformula,provingofthetriangleinequalityandseekingthemostvalue.Keywords:CauchyInequality;HolderInequality;MinkowskiInequality湖北师范学院文理学院2015届本科毕业论文1柯西不等式及其应用邓丽芬(指导老师，严慧讲师)（湖北师范学院文理学院中国黄石435002）1.前言柯西不等式是柯西（Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的.但从历史的角度讲，该不等式应称为Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式【柯西-布尼亚科夫斯基-施瓦茨不等式】，正是因为后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广知，才将这一不等式应用到近乎完善的地步.柯西不等式在初等数学、高等数学、微积分、概率论、线性代数等领域有广泛的应用.虽在不同的领域有着不同的形式和内容，但又统一于欧式空间两向量的内积运算中，是异于均值不等式的另一个重要的不等式.柯西不等式的证明有很多种方法，每个方法都有它自己的优点和缺点，要认真了解每种证明的条件和特点，理解其本质.柯西不等式在不同领域中的证明方式充分说明了人类思维的多样性、渗透性和完备性.认识这一点可以使思维更活跃，也可以使我们的学习更富有创造性.柯西不等式形式优美、结构巧妙，具有较强的应用性，深受人们喜爱.在形式上灵活巧妙地应用它，可以解决数学上的不等式证明、推到空间点到直线的距离公式、三角形相关问题求解、最值求解等很多问题.本文从柯西不等式的本质出发对其证明，探讨了柯西不等式的多种证明方法，研究了柯西不等式几种特殊的推广形式，并通过列举了一系列范例揭示了柯西不等式在代数、几何等各方面的广泛应用.2.柯西不等式的证明运用数学归纳法、构造函数法、二次型法、线性相关法、配方法，以及利用初等方法，向量内积来证明柯西不等式，让我们深入的了解其本质.证明柯西不等式有很多种方法，除了上述所说的方法外，还可以用比较法、参数法、引进记号法、利用均值不等式、拉格朗日恒等式等其他方法证明.定理2.1（Cauchy不等式):设有两组实数12,,,naaa及12,,,bnbb为任意实数，则湖北师范学院文理学院2015届本科毕业论文2不等式：222111nnniiiiiiiabab.成立，当且仅当1212nnaaabbb时取等号.这定理在12=0naaa或120nbbb时明显成立，所以在以下的证明中，不妨设12,,,naaa中至少有一个不是零，12,,,bnbb中也至少有一个不是零.下面我们就用几种不同的方法来证明柯西不等式，理解其本质.2.1利用数学归纳法证明证（1）当1n时，2221111abab,不等式成立.（2）假设nk时，不等式成立.令211kiiSa，221kiiSb，31kiiiSab，有2123SSS；那么当1nk时，11222211211122221211211122311121122311311231121122kkiikkiikkkkkkkkkkkkkkkiiiabSaSbSSSbSaabSabSSabSabSabSabab综上所述，对nN,,i1,2,,niiabR，均有222111nnniiiiiiiabab.即柯西不等式得证.2.2利用构造函数法证明[1]证设实变量x的二次函数湖北师范学院文理学院2015届本科毕业论文3222211112nnnnkkkkkkkkkkfxaxbxaxabb，由于对任意实数x，总有0fx，又2x的系数是正数，于是222111440nnnkkkkkkkabab.即222111nnnkkkkkkkabab.故柯西不等式得证.2.3利用二次型法证明[6]证因为22222111120nnnnkkkkkkkkkkaxabxybyaxby，所以，关于yx,的二次型22221112nnnkkkkkkkaxabxyby非负定.因此21112110nnkkkkknkkkkkaababb,即222111nnnkkkkkkkabab.2.4利用线性相关法证明[8]证设nR为向量空间，若1212,,,,,,,nnnaaabbbR，则222222211221212nnnnabababaaabbb