柯西中值定理在中学中的应用和扩展

中值定理在中学数学教学的应用摘要：通过对柯西中值定理进行讨论，明确了中学教学引入柯西中值定理的意义。分别讨论了柯西中值定理在中学教学中关于函数单调性、不等式和等式证明方面的应用。提出柯西中值定理在不等式和等式证明方面相较于纯粹的求导的方法具有快捷、计算简单的优势。最后，对中值定理在中学教学的扩展进行了讨论。关键词：柯西中值定理；中学教学前言随着当今社会科学技术的不断发展，定量思维正逐渐影响着公众的生活。随之而来的是对各个学科教学发展的要求。将微积分这一思想引入中学的教学是提高中学教学水平的一种体现。相较于基础教学，微积分具有鲜明的几何意义，目前在中学数学、物理等学科的教学中已经由辅助角色抬升到处理解决问题的有效工具。但是，由于引入了新的概念，在具体应用，尤其是教学的方式方法上与以往的教学差别很大，给教学工作带来了一定的困难。柯西中值定理作为微分中值定理中重要的一个定理，在中学微积分的教学中占有重要比例。但是，目前对柯西中值定理在中学教学的讨论和分析较少。因此，有必要对可惜中值定理在中学教学中的应用和扩展进行讨论。一柯西中值定理柯西中值定理与罗尔定理、拉格朗日中值定理并称为微分方程三个基本定理。柯西中值定理的具体表述概念为：假设两个函数分别为f（x）和g（x）。这两个函数f（x）和g（x）分别满足三个条件：第一个是条件是f（x）和g（x）在闭区间[a,b]上函数是连续的，第二个条件是是f（x）和g（x）在开区间（a,b）内函数是可导的，第三个条件是当x∈开区间（a,b）时，𝑔,(𝑥)不等于0。当三个条件同时满足时，在开区间(a,b)中至少存在一点ξ∈开区间（a,b），能够使得𝑓,（ξ）/𝑔,（ξ）=（f（a）-f（b））/g（a）-g（b））。具体证明为如果假设g（a）与g（b）相等。根据罗尔定理，在开区间(a,b)上，存在一点x，使得𝑔,(𝑥)等于0。而这与之前假设的第三个条件矛盾。因此，g（a）与g（b）不相等。然后假设存在一函数h（x）,且h（x）=f（x）-（f（b）-f（a））/（g（b）-g（a））。根据h（x）得出该函数在闭区间[a,b]上是连续的，在开区间（a,b）上是可导的且h（a）=h（b）=（f（a）g（b）-f（b）g（a））/（g（b）-g（a））。则根据罗尔定理推出，在开区间（a,b）上，存在一点ξ，使得ℎ,（ξ)，也就是𝑓,(ξ)=（f（b）-f（a））/（g（b）-g（a））·𝑔,(ξ)。由以上证明过程可以看出，柯西中值定理就是一个函数相较于另一个函数的变化的问题。倘若g（x）设定为g（x）=x，即一个函数相较于x坐标轴的相较变化的问题，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理的形式。由此分析拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特定表达形式，而柯西中值定理则是x坐标轴参数化了的拉格朗日中值定理。从几何角度分析，其意义为以参数方程为表达形式的曲线中，存在一个点，使得在这个点上的曲线的切线与曲线两个端点所在的弦。二中学教学引入柯西中值定理的意义恩格斯曾经将微积分学的创立称为“人类精神层面的最高胜利”。将包括柯西中值定理在内的微分中值定理的内容引入到中学数学，不仅为学生在学习和计算上提供了一个有力的工具、扩展了学生学习的领域，还发散了学生思考、考虑问题的方式，有助于学生有效的解决与函数相关的大量问题。而且，将包括柯西中值定理在内的微分中值定理的内容引入到中学数学，可以增强学生数形结合的思想，提高学生解决问题的能力。从近年高考中设计“微积分”的内容不断增加、考察形式不断变化可以看出，微积分相关知识点从辅助解决问题的工具上升到主要解决问题的工具。微积分相关的内容，特别是应用微分中值定理解决函数单调性和机制以及证明不等式等问题越来越受到重视。三柯西中值定理在中学教学中的应用由于在中学教学中引入柯西中值定理具有重要意义，在中学的数学教学中已经引入了柯西中值定理。下面首先就柯西中值定理在中学数学这门学科的教学中的应用进行分析和探讨。然后以通过讨论柯西中值定理在不同版本教材中的体现，分析其在中学教学中的应用。(一)柯西中值定理在数学教学中的应用包括导数、微积分和定积分在内的基本原理已经纳入了《普通高中数学课程标准》之中，柯西中值定理也自然在课程标准之列。目前的中学数学教学，不论何种版本的教材，均通过强调逼近和以直线代替曲线的思想方法先引入导数的概念，然后再循序渐进的引入罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理。目前，柯西中值定理在中学数学中的应用主要体现在利用柯西中值定理证明函数的单调性、利用柯西中值定理证明等式和不等式。下面通过具体的例子介绍柯西中值定理的应用。例1证明函数的单调性。如果有f(0)=0,且函数f(x)在开区间(0,+∞)上是单调递增的。证明函数f(x)/x在开区间(0,+∞)上也是单调递增的。分析:如果一个函数在一定的区间内是单调递增的，则该函数图形切线上的斜率在这一特定区间内均为正值，即该函数的导数在这一特定区间内均为正值。如果一个函数在一定的区间内是单调递减的，则该函数图形切线上的斜率在这一特定区间内均为负值，即该函数的导数在这一特定区间内均为负值。由此，可以利用柯西中值定理和函数的导数来证明。根据柯西中值定理f（x）/x=（f（x）-f（0））/（x-0）=𝑓,(ξ),（0ξx）。而且因为f（x）/x小于等于𝑓,(x)，即x·𝑓,(x)f(x)，所以[x·𝑓,(x)f（x）]/𝑥2，也就是f（x）/x在开区间（0,+∞）是单调增加的。例2证明不等式。假设a,b,c∈开区间（-1，1），则在开区间（-1，1）a,b,c存在不等式使得abca+b+b-2。分析：假设函数f(x)满足条件f（x）=xbc-（x+b+c-2）。则当x∈开区间（-1，1）时，f（x）=xbc-（x+b+c-2）=（bc-1）x+（2-b-c）。又因为𝑓,(x)=bc-1是小于0的，所以当x∈开区间（-1，1），f（x）单调递减，且f（1）=bc-b-c+1=（b-1）·（c-1）大于0.由以上可以推出当x∈开区间（-1，1），有f（x）大于0，即a∈开区间（-1，1），f（a）大于0，即abca+b+c-2。例3证明不等式。假设当f(x)在（-1,1）内可导，f（0）=0，|f’(x)|=1，证明在（-1,1）内，|f(x)|1.分析：首先设立辅助函数g（x）=x,在[0,x](或[x，0])上（xϵ(-1,1)），应用柯西中值定理得，[f（x）-f（0）]/[g（x）-g（0）]=f’(ξ)/1=f’(ξ)。又因为f（0）=0，g（0）=0，且|f’(x)|=1，所以|f（x）/g（x）|=|f’(ξ)|≤1。所以|f(x)|≤|x|≤1。证明完毕。通过比较利用柯西中值定理和直接求导两种方法解决这一不等式证明的问题可以看出，柯西中值定理在证明时，通过灵活的设计辅助函数可以明显简化计算，但是对辅助函数的设计要求较高。而直接求导证明单调性的方法思路清晰，但是计算过程较为复杂，特别是当辅助函数设计的复杂时，函数的求导过程很容易出现错误。例4证明等式。假设当x属于闭区间[a,b]（a0），函数f（x）可导，证明当ξ属于开区间（a，b），有f（b）-f（a）=ξf’(ξ)ln𝑏𝑎。分析：要证明以上问题，只需对上式进行调整，证明[f（b）-f（a）]/（lnb-lna）=f’(ξ)/1ξ即可。设立辅助函数g（x），令g（x）=lnx。因为f（x）、g（x）均符合柯西中值定理，所以当ξ属于开区间（a,b）时,[f（b）-f（c）]/[g（b）-g（a）]=𝑓,(ξ)/𝑔,(ξ),由此可以得出[f（b）-f（a）]/（lnb-lna）=f’(ξ)/1ξ，将等式变形即可得f（b）-f（a）=ξf’(ξ)ln𝑏𝑎。证明完成。例5证明等式。假设当x属于区间（a,b）（a0），函数f（x）可导，证明存在ξ，θ属于开区间（a，b），使f’(ξ)=a+b2𝜃f’(θ)。分析：要证明以上问题，设立辅助函数g（x），令g（x）=x2。运用柯西中值定理可得，存在θ属于（a，b），使得[f（b）-f（a）]/（b2-a2）=f’(θ)/2θ，可变形为式1：[f（b）-f（a）]/（b2-a2）=f（b）−f（a）𝑏−𝑎*1a+b。再设立辅助函数y（x），令y（x）=x，存在ξ属于（a，b），使得式2：[f（b）-f（a）]/（b-a）=f’(ξ)/1。式1和式2相结合可得f’(ξ)*1a+b=[f（b）-f（a）]/（b2-a2）=f’(θ)/2θ，即f’(ξ)=a+b2𝜃f’(θ)。证明完毕。通过分析利用柯西中值定理证明不等式和等式，可以看出在利用柯西中值定理证明时，设立辅助函数，对其的整理工作至关重要。通过辅助函数和整理变形找到符合柯西中值定理的两个函数，以此证明不等式或者等式。（二）柯西中值定理在中学数学教材中的体现教材是在中小学中以课程目标为指导、开展学习活动的重要依据，是学习中必不可少的用品。目前我国在中学数学中使用的教材各不相同。具体而言，中学数学教材主要使用的有人民教育出版社A版、人民教育出版社B版、北京师范大学版。本文主要通过对柯西中值定理在人民教育出版社A版、人民教育出版社B版中的体现进行讨论，分析柯西中值定理在中学数学教学中的应用。在讲解柯西中值定理中，人民教育出版社A版通过引言、观察、思考、探究等几个板块，提出柯西中值定理，并在之后通过探究和发现、课后作业等板块对可惜中值定理进行讨论。人民教育出版社B版在结构中则主要包括引言、注释、思考和讨论等板块。对比以上结构组成可以看出，人民教育出版社A版在结构设计中比B版更加充分、丰富。在教学中通过提出问题，引导学生对柯西中值定理进行思考，通过发散性思维，引导学生在柯西中值定理的学习中与之前已经学过的知识加强联系，进而加深对知识点的理解和掌握。而人民教育出版社B版，虽然在结构设置中不如A版充分、丰富，在对学生的引导中，不如A版完善，但是B版更加精练、系统。人民教育出版社B版通过系统性的对知识点进行阐述，深入的对知识点进行剖析，并通过具有针对性的课后习题加强学生在学习中对柯西中值定理的理解。四柯西中值定理在中学教学中的扩展自从包括柯西中值定理在内的微分中值定理，甚至微积分，引入中学的教学之后，争议的声音就从未停止过。赞成引入的人认为将柯西中值定理等微积分引入中学，有利于学生掌握多种函数计算方法，能够为日后高等数学的学习打下良好的基础；反对的人认为，虽然柯西中值定理等微积分已经引入中学，但是却忽略了极限这一思想，不利于学生对知识的掌握。事实上，由于受中学阶段学生知识水平的局限，在实际教学过程中对包括柯西中值定理在内的微分中值定理的证明过程还是不够完善，更多的可以依靠启发学生自主的思考和探索，利用课后的时间进行学习。在教学中引入中值定理的主要目的是解决那些使用初等函数解决问题比较复杂但是使用中值定理等微积分思想解决起来比较简单的问题，为这样的问题提出一种简单的思路。通过柯西中值定理的引入，确实可以看出在解决特定问题时，其具有简单快捷的特点，而学生对柯西中值定理的掌握方面也比较乐观。由此可以看出，可以结合学生知识水平，通过适当引入高等数学关于极限的思想，与柯西中值定理的教学相配合，提高学生解决问题的能力。参考文献：[1]卢玉峰，微分中值定理历史与发展[J].高等数学研究.2008，11（5）:59-63.[2]闵兰，陈晓敏.几个微分中值定理之异同[J].西南师范大学学报（自然科学版），2009（6）：196-199[3]周焕琴.浅谈中值定理在解题中的应用[J].高等数学研究，1992，2（3）.