根除埃博拉病毒

2015数学建模暑期第一次模拟赛承诺书我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：B我们的报名参赛队号为（8位数字组成的编号）：所属学校（请填写完整的全名）：四川理工学院参赛队员(打印并签名)：1.2.3.指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：（论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误，论文可能被取消评奖资格。）日期：年月日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2015数学建模暑期第一次模拟赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：根除埃博拉病毒摘要本文通过分析埃博拉病毒在两个“虚拟种群”中传播的“数据”，建立了病毒传播模型，解决了疫情在猩猩和人类的虚拟种群中的发展情况问题。首先，根据附录中的数据，用Matlab软件进行数值模拟，画出趋势图，做出数量变化图。接着基于SIR模型，分析病毒在“虚拟猩猩种群”中的传播，描述人和猩猩疫情的发展，并预测接下来在猩猩中的疫情变化和在这两个群体中的发展情况，最后改变之前模型，做出相轨线，并分析各种疫情控制措施的严格执行和药物（包括防疫药物、检疫药物和治疗药物等）效果的提高等措施对控制疫情的作用。针对问题一，首先做出猩猩群体间传播关系图，分析埃博拉病毒在猩猩种群中的传播规律，根据附录1中的数据，利用Matlab软件做出前40周猩猩群体处于发病状态个数、总共自愈个数、总共累计死亡个数随周数变化的趋势图。接着建立动力系统模型，用Matlab进行数值拟合，拟合较好，做出0～200周自愈个数和死亡个数的变化曲线，分析病毒在“虚拟猩猩种群”中的传播，完成了数据的预测（表1）。针对问题二，首先建立埃博拉病毒在人群传播关系图，分析埃博拉病毒在人类种群中的传播规律，根据附件2中的数据，用Matlab做出在0～40周期间，人群不同时期的数量变化图。接着建立SIR模型，用Matlab软件对前40周各人群的数据进行数值拟合，得到拟合曲线，做出预测图，得出递推关系，完成了数据的预测（表2）。针对问题三，首先基于问题一和问题二的模型分析，严格控制了人类与猩猩的接触，对模型做出改变，得到病毒在人群中的传播关系图，可以看出：埃博拉病毒在未隔离人群之前的传播与问题二相似，只是专家提高了隔离人群的治愈率，从而有效降低了感染人群的死亡率。对埃博拉病毒传播的抑制起到了积极作用。接着建立数学模型，用Matlab软件进行数值拟合，使用模型进行预测（表3）。针对问题四，根据上述数学模型，以及建立的微分方程我们可以用Matlab做出SI相轨线，分析可知防疫药物效果提高及严格控制接触病原措施：改良检疫药物，以及改进治疗药物的作用。最后，本文对模型进行了分析，并对模型进行了优缺点的评价及推广。关键词：SIR模型微分方程相轨线数值拟合Matlab一、问题重述1.1问题背景埃博拉病毒（又译作伊波拉病毒）于1976年在苏丹南部和刚果的埃博拉河地区被发现后，引起了医学界的广泛关注和重视。该病毒是能引起人类和灵长类动物产生埃博拉出血热的烈性传染病病毒，其生物安全等级为4级（艾滋病为3级，SARS为3级，级数越大防护越严格）。埃博拉病毒有传染性，主要是通过病人的血液、唾液、汗水和分泌物等途径传播。各种非人类灵长类动物普遍易感，经肠道、非胃肠道或鼻内途径均可造成感染，病毒的潜伏期通常只有5天至10天，感染后2～5天出现高热，6～9天死亡。发病后1～4天直至死亡，血液都含有病毒。埃博拉病毒感染者有很高的死亡率（在50%至90%之间），致死原因主要为中风、心肌梗塞、低血容量休克或多发性器官衰竭。当前主流的认知是，埃博拉病毒主要通过接触传播，而非通过空气传播；只有病人在出现埃博拉症状以后才具有传染性。在疾病的早期阶段，埃博拉病毒可能不具有高度的传染性，在此期间接触病人甚至可能不会受感染，随着疾病的进展，病人的因腹泻、呕吐和出血所排出的体液将具有高度的生物危险性；存在似乎天生就对埃博拉免疫的人，痊愈之后的人也会对入侵他们的那种埃博拉病毒有了免疫能力。埃博拉病毒很难根除，迄今为止已有多次疫情爆发的记录。据百度百科，最近的一次在2014年。截至2014年9月25日，此次在西非爆发的埃博拉疫情已经导致逾3000人死亡，另有6500被确诊感染。更为可怕的是，埃博拉病毒可能经过变异后可以通过呼吸传播！本题希望同学们通过数学建模的方法量化埃博拉病毒的传播规律，深刻认识该病毒的危害，并分析隔离措施的严格执行和药物治疗效果的提高等措施对控制疫情的作用。但由于种种原因，我们暂时无法获得有关某次埃博拉疫情的完整数据。为此，我们特意人为假设了两个“虚拟种群”，并给出了埃博拉病毒在“虚拟种群”中传播的“数据”。（“虚拟种群”的设定以及相应的“数据”不一定符合实际情况，只是借此考察同学的数学建模能力和解决实际问题的能力，请勿对号入座！）假设某地区有20万居民和3000只猩猩。人能以一定的概率接触到所有的猩猩，当接触到有传播能力的猩猩后有一定概率感染病毒，而人发病之后与猩猩的接触可以忽略。研究人员统计了前40周人类和猩猩的发病数量和死亡数量等信息（见附件一，附件二），请你根据相关信息（亦可自行查找你认为有用的信息或数据），研究回答以下问题：1.2问题提出1、根据猩猩的发病数量和死亡数量，建立一个病毒传播模型，动态描述病毒在“虚拟猩猩种群”中的传播，并预测接下来的在猩猩中的疫情变化，并以下述格式给出“虚拟猩猩种群”在第80周、第120周、第200周的相关数据；“虚拟猩猩种群”群体数量预测结果（单位：只）潜伏群体处于发病状态累计自愈累计因病死亡第80周第120周第200周2、建立“虚拟种群”相互感染的疾病传播模型，综合描述人和猩猩疫情的发展，并预测接下来疫情在这两个群体中的发展情况，并以下述格式给出“虚拟人类种群”在第80周、第120周、第200周的相关数据；“虚拟人类种群”群体数量预测结果（单位：个）潜伏人群处于发病状态隔离治疗累计治愈累计因病死亡第80周第120周第200周3、假设在第41周，外界的专家开始介入，并立即严格控制了人类与猩猩的接触，且通过某种特效药物将隔离治疗人群的治愈率提高到了80%。请预测接下来疫情在“虚拟人类种群”的发展情况，对比第2问的预测结果说明其作用和影响，给出“虚拟人类种群”在第45周、第50周、第55周的相关数据，数据格式同问题2；4、请依据前述数学模型，分析各种疫情控制措施的严格执行和药物（包括防疫药物、检疫药物和治疗药物等）效果的提高等措施对控制疫情的作用。二、基本假设1.假设埃博拉病毒在研究过程中不会变异。2.在病毒传染期内虚拟猩猩种群的总数n和人总数N不变。3.不考虑出生和死亡因素对传播的影响。4.痊愈后的感染者（人类种群和猩猩种群）不会再感染，并且存在天生就对埃博拉免疫的人。5.发病者向移出者转变的速率与发病者的个数成正比。6.从第41周开始，由于外界因素的控制，猩猩与人的接触被控制，发病猩猩无法再感染人群，且人群的治愈率提高到了常量0.8。7.假设附件所给数据均真实可靠。三、问题一3.1问题一的分析我们将猩猩群体分为：潜伏群体（E）、发病者（I）、死亡者（D）、自愈者（R）。各群体间关系图如下：图1猩猩各群体关系图由上图1可以看出，埃博拉病毒在猩猩种群中的传播规律：首先在群体中形成一部分潜伏群体，潜伏群体中的一部分个体再感染病毒；在发病者中，一部分个体由自身免潜伏群体（E）发病者（I）自愈者（R）死亡者（D）疫机制作用而自愈，另一部分个体则死亡。根据附录1中的数据，利用Matlab软件做出前40周猩猩群体处于发病状态个数、总共自愈个数、总共累计死亡个数随周数变化的趋势图。020400102030405060708090周数截至本周末处于发病状态的个数02040020406080100120140160180200周数截止本周总共自愈的个数02040050100150200250300350400周数截止本周总共累计死亡个数图2前40周猩猩各群体数量图由上图2可以看出，处于发病状态的猩猩个体数量在病毒刚开始传播阶段有一个爆发式增长，其后发病个体数量便开始减少；而自愈个体数和死亡个体数随着时间的增长而增长。3.2问题一模型的建立与求解根据图１所示的埃博拉病毒在猩猩种群传播的关系图，建立如下动力系统模型：)()()()1()()()()()()()(11tIfdttdDtIfdttdRtItEdttdItEtIdttdE其中，为患病猩猩的传染率，1f为患病猩猩的死亡率，1为平均潜伏期，1为平均感染期。根据WHO的报告，取参数3.5天，6.5天，其他参数如附录1所示。取初值25)0(E，1)0(I，0)0(R。由此可知，只要知道了)(tS和)(tI,即可求出)(tR。而dtdI和dtdS与)(tR无关，因此由：ISdtdSIISdtdI得SISIISdSdI1)()(从而)ln()(sSsI其中，S为易感猩猩数，为病毒在猩猩间的传染率。接下来，我们用Matlab进行数值模拟，并与埃博拉病毒传播初期（这个阶段还处于自然传播期）的实际死亡猩猩的数据进行比较，拟合很好。05101520253035400102030405060708090周数发病状态个数0510152025303540020406080100120140160180200周数自愈个数图3发病个数的曲线拟合图4自愈个数的曲线拟合0510152025303540050100150200250300350400周数死亡个数图5死亡个数的曲线拟合我们得到发病状态、自愈和死亡个数(y)与时间(x)的函数关系式为：发病：xey00991.089.55自愈：9297.0042.6xy死亡：9304.006.12xy再根据它们的函数关系式，用Matlab做出0～200周自愈个数和死亡个数的变化曲线：0204060801001201401601802000100200300400500600700800900周数自愈个数020406080100120140160180200020040060080010001200140016001800周数死亡个数图6自愈个数预测图图7死亡个数预测图0204060801001201401601802000102030405060周数发病状态个数图8发病状态个数预测图我们通过图3在0～40周发病数量的曲线，可以假设处于发病状态猩猩在第80周、第120周、第200周的数量数据分别为8、4、3个，而每周潜伏群体个数与下下周累计得过病的猩猩（下下周正在发病的猩猩和累计移出猩猩之和）个数之间存在隐含的关系，即：因为埃博拉病毒在宿主体内的潜伏期为2周，故可知下下周累计得过病的猩猩减去本周处于发病状态的猩猩个数即为本周的潜伏群体个数。并且我们通