格林互易定理在求解静电学奥赛题中的应用

例析格林互易定理在求解静电学奥赛题中的应用金彪（浙江省春晖中学浙江绍兴312353）在静电场中，有一组固定的n个导体系统，n个导体上的电荷为,........,21mqqq它们的电势分别为,....,21mUUU当的n个导体的电荷变为,........,21mqqq它们的电势,....,21mUUU则必有niiiniiiUqUq11成立。上面的定理叫做格林互易定理，其严格证明超出了中学物理的范围，但在求解有关静电感应的一些中学物理竞赛问题时,若用格林互易定理的方法来求解,则可以起到事半功倍的效果，下面就来看几个往年竞赛真题。例1：（第13届预赛第5题）在静电复印机里，常用如图所示的电路来调节A、C两板间电场强度的大小，从而用来控制复印件的颜色深浅．在操作时，首先对由金属平板A、B组成的平行板电容器充电．该电容器的B板接地，A、B板间填充有介电常数为的电介质，充电后两板间的电势差为U．而后，断开该充电电源，将连接金属平板C和可调电源E的开关K闭合．这样，A、C两板间的电场强度将随可调电源E的电动势变化而得以调节．已知C板与A板很近，相互平行，且各板面积相等．A、B板间距离为dl，A、C板间距离为d2，A、C板间空气的介电常数取为1．试求；当电源E的电动势为U0时，A、C两板间某点P处的电场强度．解：先求出上下两电容器的电容：A、C两板间的电容为224kdSCA、B两板间的电容为114kdSC对由金属平板A、B组成的平行板电容器充电后，由已知条件可的C、A、B三块板的电势分别为0,,UU所带电量分别为114,4,0kdSUkdSU当断开该充电电源，连接金属平板C和可调电源E的开关K闭合后，A板总电量不变，电势变化，设此时A板电势为U；B板电量变化而电势仍为零，设B板电量为q；C板电势变为0U，电量可以根据A、C两板的电势差求得204kdSUUqCd2PKABCd1则C、A、B三块板的电势分别为0,,0UU所带电量分别为qkdSUkdSUU,4,4120将变化前的电势与变化后的电量相乘，变化前的电量与变化后的电势相乘，由格林互易定理可得0440044110120kdSUUkdSUUqkdSUUkdSUUU上式消去kUS4得：UddUdUU11201左右两边都减去01Ud，可得UUdUddUdUU01011201可得：2102120101ddUUdddUUdUU则P点场强为21020ddUUdUUEP例2：(第12届决赛第3题)如图所示，正四面体ABCD各面均为导体，但又彼此绝缘．已知带电后四个面的静电势分别为、、和，求四面体中心O点的电势。解：由题意，设四个面与中心O的电荷量分别为1q、2q、3q、4q、0同时，四个面与中心的电势分别为1、2、3、4、0现将外面四个面接地，中心放一个电量为Q的点电荷，中心电势为U，而四个面产生ABCDo的感应电荷都相等，为4Q，则此时四个面与中心O的电荷和电势分别为4Q、4Q、4Q、4Q、Q0、0、0、0、U由格林互易定理可得：0444404321QQQQQ即可得443210例3：（第14届决赛第7题）有100块平行放置的正方形大导体板，每块边长均为L，相邻两板彼此相对的两个表面的间距均为d，Ld，将这些导体板从左至右顺次编号为1，2，...100.开始每板上都带有净电荷，已知第1块板上的净电量为1q（设01q），第n块板上的净电量为1nqqn，今将第1块和第100块导体板接地，如图所示.忽略边缘效应.问：1.从第1块和第100块导体板上流入大地的电量1q和100q各为1q的多少倍？2.上述两板接地后哪块板上的电势最高？其电势是多少？解：当第1块和第100块导体板接地后，这两块板电量发生改变，所有极板的电势也发生了改变，则可设1001极板的总电量和电势分别为：1001111199432Q,q,,q,q,q,Q0099432,U,,U,U,U,现改变各导体板电量。变化一：使992极板电量都变为0，而1板电量为q，100板电量为q，且假设1板接地，100板电势为CqU99100（其中C为相邻两板间的电容）。则1001极板的电量和电势分别为：q,,,,,,q0000Cq,Cq,,Cq,Cq,Cq,9998320将变化后的电势与电量和题给条件的电势与电量结合，由格林互易定理可得：1001111199432999998433220000000QCqqCqqCqqCqqCqQqUUUUq11222111100323266298996197999899983219832199999843322199qqqqQ则可以求得第100块板流入大地的电荷为：1100100100323366qQqq变化二：使992极板电量都变为0，1板电量为q，100板电量为q，且假设100板接地；1板电势为CqU991（其中C为相邻两板间的电容）。则1001极板的电量和电势分别为：q,,,,,,q0000096979899,Cq,,Cq,Cq,Cq,Cq将变化后的电势与电量和题给条件的电势与电量结合，由格林互易定理可得：100111119943209949639729899000000QqCqqCqqCqqCqQCqqUUUUq11222211131168216199100992101981009999432994321009999149639729899qqqqQ则可以求得第100块板流入大地的电荷为：1111311683qQqq变化三：使第n极板带电量为q，1n极板带电量为q且接地，其它极板都不带电。则极板n1电势皆为CqU，极板1001n电势皆为零，则1001极板的电量和电势分别为：00000,,q,q,,,00,,,Cq,,Cq,Cq,Cq将变化后的电势与电量和题给条件的电势与电量结合，由格林互易定理可得：1001111199132010320000000QqnnqCqqCqqCqQCqUqUqUUUnn可得：212311682212132111111111nnCqnnqQCnqqqQCUUnn同理可得：22131168211nnCqUUnn分析上面两式式可得，当58n时，01nnUU，01nnUU。即可得第58块板上电势最高。令22131168211nnCqUUUnnn，则第58块板的电势为：212158221582158321463441457602112117595895950421573116832213116820LkdqLkdqnnCqnnCqUUUUUnnn