桥梁振动耦合研究

由此可见，通过分离变量，偏微分方程（2-3）可分离为上面两个常微分方程式，其中式（2-6的解可表示）为T(t)=Asin(𝜔𝑡+𝜑)（2-7）其中A和φ是常数，可由桥梁振动初始条件确定。𝜔2=λ，ω为无阻尼条件下桥梁的自由振动圆频率，其相应的自由振动频率为𝑓=𝜔2𝜋相应的自由振动周期为T=1𝑓=2𝜋𝜔方程（2-5）可简化为𝜕4X∂𝑥4−𝛽4∙𝑋=0(2-8)其中参数𝛽4定义为𝛽4=𝑚𝐸𝐼𝜔2方程（2-8）的解确定桥梁弯曲振动的模态函数，设其一般形式Χ(x)=eix(2-9)带入方程（2-8），导出本征方程𝜆4−𝛽4=0(2-10)由此可得𝜆1,2=±𝛽𝜆3,4=±𝑖𝛽由于e±βx=𝑐ℎ𝛽𝑥+𝑠ℎ𝛽𝑥e±iβx=𝑐𝑜𝑠𝛽𝑥±𝑠𝑖𝑛𝛽𝑥方程（2-9）的通解写作χ(x)=𝐶1𝑐𝑜𝑠𝛽𝑥+𝐶2𝑠𝑖𝑛𝛽𝑥+𝐶3𝑐ℎ𝛽𝑥+𝐶4𝑠ℎ𝛽𝑥(2-11)式（2-11）表示梁在自由振动的轴线挠曲形式，称为主振动曲线或主振动函数，式中𝐶1,𝐶2,𝐶3,𝐶4都为积分常数，由边界条件确定2.1.2由简支梁的边界条件，求振型、频率对简支梁，简支端的挠度y和弯矩M等于0。其边界条件为Χ(0)=0,χ(L)=0,Χ(0)=0,Χ(𝐿)=0将上式代入（2-11）后，得到𝐶1=0,𝐶3=0,𝐶4=0,𝐶2𝑠𝑖𝑛𝛽𝐿=0由于𝐶2≠0,因此等截面简支梁的自由振动频率方程为sin𝛽𝐿=0(2-12)解出𝛽𝑖𝐿=iπ(i=1,2,3…)对应的固有频率为𝜔𝑖=(𝑖𝜋𝐿)2√𝐸𝐼𝑚(i=1,2,…)(2-13)代回（2-11）计算模态，将任意常数𝐶2取作1，得到Χ𝑖(𝑥)=sin𝑖𝜋𝐿𝑥(i=1,2,…)(2-14)方程（2-3）的一般解为各振型的线性叠加。则得全桥的自由振动响应为𝑦(𝑥,𝑡)=∑Χ𝑖∞𝑖=1(𝑥)⋅𝑇𝑖(𝑡)(2-15)其中第一振型𝑋𝑖(𝑥)=sin𝜋𝐿𝑥和与其相应的第一阶段固有频率（称为桥梁振型的基频）𝜔1=(𝜋𝐿)2√𝐸𝐼𝑚具有重要的上程意义