桥梁结构振动与稳定分析

东南大学—交通学院东南大学(2014～2015)年第一学期桥梁结构振动与稳定分析研究报告成绩：姓名：高明天学号：145511专业：桥梁与隧道工程授课教师：万水日期：2015年1月东南大学—交通学院目录东南大学—交通学院第1页2薄板的振动理论及应用2.1薄板的自由振动薄板自由振动的一般问题是这样提出的：在一定的横向荷载作用下处于平衡位置的薄板，受到干扰力的作用而偏离这一位置，当干扰力被除去以后，在该平衡位置附近作微幅振动。（1）试求薄板振动的频率，特别是最低频率。（2）设已知薄板的初始条件，即已知处挠度及初速度，试求薄板在任意瞬时的挠度。设薄板在平衡位置的挠度为),(yxwwee，这时，薄板所受的横向静荷载为),(yxqq。则薄板的弹性曲面微分方程为：qwDe4（a)式（a)标示：薄板每单位面积上所受的弹性力ewD4和它所受的横向荷载q成平衡。设薄板在振动过程中的任意瞬时t的挠度为),,(ttyxwwt，则薄板每单位面积上在该瞬时所受的弹性力t4wD，将与横向荷载q及惯性力iq成平衡，即iqqwDt4（b)薄板的加速度是22twt，因而每单位面积上的惯性力是22twmqti其中m为薄板每单位面积内的质量（包括薄板本身的质量和随同薄板振东的质量），则式（b）可以改写为22t4twmqwDt(c)将式（c）与式（a)相减，得到22t4)(twmwwDte由于),(yxwwee不随时间改变，02e2tw，所以上式可以改写成为)()(22t4etewwtmwwD(d)东南大学—交通学院第2页命薄板在任意瞬时的挠度为et，而式(d)成为224twmwD或0224twDmw（2-1）这就是薄板自由振动的微分方程。微分方程(2-1)有如下形式的解答：),()sincos(11yxWtBtAwwmmmmmmmm（2-2）在这里，薄板上每一点(x,y)的挠度，被标示成为无数多个简谐振动下的挠度相叠加，而每一个简谐振动的频率是m。另一方面，薄板在每一瞬时t的挠度，则被标示成为无数多钟振形下的挠度相叠加，而每一种振形下的挠度是由振形函数),(yxWm标示的。为了求出各种振形下的振形函数mW，以及与之相应的频率m，我们取),()sincos(yxWtBtAw代入式(2-1),然后消去因子)sincos(tBtA，得出所谓振形微分方程024WDmW（2-3）如果由这一微分方程求得W的满足边界条件的非零解，即可由关系式WWmD42（e）求得相应的频率。自由振动的频率，称为自然频率或固有频率，它们完全决定于薄板的固有特性，而与外来因素无关。实际上，只有当薄板的m为常量时，才有可能求得函数形式的解答。这时，命42Dm（2-4)则方程（2-3)简化为常系数微分方程044WW（2-5）现在就可能比较简便地求得W的满足边界条件的、函数形式的非零解，从而求得相应的值，然后再用（2-4）式求出相应的频率。将求出的那些振形函数及相应的频率取为mW及东南大学—交通学院第3页m，代入表达式（2-2），就有可能利用初始条件求得该表达式中的系数mA及mB。设初始条件为。),(),,()(0000yxtwyxwwtt则由（2-2）式得。),(),(),,(),(0101yxyxWByxwyxWAmmmmmmm于是可见，为了求得mA及mB，必将已知的初挠度0w及初速度0v展为mW的级数，这在数学处理上是比较困难的。因此，只有在特殊情况下，才有可能求得薄板自由振动的完整解答，即任一瞬时的挠度。在绝大多数的情况下，只能求得各种振形的振形函数及相应的频率。2.2四边简支的矩形薄板的自由振动取振形函数为bsinsxnaxminW（2a）其中m及n为整数，可以满足边界条件，代入（2-5）式，得图2-10bsins-am4222224xnaxminbn为了这一条件在薄板中面上的所有各点都能满足，也就是在x和y取任意值时都满足，必须有22222444222224am0-ambnbn（2b）将式（b）代入（2-4）式，得出自然频率的公式mDbnmD22222442am（2c）命m及n取不同的整数值，可以求得相应于不同振形的自然频率mDbnmn22222am（2-6）当薄板以这一频率振动时，振形函数为东南大学—交通学院第4页bsinsxnaxminWmn而薄板的挠度为bsins)sincos(mnxnaxmintBtAwmnmnmn（2d)则薄板在自由振动中任一瞬时的总挠度为11mnbsins)sincos(mnmnmnmnxnaxmintBtAw（2e)初挠度0w及初速度0v标示成振形函数的级数为：。bsinsv,bsinsCw1111011110xnaxminDWDxnaxminCWmnmnmnmnmnmnmnmnmnmn（2f)按照级数展开的公式，有。dxdyxnaxminabDdxdyxnaxminabmnmnbsins4,bsinsw4Ca0b00a0b00（2-7）根据初始条件。),(),,()(0000yxtwyxwwtt由式（2e)及式（2f)得，，bsinsbsinsbsinsbsins11111111mnxnaxminDxnaxminBxnaxminCxnaxminAmnmnmnmnmnmnmnmn由此得。，mnmnAmnmnmnDBC代入式（2e),即得完整的解答如下：,bsins)sincosC(11mnmnmnmnmnmnxnaxmintDtw（2-8）2.3两对边简支的矩形薄板的自由振动设薄板的x=0及x=a的两边为简支边。取振形函数为东南大学—交通学院第5页,sYaxminWm（3a)其中Ym只是y的函数，可以满足该简支边的边界条件。将式（3a）代入（2-5），得出常微分方程,02dyYd24442222244mmmYamdyYdam（3b）它的特征方程式图2-2,02244422224amramr而这个代数方程的四个根是22222222,amam（3c）大多数情况，2222am，而式（3c)所示的四个跟是两实两虚，可以写做。22222222,amiam注意Dm2，取正实数,,22222222222222amDmamamDmam（3d)则上述四个跟成为及i，而式（b)的解答可以写成yCyCyCyCYmsincossinhcosh4321从而得振形函数的表达式。axmyCyCyCyCsinsincossinhcoshW4321（2-9）在少数情况下，2222am，而式（3c)所示的四个跟都是实根。这时，取正实数,',22222222222222DmamamamDmam（3e）则振形函数的表达式成为东南大学—交通学院第6页。axmyCyCyCyCsin'sin'cossinhcoshW4321（2-10）其中1C至4C由y=0及y=b处的四个边界条件求出。2.4圆形薄板的自由振动薄板的自由振动微分方程仍然是（2-1），即0224twDmw（4a)但其中),,(wtw，而222222411仍把方程（4a）的解答取为无数多简谐振动的叠加，即),()sincos(11mmmmmmmmWtBtAww（4b）为了求出mW及相应的m，取),()sincosA(WtBtw（4c）代入方程（a)，仍得044WW（其Dm24）（4d）方程（4d）可以改写为0))((2222W也就是01111222222222222W（4e）显然（4e）的解也是（4d)的解。取nWcos)(F，n=0,1,2,...（4f）将式（4f)代入式（4e）,得常微分方程0F122222nddFdFd或引用量纲一的变量x而得0F22222nxdxdFxdxFdx这一微分方程的解答是)()()()(4321xKCxICxNCxJCFnnnn（4g）其中)(xJn及)(Nxn分别为实宗量的、n阶的第一种及第二种贝塞尔函数，)(Ixn及)(Kxn分别为虚宗量的、n阶的第一种及第二种贝塞尔函数。将式（4g）代入（4f）,即得东南大学—交通学院第7页nxKCxICxNCxJCWnnnncos)()()()(4321。（2-11）其中1C至4C由边界条件求出。2-5用差分法求自然频率基于方程（2-3），在任一典型结点0，有00204WDmW。利用差分公式，可得0)()(2)(820021211109876543210WDm其中h是网格间距。引用量纲一的常数Dh42m（2-13）则上列差分方程为0)()(2)(8)20(1211109876543210。（2-14）其中可以通过边界条件求得，有了代入（2-13）就可以得到。2-6用能量法求2-6.1瑞利法前边已提到，薄板的瞬时挠度可以表示成为),()sincosA(yxWtBtw（6a）如果以薄板经过平衡位置的瞬时作为初瞬时（t=0），则有0),(A)(0yxWwt由此可见A=0。将常数B归入),(Wyx，则式（a)简化为),(sinyxtWw（6b）速度的表达式为),(cosyxtWtw（6c）为了简便，假定薄板并不受有静荷载，于是静挠度0ew，而薄板的平衡位置就相应于无挠度时的平面状态。这样，由式（6b)及式（6c）可见，当薄板距平衡位置最远时，则有1sint，Ww，0cost，从而有0tw。这时，薄板的动能为零而形变势能达到最大值。这个最大势能是东南大学—交通学院第8页dxdyyxWyWxWWD22222222max,)1(22V（2-15）如果在薄板只有夹支边和简支边的情况下，上式简化为dxdyWD22max,)(2V（2-16）当薄板经过平衡位置时，我们有0sint，0w，1cost,速度达到最大值W。这时，薄板的形变势能为零，而动能达到最大值。按照式（6c),这个最大动能是dxdyWmdxdytwm222max,k221E（2-17）根据能量守恒定理有max,kmax,EV，即0EVmax,kmax,这是mC的一组m个齐次线性方程。为了W具有非零解，必须mC具有非零解，因而该线性方程组的系数行列式必须等于零。这样就得出求解的方程。2-6.2里茨法为了求得比较精确的最低自然频率，里茨建议把振形函数取为mWmmWC（2-18）其中mW是满足边界条件的设定函数，mC是互不依赖的待定函数。选m