点集拓扑学练习题(第二章)

1点集拓扑学练习题—第二章一.判断题(每小题2分)1.集合X的一个拓扑有不只一个基,一个基也可以生成若干个拓扑()2.拓扑空间中任两点的距离是无意义的.()3.实数集合中的开集,只能是开区间,或若干个开区间的并.()4.T1、T2是X的两个拓扑，则T1UT2是一个拓扑.()5.平庸空间中任一个序列均收敛，且收敛于任一个点。（）6.从（X，T1）到（X，T2）的恒同映射必是连续的。（）7．从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射()8．设12,TT是集合X的两个拓扑，则12TT不一定是集合X的拓扑()9.从拓扑空间X到平庸空间Y的任何映射都是连续映射（）10.设A为离散拓扑空间X的任意子集，则dA（）11.设A为平庸空间X（X多于一点）的一个单点集，则dA（）12.设A为平庸空间X的任何一个多于两点的子集，则dAX（）二．填空题：(每空格3分)1.X=Z+,T={Z1,Z2,…Zn…},其中Zn={n,n+1,n+2,…},则包含3的所有开集为_____________包含3的所有闭集为________________包含3的所有邻域为_________________2设A={1,2,3,4,5}则A的导集为_____________________A的闭包为______________________2.设X为度量空间,x∈X,则d（{x}）=______________3、在实数空间R中，有理数集Q的导集是___________.4、)(Adx当且仅当对于x的每一邻域U有;5、设A是有限补空间X中的一个无限子集，则()dA=;A=;6、设A是可数补空间X中的一个不可数子集，则()dA=;A=;7、设{1,2,3}X,X的拓扑{,,{2},{2,3}}TX,则X的子集{1,2}A的内部为;三、单项选择题（每题2分）1、已知{,,,,}Xabcde,下列集族中，（）是X上的拓扑.①{,,{},{,},{,,}}XaabaceT②{,,{,,},{,,},{,,,}}XabcabdabceT③{,,{},{,}}XaabT④{,,{},{},{},{},{}}XabcdeT2、已知{,,,}Xabcd，拓扑{,,{}}XaT,则}{b=（）①φ②X③{}b④{,,}bcd3、已知{,,,}Xabcd，拓扑{,,{}}XaT,则{}a=（）①φ②X③{,}ab④{,,}bcd4、设{,,,}Xabcd，拓扑{,,{},{,,}}XabcdT,则X的既开又闭的非空真子集3的个数为（）①1②2③3④45、设{,}Xab，拓扑{,,{}}XbT,则X的既开又闭的子集的个数为（）①0②1③2④36、在实数空间中，有理数集Q的内部Q是（）①②Q③R-Q④R7、在实数空间中，有理数集Q的边界()Q是（）①②Q③R-Q④R8、在实数空间中，整数集Z的内部Z是（）①②Z③R-Z④R9、在实数空间中，整数集Z的边界()Z是（）①②Z③R-Z④R10、在实数空间中，区间[0,1)的边界是（）①②[0,1]③{0,1}④(0,1)11、设X是一个拓扑空间，A,B是X的子集,则下列关系中错误的是（）①()()()dABdAdB②ABAB③()()()dABdAdB④AA12、已知X是一个离散拓扑空间，A是X的子集,则下列结论中正确的是（）①()dA②()dAXA③()dAA④()dAX413、已知X是一个平庸拓扑空间，A是X的子集,则下列结论中不正确的是（）①若A,则()dA②若0{}Ax,则()dAXA③若A={12,xx},则()dAX④若AX,则()dAX14、设{,,,}Xabcd，令{{,,},{},{}}abccdB,则由B产生的X上的拓扑是（）①{X,,{c},{d},{c,d},{a,b,c}}②{X,,{c},{d},{c,d}}③{X,,{c},{a,b,c}}④{X,,{d},{b,c},{b,d},{b,c,d}}15、离散空间的任一子集为()①开集②闭集③即开又闭④非开非闭16、平庸空间的任一非空真子集为()①开集②闭集③即开又闭④非开非闭17、实数空间R中的任一单点集是()①开集②闭集③既开又闭④非开非闭18、实数空间R的子集A={1,21,31,41,……},则A＝（）①φ②R③A∪{0}④A19、在实数空间R中，下列集合是闭集的是（）①整数集②ba,③有理数集④无理数集20、在实数空间R中，下列集合是开集的是（）①整数集Z②有理数集③无理数集④整数集Z的补集Z521、已知{1,2,3}X上的拓扑{,,{1}}TX,则点1的邻域个数是（）①1②2③3④422、已知{,}Xab,则X上的所有可能的拓扑有（）①1个②2个③3个④4个23、在实数下限拓扑空间R中，区间[,)ab是（）①开集②闭集③既是开集又是闭集④非开非闭24、设X是一个拓扑空间，,ABX,且满足()dABA,则B是（）①开集②闭集③既是开集又是闭集④非开非闭四.证明题(52分):1.设X有拓扑T1,T2,…Tn,则∩Ti也是拓扑.2.度量空间中收敛序列的极限是唯一的.3.设X是一个拓扑空间,B是一个基,x∈X,则Bx={B∈B|x∈B}是点x处的一个邻域基.4.在欧氏平面R2中令Y={(0,y)|y∈R}∪{(x,0)|x∈R},证明:Y与实数空间R不同胚.(提示:用反证法)