热力学与统计物理第07章玻耳兹曼统计习题解ok

习题7.1试根据公式lllPaV证明,对于非相对论粒子222221(),,,0,1,2,,22xyzxyzphnnnnnnmmL有23UPV成立上述结论对玻耳兹曼分布、玻色分布和费米分布都成立.证明：3VL，则13LV∴222223()2sxyzhVnnnm由lslslsPaaVV，考虑llsslsUaa，则522223,,,,222223,,,,2()322()3221212333xxxxyzxxxxyzssnnnxyzsnnnnnnxyznnnssshPaaVnnnVmhaVnnnVmUaaVVV∴23UPV成立。证毕。习题7.2试根据公式lllPaV证明,对于极端相对论粒子12222(),,,0,1,2,,xyzxyzhcpcnnnnnnL有13UPV成立上述结论对玻耳兹曼分布、玻色分布和费米分布都成立.证明：对极端相对论粒子112222222213()()sxyzxyzhchcpcnnnnnnLV由lslslsPaaVV，且考虑12222,,13,,()xxxxyzllssnnnxyzlsnnnchUaaannnV有12222,,43,,12222,,13,,1()311()311111333xxxxyzxxxxyzssnnnxyzsnnnnnnxyznnnssschPaannnVVchannnVVUaaVVV∴13UPV成立。证毕。习题7.3[10分]当选择不同的能量零点时，粒子第l个能级的能量可以取为l或l，以表示二者之差ll。则相应的配分函数1Z和1Z和由配分函数求得的热力学函数(内能U和U,广义力Y和Y,熵S和S)有何差别。*1*11lllllllZeZeeZ[2.5分]1**11lnln(ln)ZUNZZUNNUN[2.5分]1**11lnln(ln)ZNYyZZNNYYyy[2.5分]11***11ln(ln)(ln)ZSNkZZSNkZS[2.5分]补充题：对玻耳兹曼系统，试写出：1）粒子配分函数的定义2）N、U、Y、S与粒子配分函数的关系3）玻耳兹曼关系答：1）1lllZe2）11,lnNeZUNZ111ln,(lnln)NYZSNkZZy3）.lnMBSk习题7.4试证明，对于遵从玻尔兹曼分布的系统，熵函数可以表示为lnSSSSNkPP式中Ps是粒子处在量子态s的概率，1ssSeePNZ,S对粒子的所有量子态求和。证：处在能量为S的量子态的平均粒子数为se，粒子处在量子态上的概率为1ssSeePNZ，故有1lnlnSSPZ粒子的平均能量可表示为SSSP，从而有11111(lnln)(ln)(ln)(ln)lnSSSSSSSSSSSSNkZZNkZNkZPPNkPZNkPP对于满足经典极限条件的非定域系统有11(lnln)ln!lnln!SSSSNkZZkNNkPPkN习题7.11(15分)表面活性物质的分子在液面上作二维自由运动，可以看作二维理想气体。（1）试计算在二维理想气体中分子的速度分布和速率分布（2）并求出最概然速率。解：1）速度分布和速率分布取空间体积元lxySdpdp，相格体积为20h，根据玻耳兹曼分布20lleh令221()2lxyppm得动量分布是221()220xyppxymSdpdpdNeh（1）[4分]由221()220xyppmxySedpdpNh得202SNehm（2）将（2）代入（1）并令xxpmv，yypmv，1()kT得速度分布22()22xymvvkTxymdNNedvdvkT（3）[4分]取速度空间的极坐标xydvdvvdvd代入上式并对积分可得速率分布22()mvkTmNevdvfvdvkT（4）[4分]2）令220mvkTdmNevdvkT求得最概然速率mv为mmvkT[3分]平均速率是22201()2mvkTmkTvvfvdvevdvNkTm方均根速率的平方：22232012()mvkTmkTvvfvdvevdvNkTm方均根速率是22skTvvm习题7.17气柱的高度为H，截面为S，在重力场中。试求解此气柱的内能和热容量。解：粒子配分函数2222()23323003/233/25/23121()1(2)1xyzxpppmgzmxyzHpmgzmxmgzHmgHZedxdydzdpdpdphSedpedzhSmehmgSmehmg令3/231(2)SAmhmg有lnln(5/2)lnln1mgHZAe/ln5152121mgHmgHmgHkTZmgHemgHkTee/0/ln5211mgHTkmgHTkZNmgHUNNkTeNmgHUNkTe()()vVUCT略