椭圆双曲线。抛物线典型例题整理

1椭圆典型例题一、已知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。例1：已知椭圆的焦点是F1(0，－1)、F2(0,1)，P是椭圆上一点，并且PF1＋PF2＝2F1F2，求椭圆的标准方程。解：由PF1＋PF2＝2F1F2＝2×2＝4，得2a＝4.又c＝1，所以b2＝3.所以椭圆的标准方程是y24＋x23＝1.2．已知椭圆的两个焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，且2a＝10，求椭圆的标准方程．解：由椭圆定义知c＝1，∴b＝52－1＝24.∴椭圆的标准方程为x225＋y224＝1.二、未知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。例：1.椭圆的一个顶点为02，A，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．解：（1）当02，A为长轴端点时，2a，1b，椭圆的标准方程为：11422yx；（2）当02，A为短轴端点时，2b，4a，椭圆的标准方程为：116422yx；三、椭圆的焦点位置由其它方程间接给出，求椭圆的标准方程。例．求过点(－3,2)且与椭圆x29＋y24＝1有相同焦点的椭圆的标准方程．解：因为c2＝9－4＝5，所以设所求椭圆的标准方程为x2a2＋y2a2－5＝1.由点(－3,2)在椭圆上知9a2＋4a2－5＝1，所以a2＝15.所以所求椭圆的标准方程为x215＋y210＝1.四、与直线相结合的问题，求椭圆的标准方程。例：已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆与直线01yx交于A、B两点，M为AB中点，OM的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程．解：由题意，设椭圆方程为1222yax，由101222yaxyx，得021222xaxa，∴222112aaxxxM，2111axyMM，4112axykMMOM，∴42a，∴1422yx为所求．2五、求椭圆的离心率问题。例1一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率．解：31222cac∴223ac，∴3331e．例2已知椭圆19822ykx的离心率21e，求k的值．解：当椭圆的焦点在x轴上时，82ka，92b，得12kc．由21e，得4k．当椭圆的焦点在y轴上时，92a，82kb，得kc12．由21e，得4191k，即45k．∴满足条件的4k或45k．六、由椭圆内的三角形周长、面积有关的问题例：1.若△ABC的两个顶点坐标A(－4,0)，B(4,0)，△ABC的周长为18，求顶点C的轨迹方程。解：顶点C到两个定点A，B的距离之和为定值10，且大于两定点间的距离，因此顶点C的轨迹为椭圆，并且2a＝10，所以a＝5,2c＝8，所以c＝4，所以b2＝a2－c2＝9，故顶点C的轨迹方程为x225＋y29＝1.又A、B、C三点构成三角形，所以y≠0.所以顶点C的轨迹方程为x225＋y29＝1(y≠0)答案：x225＋y29＝1(y≠0)2．已知椭圆的标准方程是x2a2＋y225＝1(a5)，它的两焦点分别是F1，F2，且F1F2＝8，弦AB过点F1，求△ABF2的周长．4a＝441.3．设F1、F2是椭圆x29＋y24＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且PF1∶PF2＝2∶1，求△PF1F2的面积．△PF1F2的面积为12PF1·PF2＝12×2×4＝4.七、直线与椭圆的位置问题3例已知椭圆1222yx，求过点2121，P且被P平分的弦所在的直线方程．解法一：设所求直线的斜率为k，则直线方程为2121xky．代入椭圆方程，并整理得0232122212222kkxkkxk．由韦达定理得22212122kkkxx．∵P是弦中点，∴121xx．故得21k．所以所求直线方程为0342yx．解法二：设过2121，P的直线与椭圆交于11yxA，、22yxB，，则由题意得④1.③1②12①12212122222121yyxxyxyx，，，①－②得0222212221yyxx．⑤将③、④代入⑤得212121xxyy，即直线的斜率为21．所求直线方程为0342yx．八、椭圆中的最值问题例椭圆1121622yx的右焦点为F，过点31，A，点M在椭圆上，当MFAM2为最小值时，求点M的坐标．解：由已知：4a，2c．所以21e，右准线8xl：．过A作lAQ，垂足为Q，交椭圆于M，故MFMQ2．显然MFAM2的最小值为AQ，即M为所求点，因此3My，且M在椭圆上．故32Mx．所以332，M．双曲线典型例题4一、根据方程的特点判断圆锥曲线的类型。例1讨论192522kykx表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征．解：（1）当9k时，025k，09k，所给方程表示椭圆，此时ka252，kb92，16222bac，这些椭圆有共同的焦点（－4，0），（4，0）．（2）当259k时，025k，09k，所给方程表示双曲线，此时，ka252，kb92，16222bac，这些双曲线也有共同的焦点（－4，0），）（4，0）．（3）25k，9k，25k时，所给方程没有轨迹．二、根据已知条件，求双曲线的标准方程。例2根据下列条件，求双曲线的标准方程．（1）过点4153，P，5316，Q且焦点在坐标轴上．（2）6c，经过点（－5，2），焦点在x轴上．（3）与双曲线141622yx有相同焦点，且经过点223，解：（1）设双曲线方程为122nymx∵P、Q两点在双曲线上，∴12592561162259nmnm解得916nm∴所求双曲线方程为191622yx说明：采取以上“巧设”可以避免分两种情况讨论，得“巧求”的目的．（2）∵焦点在x轴上，6c，∴设所求双曲线方程为：1622yx（其中60）∵双曲线经过点（－5，2），∴16425∴5或30（舍去）∴所求双曲线方程是1522yx说明：以上简单易行的方法给我们以明快、简捷的感觉．（3）设所求双曲线方程为：160141622yx∵双曲线过点223，，∴1441618∴4或14（舍）5∴所求双曲线方程为181222yx三、求与双曲线有关的角度问题。例3已知双曲线116922yx的右焦点分别为1F、2F，点P在双曲线上的左支上且3221PFPF，求21PFF的大小．解：∵点P在双曲线的左支上∴621PFPF∴362212221PFPFPFPF∴1002221PFPF∵100441222221bacFF∴9021PFF（2）题目的“点P在双曲线的左支上”这个条件非常关键，应引起我们的重视，若将这一条件改为“点P在双曲线上”结论如何改变呢？请读者试探索．四、求与双曲线有关的三角形的面积问题。例4已知1F、2F是双曲线1422yx的两个焦点，点P在双曲线上且满足9021PFF，求21PFF的面积．分析：利用双曲线的定义及21PFF中的勾股定理可求21PFF的面积．解：∵P为双曲线1422yx上的一个点且1F、2F为焦点．∴4221aPFPF,52221cFF∵9021PFF∴在21FPFRt中，202212221FFPFPF∵162212221221PFPFPFPFPFPF∴1622021PFPF∴221PFPF∴1212121PFPFSPFF五、根据双曲线的定义求其标准方程。例5已知两点051，F、052，F，求与它们的距离差的绝对值是6的点的轨迹．解：根据双曲线定义，可知所求点的轨迹是双曲线．∵5c，3a∴16435222222acb∴所求方程116922yx为动点的轨迹方程，且轨迹是双曲线．6例P是双曲线1366422yx上一点，1F、2F是双曲线的两个焦点，且171PF，求2PF的值．解：在双曲线1366422yx中，8a，6b，故10c．由P是双曲线上一点，得1621PFPF．∴12PF或332PF．又22acPF，得332PF．六、求与圆有关的双曲线方程。例6求下列动圆圆心M的轨迹方程：（1）与⊙2222yxC：内切，且过点02，A（2）与⊙11221yxC：和⊙41222yxC：都外切．（3）与⊙93221yxC：外切，且与⊙13222yxC：内切．解：设动圆M的半径为r（1）∵⊙1C与⊙M内切，点A在⊙C外∴2rMC，rMA，2MCMA∴点M的轨迹是以C、A为焦点的双曲线的左支，且有：22a，2c，27222acb∴双曲线方程为2172222xyx（2）∵⊙M与⊙1C、⊙2C都外切∴11rMC，22rMC，112MCMC∴点M的轨迹是以2C、1C为焦点的双曲线的上支，且有：21a，1c，43222acb∴所求的双曲线的方程为：43134422yxy（3）∵⊙M与⊙1C外切，且与⊙2C内切∴31rMC，12rMC，421MCMC∴点M的轨迹是以1C、2C为焦点的双曲线的右支，且有：2a，3c，5222acb∴所求双曲线方程为：215422xyxw.w.w.k.s.5.u.c.o.m7抛物线典型例题一、求抛物线的标准方程。例1指出抛物线的焦点坐标、准线方程．（1）yx42（2）)0(2aayx解：（1）2p，∴焦点坐标是（0，1），准线方程是：1y（2）原抛物线方程为：xay12，ap12①当0a时，ap412，抛物线开口向右，∴焦点坐标是)0,41(a，准线方程是：ax41．②当0a时，ap412，抛物线开口向左，∴焦点坐标是)0,41(a，准线方程是：ax41．综合上述，当0a时，抛物线2ayx的焦点坐标为)0,41(a，准线方程是：ax41．二、求直线与抛物线相结合的问题例2若直线2kxy与抛物线xy82交于A、B两点，且AB中点的横坐标为2，求此直线方程．解法一：设),(11yxA、),(22yxB，则由：xykxy822可得：04)84(22xkxk．∵直线与抛物线相交，0k且0，则1k．∵AB中点横坐标为：2842221kkxx，解得：2k或1k（舍去）．故所求直线方程为：22xy．解法二：设),(11yxA、),(22yxB，则有22212188xyxy．两式作差解：)(8))((212121xxyyyy，即2121218yyxxyy．421xx444)(22212121kxxkkxkxyy，448kk故2k或1k（舍去）．则所求直线方程为：22xy．三、求直线中的参数问题例3（1）设抛物线xy42被直线kxy2截得的弦长为53，求k值．（2）以（1）中的弦为底边，以x轴上的点P为顶点作三角形，当三角形的面积为9时，求P点坐标．8解：（1）由kxyxy242得：0)44(422kxkx设直线与抛物线交于),(11yxA与),(22yxB两点．则有：4,122121kxxkxx)21(5)1(54)(5))(21(22212212212kkkxxxxxxAB53)21(5,53kAB，即4k（2）9S，底边长为53，∴三角形高5565392h∵点P在x轴上，∴设P点坐标是)0,(0x则点P到直线42xy的距离