椭圆的特殊性质

一、椭圆的几何性质（以22ax+22by=1（a﹥b﹥0）为例）1、焦点⊿PF1F2中：（1）S⊿PF1F2=2tan2b（2）（S⊿PF1F2）max=bc（3）当P在短轴上时，∠F1PF2最大2、过点F1作⊿PF1F2的∠P的外角平分线的垂线，垂足为M，则M的轨迹是x2+y2=a2证明：延长1FM交2FP于F，连接OM由已知有1PFFP，M为1FF中点∴212OMFF=1212PFPF=a所以M的轨迹方程为222xya。3、以椭圆的任意焦半径为直径的圆，都与圆x2+y2=a2内切4、过焦点F的弦AB，)(2112定值baBFAF5、AB是椭圆的任意一弦，P是AB中点，则22abKKOPAB（定值）证明：令1122,,,AxyBxy，00,Pxy则1202xxx1202yyyF2F1PyxxyMF1OF2PPF2F1OAyxB22112222222211xyabxyab1212121222..0xxxxyyyyab∵1212AByykxx，00OPykx，∴22ABOPbkka。6、椭圆的长轴端点为A1、A2，P是椭圆上任一点，连结A1P、A2P并延长，交一准线于N、M两点，则M、N与对应准线的焦点张角为900证明：令221200,,,,,aaMyNyPxycc，1,0Aa，2,0Aa∴100200,,,,APxayAPxayuuuruuur221122,,,aaAMayANayccuuuuruuuur∵由于1A、P、M共线，∴20001210()ayaxaycyayxaac∵由于2,,APN共线，∴20002220()ayaxaycyayxaac∴22242200012222000()()aayayayaacccyyxaxaxac，∵22220002222201xyybabxaa∴24221222baacyyac42bc，∵2122,,aFMcycaFNcycuuuruuur4122bFMFNyycuuuruuur∴0FMFNuuuruuur，∴M、N与对应准线的焦点张角为9007、圆锥曲线如椭圆上任意一点P做相互垂直的直线交圆锥曲线于AB，则AB必过定MNA1FA2PBF2F1PyxA点))(,)((2222022220babaybabax8、P为椭圆一定点，PBPAkk，当B变动时，ABk为一定值。AyxPB9、已知点00(,)Pxy，椭圆C：22ax+22by=1（a﹥b﹥0。（1）若P在C上，则直线00221xxyyab是椭圆在P处的切线；（2）若P在C外，则直线00221xxyyab是椭圆过P的切线的切点弦；（3）若P在C内，则直线00221xxyyab与椭圆相离；10、已知圆锥曲线的一个焦点是F，过F的焦点弦两端点为A、B，分别过A、B作圆锥曲线的切线，其交点为C，则点C的轨迹是相应于焦点F的准线，且CF⊥AB。11、过椭圆)0(12222babyax上位于第一象限内的一点T作椭圆的切线，与x轴、y轴分别交于点A、B，21,FF分别为椭圆的左右焦点，则∠AB2F=∠A1FT.即B、1F、2F、T四点共圆.12、椭圆的光学性质：过一焦点的光线经椭圆反射后必过另一焦点。CAF2F1BBAF1F2T13、已知椭圆22221(0)xyabab内一定点M(,0)(0)mm，过M的弦的两端点为A、B，过点A作直线2axm的垂线，垂足为D，过点B作直线2axm的垂线，垂足为C，直线2axm与x轴交点为K，则;BCBMADAM∠AKM=∠BKM.KCDAF2F1B