概率复习题及答案

一.填空(2013-2014)6.已知25.0)(,5.0)(,4.0)(ABPBPAP,则()PAB=0.65。7.已知随机变量X服从泊松分布()，则X的数学期望为。8.袋子中有15个大小相同的球，3黑12白，从中任取一个，取到黑球的概率为15。9.已知),(YX服从二维正态分布),,,,(222121N,且X与Y不相关，则=0。10.已知随机变量X的分布律为2,1,2,3,3iPXiai，则常数a为12。二.选择6．某人射击中靶的概率为43，独立射击3次，则恰有2次中靶的概率为（A）。(A)3)43((B)41)43(2(C)43)41(2(D)3)41(7．设随机变量X的方差为)(XD，,ab为常数，则()DaXb=(D)。（A）()aDX(B)()aDX(C))(XD(D)2()aDX8．已知随机变量X的概率密度为2(3)161()4xfxe，)(x，则X的数学期望与方差为（A）。（A）3,8(B)2,3(C)2,3(D)2,39．已知22~(1),~(6)XY,且X与Y相互独立，则YX服从（C）分布。（A）)3(2(B))4(2(C))7(2(D))1(210．已知连续型随机变量X的概率密度为xaexf)(，则a为（B）。（A）1(B)21(C)21(D)1三．计算(2013-2014)5.已知随机变量X的分布函数为31321915211991,0)(xxxxxF，求离散型随机变量X的分布律。解：3,2,1X,且199}1{XP,196}2{XP,194}3{XP。6.已知连续型随机变量X的分布函数为0,0(),01,xFxkxbxx，求常数k和b以及X的概率密度。解：由于连续型随机变量的分布函数处处连续，所以在点0x和x处，有(0)(0)0bFF，()1()FFkb，1k。进而X的概率密度为1,0()0,xfx其他7.设随机变量X与Y独立同分布，且X的概率分布为X12P2313记max{,}UXY，min{,}VXY，求(,)UV的分布律，并讨论X与Y的相互独立性。解：2,1,2,1VU，且94}1,1{}1,1{YXPVUP,0}2,1{VUP,94}1,2{}2,1{}1,2{YXPYXPVUP,91}2,2{VUP。由于4{1}9PU，1{2}9PV,0}2,1{VUP,所以{1,2}PUV{1}PU{2}PV，即X与Y不独立。8已知二维连续型随机变量的联合密度函数为(24),0,0(,)0,xycexyfxy其它，求()PXY。解：由于(,)1fxydxdy，所以24001xyceedxdy，118c，8c。424200()88()4yxyxxxePXYeedxdyedx13。9.设随机变量),(YX服从01),(xyyxG上的均匀分布，求),(YX的概率密度与两个边缘概率密度。解：其他,0),(,2),(Gyxyxf2(1),01()(,)0,Xxxfxfxydy其他2,01()(,)0,Yyyfyfxydx其他10.设随机变量X与Y的分布相同，其概率密度为其他,020,83)(2xxx，已知事件aXA与aYB相互独立，且3()4PAB，求常数a。解：由题意)()(BPAP，23()2()[()]4PABPAPA,21)(AP32213(){}()1288aaaPAPXaxdxxdx,34a11.设X和Y相互独立，且都在区间(0,1)上服从均匀分布，求YXZ的密度函数。解：1,01()0,Xxfx其他，1,01()0,Yyfy其他10()()()()ZXYYfzfxfzxdxfzxdx，令zxt1()()zZYzfzftdt012120zzzz其他12.设随机变量(X，Y)的联合概率密度函数为01,010xy2-x-yf(x,y)=其它，求E（X）、E（Y），并判断X与Y是否相互独立。。解：3,01()(,)20,Xxxfxfxydy其他，3,01()(,)20,Yyyfxfxydx其他，显然X与Y不相互独立。且12035()()()212XEXxfxdxxxdx，12035()()()212YEYxfxdxyydx。13.设随机变量X与Y的相关系数为9.0XY，4.0XZ，求Z与Y的相关系数YZ。解：),()4.0()()4.0(),()4.0,(),()4.0,(),(YXCOVEYEYEYXCOVYCOVXYCOVXYCOVZYCOV)()4.0()(XDXDZD所以9.0)()(),()()(),(XYYZXDYDYXCOVZDYDZYCOV14.设总体X的概率密度函数为(1),01()0,xxfx其他，求的矩估计量和最大似然估计量。解：101()(1)2EXxxdx，令()EXX,得矩估计量为211XX设nxxx,,21为样本值，则似然函数为1()(01,1,2,)niiiLxxin（+1）（当ix在其他范围时值为0）当10ix时，1()()0nniiLx（+1）取对数1ln()lnlnniiLnx（+1）令1ln()ln1niidLnxd=0得11lnniinx从而的最大似然估计量为11lnniinx15.