概率论与数理统计习题八参考答案及过程许承德哈尔滨工业大学

1习题八1．设12,,,nXXX是从总体X中抽出的样本，假设X服从参数为的指数分布，未知，给定00和显著性水平(01)，试求假设00:H的2检验统计量及否定域.解00:H选统计量200122niiXnX记212niiX则22~(2)n，对于给定的显著性水平，查2分布表求出临界值2(2)n，使22((2))Pn因22，所以2222((2))((2))nn，从而2222{(2)}{(2)}PnPn可见00:H的否定域为22(2)n.2．某种零件的尺寸方差为21.21，对一批这类零件检查6件得尺寸数据（毫米）：32.56,29.66,31.64,30.00,21.87,31.03。设零件尺寸服从正态分布，问这批零件的平均尺寸能否认为是32.50毫米（0.05）.解问题是在2已知的条件下检验假设0:32.50H0H的否定域为/2||uu其中32.5029.4632.502.456.771.1Xun0.0251.96u，因||6.771.96u，所以否定0H，即不能认为平均尺寸是32.5毫米。3．设某产品的指标服从正态分布，它的标准差为100，今抽了一个容量为26的样本，计算平均值1580，问在显著性水平0.05下，能否认为这批产品的指标的期望值不低于1600。解问题是在2已知的条件下检验假设0:1600H0H的否定域为/2uu，其中2160015801600265.11.02100100Xu.0.051.64u.因为0.051.021.64uu，所以接受0H，即可以认为这批产品的指标的期望值不低于1600.4．一种元件，要求其使用寿命不低于1000小时，现在从这批元件中任取25件，测得其寿命平均值为950小时，已知该元件寿命服从标准差为100小时的正态分布，问这批元件是否合格？（0.05）解设元件寿命为X，则2~(,100)XN，问题是检验假设0:1000H.0H的否定域为0.05uu，其中100095010002552.5100Xu0.051.64u因为0.052.51.64uu所以否定0H，即元件不合格.5．某批矿砂的5个样品中镍含量经测定为(%)X：3.25,3.27,3.24,3.26,3.24设测定值服从正态分布，问能否认为这批矿砂的镍含量为3.25(0.01)？解问题是在2未知的条件下检验假设0:3.25H0H的否定域为/2||(4)tt522113.252,(5)0.00017,0.0134iiXSXXS0.005(4)4.6041t3.253.2523.2552.240.3450.013XtS因为0.005||0.3454.6041(4)tt所以接受0H，即可以认为这批矿砂的镍含量为3.25.6．糖厂用自动打包机打包，每包标准重量为100公斤，每天开工后要检验一次打包机工作是否正常，某日开工后测得9包重量（单位：公斤）如下：99.3,98.7,100.5,101.2,98.3,99.7,99.5,102.1,100.53问该日打包机工作是否正常（0.05；已知包重服从正态分布）？解99.98X，92211(())1.478iiSXX，1.21S，问题是检验假设0:100H0H的否定域为/2||(8)tt.其中10099.98100930.051.21XtS0.025(8)2.306t因为0.025||0.052.306(8)tt所以接受0H，即该日打包机工作正常.7．按照规定，每100克罐头番茄汁中，维生素C的含量不得少于21毫克，现从某厂生产的一批罐头中抽取17个，测得维生素C的含量（单位：毫克）如下22,21,20,23,21,19,15,13,16,23,17,20,29,18,22,16,25.已知维生素C的含量服从正态分布，试检验这批罐头的维生素含量是否合格。(0.025)解设X为维生素C的含量，则2~(,)XN，220,419.625XS，20.485S，17n.问题是检验假设0:21.H（1）0:21H.（2）选择统计量t并计算其值：212021170.2020.485XtnS（3）对于给定的0.025查t分布表求出临界值0.025()(16)2.2tnt.（4）因为0.025(16)2.200.20tt。所以接受0H，即认为维生素含量合格.8．某种合金弦的抗拉强度2~(,)XN，由过去的经验知10560（公斤/厘米2），今用新工艺生产了一批弦线，随机取10根作抗拉试验，测得数据如下：10512，10623，10668，10554，10776，10707，10557，10581，10666，10670.4问这批弦线的抗拉强度是否提高了？（0.05）解10631.4X，26558.89S，80.99S，10n.问题是检验假设0:10560H（1）0:10560H.（2）选统计量并计算其值.1056010631.4105601080.99XtnS2.772（3）对于0.05，查t分布表，得临界值0.05(9)(9)1.833tt.（4）因0.05(9)1.8332.772tt，故否定0H即认为抗拉强度提高了。9．从一批轴料中取15件测量其椭圆度，计算得0.025S，问该批轴料椭圆度的总体方差与规定的20.0004有无显著差别？（0.05，椭圆度服从正态分布）。解20.025,0.00065,15SSn，问题是检验假设20:0.0004H.（1）2200:0.0004H.（2）选统计量2并计算其值2220(1)140.0006522.750.0004nS（3）对于给定的0.05，查2分布表得临界值222/20.0251/2(14)(14)26.119,(14)20.975(14)5.629.（4）因为2220.9750.0255.62922.7526.119所以接受0H，即总体方差与规定的20.0004无显著差异。10．从一批保险丝中抽取10根试验其熔化时间，结果为42，65，75，78，71，59，57，68，54，55.问是否可以认为这批保险丝熔化时间的方差不大于80？（0.05，熔化时间服从正态分布）.解62.4X，2121.82,10,Sn问题是检验假设20:80H.（1）2200:80H；（2）选统计量2并计算其值2220(1)9121.8213.70580nS（3）对于给定的0.05，查2分布表得临界值5220.05(1)(9)16.919n.（4）因220.0513.70516.919，故接受0H，即可以认为方差不大于80。11．对两种羊毛织品进行强度试验，所得结果如下第一种138，127，134，125；第二种134，137，135，140，130，134.问是否一种羊毛较另一种好？设两种羊毛织品的强度都服从方差相同的正态分布。(0.05)解设第一、二种织品的强度分别为X和Y，则21~(,),XN22~(,)YN211131,36.667,4XSn222135,35.2,6YSn问题是检验假设012:H（1）012:H（2）选统计量T并计算其值.1222121122121311354646336.667535.2(1)(1)4622XYnnTnnnSnSnn1.295（3）对于给定的0.05，查t分布表得临界值/212(2)tnn0.025(8)2.3069t.（4）因为0.025||1.2952.3069(8)tt，所以接受假设，即不能说一种羊毛较另一种好。12．在20块条件相同的土地上，同时试种新旧两个品种的作物各十块土地，其产量（公斤）分别为旧品种78.1,72.4,76.2,74.3,77.4,78.4,76.0,75.5,76.7,77.3;新品种79.1,81.0,77.3,79.1,80.0,79.1,79.1,77.3,80.2,82.1;设这两个样本相互独立，并都来自正态总体（方差相等），问新品种的产量是否高于旧品种？（0.01）解设X为新品种产量，Y为旧品种产量；21~(,)XN，622~(,)YN，问题是检验假设012:H79.43X，212.2246S，110n76.23Y，223.3245S，210n选统计量T并计算其值：121222121122(2)(1)(1)XYnnnnTnnnSnS79.4376.2318004.295620(2.22463.3245)9对给定的0.01，查t分布表得临界值0.01(18)(18)2.5524tt.因为0.014.29562.5524(18)Tt故接受0H，即新品种高于旧品种.13．两台机床加工同一种零件，分别取6个和9个零件，量其长度得22120.345,0.357SS，假定零件长度服从正态分布，问可否认为两台机床加工的零件长度的方差无显著差异？(0.05)解2110.345,6,Sn2220.357,9Sn问题是检验假设22012:H选统计量F并计算其值21220.3450.96640.357SFS对给定的0.05查F分布表得临界值/20.025(5,8)(5,8)4.65FF，0.9751(5,8)0.14796.76F.因0.9750.025(5,8)0.14790.96644.65(5,8)FFF故接受0H，即无显著差异.13．甲、乙两台机床加工同样产品，从它们加工的产品中各抽取若干，测得直径（单位：mm）为甲：20.5,19.8,19.7,20.4,20.1,20.0,19.0,19.9;乙：19.7,20.8,20.5,19.8,19.4,20.6,19.2.问甲、乙两台机床加工的精度有无显著差异？（0.05，产品直径服从正态分布。）7解设甲加工的直径为X，乙为Y.211~(,)XN，222~(,)YN.19.925X，210.2164S，18n20Y，220.3967S，27n问题是检验假设22012:H选统计量F并计算其值120.21640.54550.3967SFS.对于给定的0.05，查F分布表得临界值/20.025(7,6)(7,6)5.70FF，0.9751(7,6)0.19535.12F因0.9750.025(7,6)0.19530.5455(7,6)5.70FFF，故接受0H，即精度无显著差异.14．一颗骰子掷了120次，得下列结果：点数123456出现次数232621201515问骰子是否匀称？（0.05）解用X表示掷一次骰子出现的点数，其可能值为1，2，3，4，5，6。问题是检验假设01:(),1,2,,6.6iHpPXii这里6k，01,120,6ipn020inp，{}iAi故22620110()(20)964.82020kiiiiiinnpnnp查2分布表，得临界值220.05(1)(5)11.071k因为220.054.81.071故接受0H，即骰子匀称。15．从一批滚珠中随机抽取50个，测得它们的直径（单位：mm）为815.015.815.215.115.914.714.815.515.6