概率论多维随机变量及其分布

第三章多维随机变量及其分布§1二维随机变量1、二维r.v.定义:设E是一个随机试验,样本空间是S={e},设X=X(e)和Y=Y(e)是定义在S上的r.v.,由它们构成的一个向量(X,Y),叫做二维r.v.注:二维r.v.(X,Y)的性质不仅与X和Y有关,而且还依赖于这两个r.v.的相互关系.如何描述二维r.v.(X,Y)的统计规律?(,)()(),,,r.v.,r.v(.).XYxyFxyPXxYyPXxYYyX,对于任意的实数二元函数称为二维的分布函数和的联合分或为布函数称2.二维r.v.(联合)分布函数:1212;xXxyYy随机点落在矩形域的概率为121222122111;(,)-(,)-(,)(,)PxXxyYyFxyFxyFxyFxy图2若将(X,Y)看成平面上随机点的坐标,则分布函数F(x,y)的值为(X,Y)落在阴影部分的概率(如图1)图1二维r.v.的分布函数的基本性质与一维r.v.的分布函数F(x)的性质类似:20(,)1,yF(-)=0(-)0(--)0(+)1.FxyyxFxFF、对任意固定的，，；对任意固定的，，，，，，1、F(x,y)是x和y的不减函数。3、F(x,y)分别关于x，y右连续。1212222111124,,(,)-(,)(,)(,)0.xxyyFxyFxyFxyFxy、对于任意的下述不等式成立：3.下面分别讨论二维离散型和连续型r.v...(,),(,)..,,,1,2,3,0,1,ijijijijijrvXYXYrvPXxYypijpp若二维的所有可能取值是有限对或可列多对则称为离散型记则有(一)二维离散型r.v.,,,1,..(,).2,..,3,ijijPXxYypijrvXYvXrY离散型的分布律和的联合则为或分布律称例1.设r.v.X在1,2,3,4四个整数中等可能地取值,r.v.Y则在1~X中等可能地取一整数,试求(X,Y)的分布律.(,),:(,),,,.ijijxxyyijXYFxypxxyyij若已知的分布律则分布函数可表示为即对一切满足的求和12311121312122232YXxxxypppyppp二维离散随机变量分布律(二)二维连续型r.v.--(1):(,)..,,(,)(.(,)(,,,))yxXFxyfuvduYfxyXYdXYrvv定义若则称为连续型的二维其中非负称为的概率密度和的联合概率函或为密度数称204(,)(,),();,(,)Fxyfxyfxyxxyy若在点点连续则有01(,)0;fxy0--2(,)(,)1;fxydxdyF0(,3,)(,)(,):.GPXYGfxydxdGxoyxyGy设是平面上的一个区域点落在内的概率为(,)fxy（2）的性质(2)2...(,),0,0,(,)0,,:(1);(2)(,);(3){}.xyrvXYAexyfxyAFxyPYX例设二维具有概率密度其它求常数分布函数概率--:(1)(,)1,2fxydxdyA解由则-2-(1)(1),0,0,(2)(,)0,.xyeexyFxy其它(2)013{}2.3xyyPYXedxdy（）§2.边缘分布一、边缘分布函数：..(,),,(,),..,,(),(),..(,).(2(){}{,}(,)()(,).1)XYXYrvXYFxyXYrvFxFyrvXYXYFxPXxPXxYFxFyFy对于二维它作为一个整体具有分布函数而和都是分别也有分布函数记为称为二维关于和关于的边缘分布函数同理(2.2)二、边缘分布律：1(,)..,(2.1)()(,),..(){},iiXijxxjXixxXYrvFxFxprvXFxPXx设为二维离散型由有又的分布函数为•1{:},1,2,,iijijPXxppiX可知的分布律为•1{},,:1,2,,jijjiPYyppYj同理的分布律为p(1,2,),p(j1,2,)iji(X,Y)XY分别称和为关于和关于的边缘分布律例1(续)Y1234p•j11/41/81/121/16201/81/121/163001/121/1640001/16pi•X1/41/41/41/425/4813/487/483/481三、边缘概率密度:--..(,),(,),()(,)(,)xXrvXYfxyFxFxfxydydx设二维连续型概率密度为由--,()(,)()(,,)XYfxfxydyfyfxydx则同理(X,Y)XY.分别称为边缘概关于和关于率密度的22.(,)6,(,)0,XYxyxfxy例的概率密度为求边缘概率密度。其它1/,(,),(,..:,(,))0,,(,).rvGAXAxyGYYxyGXf连续型二维的均匀分布设是平面上的有界区域其面积为若的概率密度为在上服从均匀分称其它则布21221212122211222221223.(,)~(,,,,),1(,)21()()()()1exp2,2(1),,XYNfxyxxyyxy例二维正态分布：221122X,Y:X~N(,),Y~N(,)可以求得的边缘分布注:由二维随机变量(X,Y)的概率分布(X,Y)的联合分布可唯一地确定X和Y的边缘分布,反之,若已知X,Y的边缘分布,并不一定能确定它们的联合分布.§3.条件分布一、二维离散型r.v.的情况:11212•(,){,},,,,{},,,,ijijiiijjXYPXxYypiXYPXxppi设具有分布律和的边缘分布律分别为112•{},,,,jjijiPyppYj1232•,,{}.,,(..)ijijjiiiiPXxYypPYyXxPXxpjXxrvY在条件下的条分称件布律。为120031•••,{},,(.),,..ijijijjjjijPXxYypYyrpPXxYyPpiXypYv设称在的条件下的条件分布律为。例1.设(X,Y)的分布律为:Y012300.8400.0300.0200.01010.0600.0100.0080.00220.0100.0050.0040.001求在X=1时Y的条件分布律.X用表格形式表示为:k012P{Y=k|X=1}6/92/91/9例2一射击手进行射击,击中目标的概率为p(0p1),射击到击中目标两次为止,设以X表示首次击中目标进行的射击次数,以Y表示总共进行的射击次数,试求X和Y的联合分布律和条件分布律.1122123121----:()(,){,}{}{|},,,;,,,-.mnmnXYPXmYnPXmPYnXmpqpqpqnmn解的分布律为1222112121-(){},,,,mnmnmqPXmpqppqmq边缘分布律为二、二维连续型r.v.的条件分布首先引入条件分布函数,然后得到条件概率密度.0100():,,{},lim|yPyYyPXxyYy条件分布函数的定义给定若0|,lim,.(|)|XYPXxyYyPyYyYyXFxyPXxYy存在称此极限为在条件下的条件分布函数记作或|||,(,(,)(|)())(|)(|)()YXYXXXYYfxyFyxfyxfxfxyfxyfyXyY则为类似地在条件下的条件度和率有概密|(,)(|)()xXYYfxyFxydxfy进一步可以化为:2221||.,,(,)(|).XYYXXYxyfxyfyx例设在圆域上服从均匀分布求条件概率密度和22211021110,,:(,),,()(,)Yxyfxyyyfyfxydx解其它其它222110121110|,(),,,(|),.YXYyfyyyxyfxy当时有其它222121110|(,),,(|)(),.YXXfxyxxyxfyxfx其它10101110|,,:,~(),,,(|),.XYXxXfxXxYxyfyxx解按题意其它又在条件下的条件分布概率密度其它11010|/(),,(,)(|)(),.YXXxxyfxyfyxfx故其它0111010/()ln(),.(),.yYxdxyyfy其它例3.设数X在区间(0,1)上随机地取值,当观察到X=x(0x1)时,数Y在区间(x,1)上随机地取值,求Y的概率密度.§4.相互独立的随机变量由两个事件相互独立的概念可引出两个随机变量相互独立的概念.1{,}{}{.}(,)(),,,,(.)XYPXxYyPXxXYPYyFxyFxyXYFxy定义设为二维随机变量若对于所有的，有即则称随机变量和相互独立2.等价定义:a12b,,{,}{}{},,,,,,(,)()()ijijXYXYXYPXxYyPXxPYyijXYXYfxyfxfy（）当为离散型随机变量时和独立等价于（）当为连续型随机变量时和独立等价于例:设X和Y都服从参数=1的指数分布且相互独立,试求P{X+Y≤1}.3.命题：设(X,Y)服从二维正态分布,则X,Y相互独立的充要条件是=0.22112222212121221212121()()()()-(-)(,)-xxyyXYfxye（，）服从二维正态分布，则其概率密度为5.一个重要定理:设(X1,X2,…,Xm)和(Y1,Y2,…Yn)相互独立,则Xi(i=1,2,…,m)和Yj(j=1,2,…,n)相互独立,又若h,g是连续函数,则h(X1,X2,…,Xm)和g(Y1,Y2,…Yn)相互独立.4.边缘分布及相互独立性的概念可以推广到n维r.v.的情况.§5.两个r.v.的函数的分布(一)和(Z=X+Y)的分布:已知X,Y的联合密度f(x,y),求Z=X+Y的分布密度.------()(,)(,)(-,)((,))zyZxyzzzFzfxydxdyfxydxdyfuyydudyfuyydyduZXY.先求的分布函数--()(-,)()(,-.,)ZZfzfzyydyfzfxzxZxd由此得到的密度函数类似地--,(,)()()()()(-)(-)()XYZXYXYXYfxyfxfyfzfxfzxdxfzyfydy当、相互独立时有,*.XYff称为记为卷积公式结论:若X,Y是连续型r.v.且X与Y相互独立,则X+Y也是连续型r.v.且它的密度函数为X与Y的密度函数的卷积.例1.(P86)设X和Y相互独立,且都服从N(0,1),求:Z=X+Y的分布密度.2222222401112212-:(,)(),(),,,()()(-)xyXYzzxZXYXYNfxefyexyfzfxfzxdxeedx解由和都服从知由卷积公式有222441122202-,().~(,).zztZztxfzeedteZN令得即结论:2122221121212~(,)(,,),,,,~(,).,...