模块3材料力学(应力和变形)

材料力学模块三应力和变形【模块概述】内力是杆件横截面上的分布内力系的合力或合力偶矩，是截面上连续分布内力的合成结果,而杆件的失效或破坏，不仅与截面上的总内力有关，而且与截面上内力分布的密集程度，应力及变形等有关。本模块以应力和变形为主线，讨论分析轴心拉压杆、扭转圆轴、平面弯曲梁等杆件的应力分布情况及变形特点,找到应力和变形的计算公式，为强度、刚度和稳定性的计算提供理论依据。【学习目标】知识目标:能力目标：1、了解应力、应变等概念，理解胡克定律、剪应力互等定理等应力和应变的关系；2、熟悉轴心拉压杆横截面和斜截面上的应力分布规律，及变形情况，并会计算；3、熟悉圆轴扭转时横截面上的应力分布规律，及变形特点，并会计算；4、熟悉平面弯曲梁横截面上正应力和切应力的分布规律，并会计算；5、熟悉平面弯曲梁的变形特点，并会使用积分法、叠加法计算挠度和转角。1、培养学生能应用本模块应力分析的思路，去解决工程中的应力和变形问题；2、培养学生综合分析问题的能力。【学习重点】应力、应变、胡克定律的概念；轴向拉压杆的应力和变形计算；平面弯曲梁横截面上的应力和切应力的分布及计算；梁的挠度和转角的计算。3.1应力、应变及相互关系3.1.1应力1、应力的概念构件的失效或破坏，不仅与截面上的总内力有关，而且与横截面上内力分布的密集程度有关。FFAFF2A试问：下面两根材料相同的杆件哪一根容易破坏？3.1.1应力当面积趋于零时，平均应力的大小和方向都将趋于一定极限，得到：dAdFAFplim0AAFpm平均应力:某范围内单位面积上内力的平均集度3F4F4F3FAFCCp我们将内力在一点处的密集程度称为应力。P称为该截面上该点处的应力。3F4F4F3FAFCCp某点的总应力P可以分解成:垂直于截面的法向分量σ－－正应力（拉应力为正值，压应力为负值）平行于截面的切向分量τ－－切应力（绕研究对象产生顺时针转动趋势时为正值或左上右下为正）3.1.1应力2、正应力和切应力应力的单位是帕斯卡（简称帕）（Pa），1Pa（帕斯卡）=1N/m2工程实际中常采用兆帕（MPa）、吉帕（GPa）等单位。1MPa=106Pa1GPa=109Pa3.1.1应力3、应力的单位对于构件任一点的变形，只有线变形和角变形两种基本变形，分别由线应变和切应变来度量。3.1.2线应变和胡克定律dxdu与正应力相应，单元体沿着正应力方向和垂直于正应力方向产生了伸长和缩短，这种变形称为线变形。线应变:ε为无量纲量值，规定ε拉应变为正，压应变为负。胡克定律：3.1.2线应变和胡克定律EE---是与材料有关的常数，称为弹性模量。它是材料力学性质之一，是衡量材料抵抗弹性变形能力的一个指标，对同一材料，弹性模量E为常数。弹性模量的单位与应力的单位相同。实验结果表明，若在弹性范围内加载，正应力与正应变成正比，即：3.1.3切应变和剪切胡克定律为无量纲的量值，单位是弧度（rad）。切应变:与切应力相应，单元体发生了剪切变形，剪切变形程度用单元体直角的改变量度量。单元体直角的改变量称为切应变，用表示。3.1.3切应变和剪切胡克定律实验结果表明，若在弹性范围内加载（应力小于某一极限值），切应力与切应变成正比，即G---是与材料有关的常数，称为剪切弹性模量。剪切胡克定律：它是材料的又一力学性质。对同一材料，剪切弹性模量G为常数。剪切弹性模量G的单位与应力的单位相同。3.1.4切应力互等定理平面的交线，其方向则共同指向或共同背离两平面的交线，这种关系称切应力互等定理。。由平衡方程0Zm得yxzxyzdddddd)()(该定理具有普遍性。在单元体互相垂直的两个平面上，剪应力必然成对存在，且数值相等；二者都垂直于两3.2轴向拉压杆的应力和变形3.2.1轴向拉（压）杆的应力1.横截面上的应力拉压杆横截面上的内力为轴力，其方向垂直于横截面，显然与轴力相应的只可能是垂直于截面的正应力。做如下实验：FF11221122现象：横向线1-1、2-2仍为直线，且垂直于杆件轴线，只是间距增大，分别平移至图示1΄-1΄与2΄-2΄位置。：横截面面积：横截面上的轴力ANANAF拉应力为正，压应力为负。根据现象可作出假设：受轴向拉伸的杆件，变形后横截面仍保持为平面，两横截面之间所有的纵向纤维都伸长了相同的长度。3.2.1轴向拉（压）杆的应力FNFN得出结论：轴向拉压时，杆件横截面上各点处只产生正应力，且大小相等。即3.2.1轴向拉（压）杆的应力：横截面面积：横截面上的轴力ANANAF公式的适用范围：外力作用线必须与杆轴线重合；距外力作用点较远部分正确（圣维南原理）；必须是等截面直杆，截面变化较缓慢时，可近似计算。对于等直杆:当有多段轴力时，最大轴力所对应的截面即为危险截面；对变截面杆：则取决于内力值和截面尺寸两个因素，则应对若干个可能的危险截面进行计算并比较才能知道最大应力之所在。危险截面:最大应力所在的横截面，也就是可能最先破坏的横截面，称为危险截面。危险点:危险截面上最大应力所在的点。ANmax2.危险截面及危险点3.2.1轴向拉（压）杆的应力危险点则是由应力在截面上的分布规律来判定的。轴心压杆危险点的应力解：(1)作轴力图【例3.1】已知图示阶梯状直杆若横截面面积为:,求各横截面上的应力。(2)求应力31112010100200NMPaA3222101033.3300NMPaA3333101025400NMPaA3.斜截面上的应力3.2.1轴向拉（压）杆的应力FFkkaAAFkkNapa横截面上：斜截面上：总应力：AFAFNcosAAAFpNcosAFcosFkkpnt3.2.1轴向拉（压）杆的应力FFkkaAAFkkNapa将总应力分解为垂直于斜截面的正应力和相切于斜截面的切应力，则2coscosp2sin2sinp结论：轴向拉压杆在斜截面上的正应力和切应力随斜截面方位的变化而变化。3.2.1轴向拉（压）杆的应力几个特殊截面上的应力：1.横截面=0，max02.纵截面=90，090903.斜截面=45，,2454.斜截面=-45，,2450,0max452min4522cos2sin2拉压杆的最大正应力发生在横截面上；最大切应力发生在与杆成45°斜截面上；平行于杆轴线的纵向截面上无任何应力。3.2.2轴向拉压杆的变形1.轴向拉（压）杆的变形LLL1（1）纵向变形：伸长量：纵向线应变：ll（2）横向变形：横向变形量：横向线应变：1aaa,aa3.2.2轴向拉压杆的变形2.胡克定律即当杆件的应力不超过某一极限时，其纵向变形与轴力、杆长成正比，与横截面面积成反比。称为杆的拉伸（压缩）刚度。另外，此式只适用于在杆长度内变形是均匀的情况。EAlNl.EA因为，，则根据胡克定律，可得胡克定律的另一种表达式为3.2.2轴向拉压杆的变形EANll3.泊松比,,2(1)EG或对于各向同性材料来说，拉压弹性模量E、泊松比μ及剪切弹性模量G之间有如下的关系:3.2.2轴向拉压杆的变形实验结果表明，当杆件应力不超过比例极限时，横向线应变ε΄与纵向线应变ε的绝对值之比为一常数，此比值称为泊松比μ，为无量纲的量。即3.3圆轴扭转的应力和变形3.3.1圆轴扭转时的应力基本思路：应力分布应力公式变形应变分布平面假定物理关系静力方程①变形几何关系②物理关系③静力学关系3.3.1圆轴扭转时的应力1.变形几何关系作如下实验：可看到如下现象：(l)所有纵线都倾斜了相同角度而成为平行螺旋线，变形很小时近似为一直线，矩形都歪斜成为平行四边形。直角发生了改变，其改变量为（切应变）。(2)横向的各圆周线大小、形状以及之间的距离均无改变，只是都绕轴线旋转了一个角度。3.3.1圆轴扭转时的应力根据变形现象作出“平面假设”：圆轴的横截面在受扭变形时保持为平面，并像刚性平面一样绕轴线相对转动。3.3.1圆轴扭转时的应力横截面上各点无轴向变形，故横截面上没有正应力。横截面绕轴线发生了旋转式的相对错动，故横截面上有剪应力存在。各横截面半径不变，所以剪应力方向与截面径向垂直。可得到如下结论：受扭圆轴的横截面上存在有与截面径向垂直的剪应力。3.3.1圆轴扭转时的应力从受扭圆轴中取出一微段dx，则在dx微段上的楔形单元体的矩形格子abcd变成了平行四边形ab΄c΄d，如右图所示。直角改变即切应变的大小为：xbbabbbdtan又在直角三角形Obb΄中有：rdbbdxdrr同一截面上的各点θ为常量。2.物理关系由剪切胡克定律得：GdxdG由上式可知：横截面上某点的切应力与该点到圆心的距离成正比；在同一半径的圆周上各店的切应力值均相等；在截面中心处切应力为零，截面边缘各点切应力最大，其他各点处的切应变沿截面半径按直线规律变化。及3.3.1圆轴扭转时的应力3.3.1圆轴扭转时的应力切应力沿半径的分布如下图所示：因为为垂直于半径平面内的切应变，所以也与半径垂直：3.静力学关系圆轴横截面上各微面积上的微剪力对轴心的力矩的总和必须与该截面上的扭矩相等，故有代入上式可得：dxdG将AxMdA3.3.1圆轴扭转时的应力AxGAxGdAMAAAxdddddd22GIMxddAIApd2式中就是该截面对形心的极惯性矩，则得：代入物理关系式得：IMx上式中：——抗扭截面模量或抗扭截面系数。最大切应力：maxmaxxxppMMIWpW显然，当时，即在横截面周边上的各点处剪应力将达到其最大值。3.3.1圆轴扭转时的应力即，圆轴扭转时横截面上任一点的切应力计算公式为：IMx2/maxD3.3.1圆轴扭转时的应力IMx—横截面上距圆心为处任一点剪应力计算公式。公式讨论：①仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等截面圆轴。②式中：Mx—横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。—该点到圆心的距离。Ip—极惯性矩，纯几何量。③尽管由等直实心圆轴推出，但同样适用于等直空心圆轴，也近似适用于截面沿轴线变化缓慢的小锥度圆轴。3.3.2圆轴扭转时的变形在圆轴扭转过程中，各横截面像一个个圆盘绕杆轴做相对转动。两个横截面绕杆轴线转动的相对角位移即扭转角，用表示。其中，dφ代表相距为dx的两横截面间的相对扭转角。则相距为的两横截面间的扭转角φ可表示成：GIMdxdx前面已知：lxdxGIMd0l反映了抵抗扭转变形的能力，称为轴的抗扭刚度。GI对分段等截面直圆轴：GIlMxAC和DB梁段的各横截面上，剪力和弯矩同时存在，这种平面弯曲称为横力弯曲。CD梁段内，横截面上只有弯矩而没有剪力，这种平面弯曲称为纯弯曲。M图FaQ图FFFFaaCDAB3.4平面弯曲梁的应力3.4.1纯弯曲与横力弯曲横力弯曲时，各截面上弯矩是不同的；纯弯曲时，各截面上弯矩为一不变的常数值。同拉（压）杆的正应力、圆轴扭转的切应力的分析一样，纯弯曲梁横截面上的正应力研究思路是：3.4.2纯弯曲梁横截面上的正应力应力分布应力公式变形应变分布平面、单向受力假设物理关系静力方程①变形几何关系②物理关系③静力学关系（中性轴）（对称轴）yz中性层a)c)b)MMMMd2211纵线横线x1、变形几何关系3.4.2纯弯曲梁横截面上的正应力如右图所示，在梁的侧面画上与轴线平行的纵向线以及与梁轴垂直的横向线，然后在梁纵向对称平面内加一对力偶矩为M的外力偶，使梁发生纯弯曲，观察其变形。（1）梁上的纵向线都弯成了曲线，且下部分（靠近凸边）的纵向线伸