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机械模态分析理论基础假设:系统是线性、定常与稳定的线性时不变系统线性:描述系统振动的微分方程为线性方程,其响应对激励具有叠加性;定常:振动系统的动态特性(如质量、阻尼、刚度等)不随时间变化,即具有频率保持性;如系统受简谐激励-响应的频率必定与激励一致。稳定:系统对有限激励必将产生一个有限响应,即系统满足傅氏变换和拉氏变换的条件。振动系统分类:空间角度:离散(有限自由度)系统和连续(无限自由度)系统时间角度:连续时间系统和离散时间系统连续模拟信号--离散数字信号研究步骤:(1)建立结构的物理参数模型(以质量、阻尼、刚度为参数的关于位移的振动微分方程)(2)研究其特征值问题,求得特征值和特征矢量,得到结构的模态参数模型(模态频率、模态矢量、模态阻尼比、模态质量、模态阻尼、模态刚度等参数)。正则化,解耦。(3)通过研究受迫动力响应问题,可得到系统的非参数模型(频响函数和脉冲响应函数)。频响函数和脉冲响应函数是试验模态分析系统识别模态参数的基础。根据阻尼模型的不同,分为:无阻尼系统、比例阻尼系统、结构阻尼系统、粘性阻尼系统1、单自由度系统的振动粘性阻尼系统的振动微分方程:)(tfkxxcxm自由振动:0kxxcxm正则形式:0220xxx其中:mc2:衰减系数(衰减指数);mk0:无阻尼固有频率(固有频率)引入阻尼比(无量纲阻尼系数):mkc20运动微分方程可写成:02200xxx特解为:tex,为方程的特征值,因此:0)(2kcm为使系统有非零解,很显然:02kcm因此可得到的解为:dj2,1式中:201d成为阻尼固有频率。当:1(0),过阻尼,系统不产生振动;当:=1(0),过阻尼,系统不产生振动;当:1(0),过阻尼,系统不产生振动。可见,特征值实部代表系统的衰减系数;虚部代表系统的阻尼固有频率。在振动理论中,特征值称为复频率。方程的通解(自由振动响应)为:tAexdtsin其中,A和取决于系统的初始条件。当t=0时,00,xxxx。000120020xxxtgxxxAdd2、传递函数、频响函数对于简谐激励:()jtftFe,其稳态响应:()jtxtXeh(t)单位脉冲外力下的响应函数(简称为脉冲响应函数),时域内反映系统的动态特性:dtfhtx)()()(H(ω)机械导纳,反映系统对不同频率的激励的传递放大特性,反映系统易受振动。频域内反映系统的动态特性)()()(FXH对于单自由度粘性阻尼振动系统,通过拉氏变换和傅氏变换可得到:FXmjck)(2所以,位移频响函数为:jcmkFXH21)()()(速度频响函数为:jcmkjFVHV2)()()(加速度频响函数为:jcmkFAHA22)()()(频响函数的倒数成为阻抗。单位脉冲响应函数(简称为脉冲响应函数):振动系统中单位脉冲力作用下的自由响应。单位脉冲力()t是指:脉冲量为1,作用时间无限短的瞬时力:,0()0,0()1ttttdt且,质点受到单位脉冲力作用后获得的动量为:01mx,则自由振动的初始条件就为:0010,xxm可得到系统的自由振动响应:1()sintddhtetm就是脉冲响应函数。很容易证明频响函数和脉冲响应函数是一对傅氏变换对:)()(thHF(1)简谐激励结构在简谐激励下的稳态响应也是同频率的简谐振动。但有相位差。)()()()()(jtjtjeFXXetxFetf)(H工程中,应变常常是非常重要的,而且易于测量。应变片体积小、质量小、成分低,对试验结构影响很小。而且由应变可计算得到应力,工程中常常通过测量得到应变模态。(2)周期性激励周期性激励可通过傅立叶级数展开成各阶谐波的叠加。响应也是由对应激励的各阶谐波频率成分组成。(3)瞬态激励激励和响应都是非周期信号。但是对于绝对可积的函数,可应用傅立叶变换得到激励和响应的频率域函数:dtetxXdtetfFtjtj)()()()(因此,)()(FX)(H(4)随机激励为非确定性的激励,无法用一个明确的函数来描述,不绝对可积,不能对激励和响应进行傅立叶变换,只能用概率统计的方法来处理。在时间域:相关函数在频率域:功率谱密度函数deRjxfxf)()(G)(xfxfRFG)(很显然,)(F)(H)X(无法描述输入和输出的统计特性。做进一步推导:1))()()()()(**FFHFXE)()()(ˆ1ffxfGGH2))()()()()(**XFHXXE)()()(ˆ2xfxxGGH)()()()(ˆ22ffxxxffxGGG相干函数可以检验系统的非线性程度,如测量对象在某处联接存在松动等非线性情况,系统非线性等。当输入和输出存在噪声,也会使相干函数下降。ffMMGGHH1)(ˆ12ˆ()1NNxxGHHG)(1)(11)(ˆ2xxNNffMMfxGGGG输入存在噪声,会使估计的频响函数偏小;输出存在噪声,会使估计的频响函数偏大;还可用下面一些估计方法:123412ˆˆ()()ˆ()2ˆˆˆ()()()HHHHHH(3)模态试验技术1)工作模态:相同激励,同时测量响应。(未考虑激励,无法量化)2)自由模态:测量激励和响应。(单点激励法、多点激励法)试验系统:激励装置和激励传感器响应传感器分析处理激励方法:锤击法作动器、激振器(正弦激励、正弦扫描激励、阶跃松弛激励、随机激励、白噪声激励)4、模态参数识别(1)单自由度系统对于粘性阻尼系统,传递函数为:2222222221221111)()()(jkjcmkFXH其中,0频率比实际金属结构,常常不完全能用粘性阻尼来描述衰减特性,实际结构的阻尼主要来源于金属材料本身的内部摩擦(内耗)及各部件连接界面(如螺钉、衬垫)相对滑移(干摩擦)。它们消耗的能量与振幅的平方成正比。其阻尼成为结构阻尼。结构阻尼产生的阻尼力:dfkjx其中,:结构阻尼比(损耗因子),引入结构阻尼系数:kg。结构阻尼力的大小与位移成正比,方向与速度相反的一种阻尼力。因此具有结构阻尼特性的单自由度振动系统运动微分方程为:)()1(tfkxjxm22222221111)(jkH2222111)(kHR22211)(kHI2222121)()(kkHHIR是一个圆的方程。通过试验可求得系统的频响函数,利用上述频响函数的特征可以识别系统的特征参数:固有频率、阻尼特性、模态振型等。(2)多自由度系统实际结构一个连续体,是复杂无限自由度系统。绝大多数振动结构可离散成为有限个自由度的多自由度系统。对于一个有n个自由度的振动系统,需用n个独立的物理坐标来描述其物理参数模型。在线性范围内,物理坐标系的自由振动响应为n个主振动的线性叠加。每个主振动都是一种特定形态的自由振动,振动频率即为系统的主频率(固有频率),振动形态即为系统的主振型(模态或固有振型)。多自由度系统的惯性、弹性和阻尼都是耦合的,刚度和阻尼矩阵是非对角化的矩阵,很难求解!微分方程解耦(矩阵对角化)!求特征值和特征向量,在结构中就是将系统转化到模态坐标,使系统解耦。FKXXCXMF:激励向量;X:响应向量。M、C、K分别为质量矩阵、阻尼矩阵、刚度矩阵。拉氏变换:)()(2sFsXKsCMs用j替代s,进入傅氏域内处理:CMKFXHj21)()()()()(2FXCMKj对于线性不变系统,系统的任何一点的响应均可以表示成各阶模态响应的线性组合:)()()()()(2211NlNrlrlllqqqqX式中:)(rq为r阶模态坐标;lr为l测点的r阶模态振型系数。对于N个测点,各阶振型系数可组成列向量,称为r阶模态振型。Nrrrr21φ各阶模态向量组成模态矩阵:TNφφφφ,,,21物理意义:各阶模态对响应的贡献量。Nqqq21Q,为模态坐标。(1)对于无阻尼自由振动系统02φQMK02φMK对于r阶模态:02rrφMK左乘Tsφ,得到:02rrTsφMKφ对于s阶模态:02ssφMK右乘sφ,得到:02rTsTTsφMKφ两式相减,可以得到:022rTssrMφφ当rs时,0rTsMφφ0rTsKφφ当r=s时,rTsrrTsMφφKφφ2令:rrTsKKφφ,rrTsMMφφrrrMK2rrMK,分别称为模态刚度和模态质量。我们再引入比例阻尼和对应的模态阻尼rC,因此有:用模态坐标替代物理坐标后,rrrrrFQCjMK2可见,刚度、质量、阻尼矩阵都已经对角化了,即解耦了。对应r阶有:rrrrrrFqCjMK2模态试验时,我们测得p点激励,l点响应:TpFF0)(0模态力为:)(pprrFF由上面可得:rrrpprrrrrrCjMKFCjMKFq22)(NrrrrpprlrNrrlrlCjMKFqx121)()(所以,l点和p点间的频响函数:NrrrrprlrpllpCjMKFxH12)()()(令prlrrerKK,为等效模态刚度NrrrrerlpjKH12)1(1)(其中,rr为r阶模态频率比;rrrrMC2为r阶模态阻尼比。注意:上述讨论适合无阻尼、比例阻尼,刚度矩阵和阻尼矩阵是对称的,称为实模态矩阵。对于小阻尼系统也还是适用的。而对于大阻尼系统,需要采用复模态来进行分析。6、模态参数识别的方法(1)频域模态参数识别法:单模态识别法、多模态识别法1)最小二乘导纳圆拟合法(单模态)22222221111)(jkH2)差分法(单模态)3)非线性加权最小二乘法(多模态)4)直接偏导数法(多模态)5)Levy法(多模态)6)正交多项式拟合法7)分区模态综合法(2)时域模态参数识别法1)随机减量法2)ITD法3)最小二乘复指数法(LSCE)4)ARMA时序分析法结构动力修改模态分析的目的是了解系统的动态特性。在已知结构动态特性参数后,我们应该寻求改进系统动态特性的方法。有两种情况:1)由于制造和设计原因,不得不对现有结构进行局部修改。如:共振?局部疲劳破坏?振动噪声大异常等?是否可以根据目前系统来寻求结构的优化,改进系统的动态特性!2)由于原结构动态特性不理想,需要修改。如:要在系统中加/减一个附件?是否可以根据目前系统推知和预测修改后系统的模态特性参数!(1)灵敏度分析对于结构动态特性灵敏度分析,从灵敏度的基本概念出发:一阶微分灵敏度:ixxFs)(一阶差分灵敏度:ixxFs)(结构动特性灵敏度是指:特征参数(特征值、特征向量)对结构参数(质量、刚度、阻尼)的改变率。也就是单位结构参数的变化产生的特征参数
本文标题:模态分析理论
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