模拟退火算法解决TSP问题

智能优化方法课题报告专业班级：电子信息科学与技术12-3班课题名称：模拟退火算法解决TSP问题指导教师：姚睿学生姓名：蒋文斌学号：08123453（课题设计时间：2015年3月28日——2015年4月13日）中国矿业大学计算机学院一、问题描述旅行商问题（TravelingmonituihuolesmanProblem，简称TSP）又名货郎担问题，是威廉·哈密尔顿爵士和英国数学家克克曼(T.P.Kirkman)于19世纪初提出的一个数学问题，也是著名的组合优化问题。问题是这样描述的：一名商人要到若干城市去推销商品，已知城市个数和各城市间的路程（或旅费），要求找到一条从城市1出发，经过所有城市且每个城市只能访问一次，最后回到城市1的路线，使总的路程（或旅费）最小。TSP刚提出时，不少人认为这个问题很简单。后来人们才逐步意识到这个问题只是表述简单，易于为人们所理解，而其计算复杂性却是问题的输入规模的指数函数，属于相当难解的问题。这个问题数学描述为：假设有n个城市，并分别编号，给定一个完全无向图G=（V，E），V={1，2，…，n}，n1。其每一边(i,j)E有一非负整数耗费Ci,j(即上的权记为Ci,j，i，jV)。并设1,ij0{ijX边（，）在最优线路上，其他G的一条巡回路线是经过V中的每个顶点恰好一次的回路。一条巡回路线的耗费是这条路线上所有边的权值之和。TSP问题就是要找出G的最小耗费回路。人们在考虑解决这个问题时，一般首先想到的最原始的一种方法就是:列出每一条可供选择的路线(即对给定的城市进行排列组合)，计算出每条路线的总里程，最后从中选出一条最短的路线。假设现在给定的4个城市分别为A、B、C和D，各城市之间的耗费为己知数，如图1-1所示。我们可以通过一个组合的状态空间图来表示所有的组合，如图1-2所示。（1-1）图1-1顶点带权图图1-2TSP问题的解空间树1.模拟退火是什么?首先,让我们看看模拟退火是如何工作的,以及为什么它是善于解决旅行商问题。模拟退火（SimulatedAnnealing，简称monituihuo）是一种通用概率算法，用来在一个大的搜寻空间内找寻命题的最优解。该算法是源于对热力学中退火过程的模拟，在某一给定初温下，通过缓慢下降温度参数，使算法能够在多项式时间内给出一个近似最优解。退火与冶金学上的“退火”相似，而与冶金学的淬火有很大区别，前者是温度缓慢下降，后者是温度迅速下降。我们将热力学的理论套用到统计学上，将搜寻空间内每一点想像成空气内的分子；分子的能量，就是它本身的动能；而搜寻空间内的每一点，也像空气分子一样带有“能量”，以表示该点对命题的合适程度。算法先以搜寻空间内一个任意点作起始：每一步先选择一个“邻居”，然后再计算从现有位置到达“邻居”的概率。2.模拟退火的优点先来说下爬山算法：爬山算法是一种简单的贪心搜索算法，该算法每次从当前解的临近解空间中选择一个最优解作为当前解，直到达到一个局部最优解。爬山算法实现很简单，其主要缺点是会陷入局部最优解，而不一定能搜索到全局最优解。如图1-3所示：假设C点为当前解，爬山算法搜索到A点这个局部最优解就会停止搜索，因为在A点无论向那个方向小幅度移动都不能得到更优的解。爬山法是完完全全的贪心法，每次都鼠目寸光的选择一个当前最优解，因此只能搜索到局部的最优值。图1-3爬山算法模拟退火其实也是一种贪心算法，但是它的搜索过程引入了随机因素。模拟退火算法以一定的概率来接受一个比当前解要差的解，因此有可能会跳出这个局部的最优解，达到全局的最优解。以图1-3为例，模拟退火算法在搜索到局部最优解A后，会以一定的概率接受到E的移动。也许经过几次这样的不是局部最优的移动后会到达D点，于是就跳出了局部最大值A。3.模拟退火算法描述：若J(Y(i+1))=J(Y(i))(即移动后得到更优解)，则总是接受该移动。若J(Y(i+1))J(Y(i))(即移动后的解比当前解要差)，则以一定的概率接受移动，而且这个概率随着时间推移逐渐降低（逐渐降低才能趋向稳定）这里的“一定的概率”的计算参考了金属冶炼的退火过程，这也是模拟退火算法名称的由来。根据热力学的原理，在温度为T时，出现能量差为dE的降温的概率为P(dE)，表示为：P(dE)=exp(dE/(kT))其中k是一个常数，exp表示自然指数，且dE0。这条公式说白了就是：温度越高，出现一次能量差为dE的降温的概率就越大；温度越低，则出现降温的概率就越小。又由于dE总是小于0（否则就不叫退火了），因此dE/kT0，所以P(dE)的函数取值范围是(0,1)。随着温度T的降低，P(dE)会逐渐降低。我们将一次向较差解的移动看做一次温度跳变过程，我们以概率P(dE)来接受这样的移动。关于爬山算法与模拟退火，有一个有趣的比喻：爬山算法：兔子朝着比现在高的地方跳去。它找到了不远处的最高山峰。但是这座山不一定是珠穆朗玛峰。这就是爬山算法，它不能保证局部最优值就是全局最优值。模拟退火：兔子喝醉了。它随机地跳了很长时间。这期间，它可能走向高处，也可能踏入平地。但是，它渐渐清醒了并朝最高方向跳去。这就是模拟退火。4.接受函数接受函数决定选择哪一个解决方案，从而可以避免掉一些局部最优解。首先我们检查如果相邻的解决方案是比我们目前的解决方案好，如果是，我们接受它。否则的话，我们需要考虑的几个因素：1)相邻的解决方案有多不好;2)当前的温度有多高。在高温系统下更有可能接受较糟糕的解决方案。这里是简单的数学公式：exp((solutionEnergy–neighbourEnergy)/temperature)，即上面的P(dE)=exp(dE/(kT))5.模拟退火的基本思想它可以分解为解空间、目标函数和初始解三部分。(1)初始化：初始温度T(充分大)，初始解状态S(是算法迭代的起点)，每个T值的迭代次数L(2)对k=1，……，L做第(3)至第6步：(3)产生新解S′(4)计算增量Δt′=C(S′)-C(S)，其中C(S)为评价函数(5)若Δt′0则接受S′作为新的当前解，否则以概率exp(-Δt′/T)接受S′作为新的当前解.(6)如果满足终止条件则输出当前解作为最优解，结束程序。终止条件通常取为连续若干个新解都没有被接受时终止算法。(7)T逐渐减少，且T0，然后转第2步。6.模拟退火算法的流程7.算法过程描述（1)首先,需要设置初始温度和创建一个随机的初始解。（2)然后开始循环,直到满足停止条件。通常系统充分冷却,或找到一个足够好的解决方案。（3)把当前的解决方案做一些小的改变，然后选择一个新的相邻的方案。（4)决定是否移动到相邻的解决方案。（5)降低温度,继续循环二、程序代码实现1.City类，用来描述城市的基本坐标信息，以及计算两城市之间的距离。packagemonituihuo;publicclassCity{intx;//保存城市的X坐标inty;//保存城市的Y坐标Stringname;//保存城市的名称//生成一个随机的城市publicCity(){this.x=(int)(Math.random()*200);this.y=(int)(Math.random()*200);this.name=null;}//初始化一个城市的坐标publicCity(intx,inty,Stringname){this.x=x;this.y=y;this.name=name;}//获取城市的X坐标publicintgetX(){returnthis.x;}//获取城市的Y坐标publicintgetY(){returnthis.y;}//计算两个城市之间的距离publicdoubledistanceTo(Citycity){intxDistance=Math.abs(getX()-city.getX());intyDistance=Math.abs(getY()-city.getY());doubledistance=Math.sqrt((xDistance*xDistance)+(yDistance*yDistance));returndistance;}//重写toString方法@OverridepublicStringtoString(){returngetX()+,+getY()++name;;}}2.Tour类，用来初始化旅行商路径，完成路径的解决方案。packagemonituihuo;importjava.util.ArrayList;importjava.util.Collections;publicclassTour{//保存城市的列表privateArrayListtour=newArrayListCity();//保存距离privateintdistance=0;//生成一个空的路径publicTour(){for(inti=0;iSimulatedAnnealing.allCitys.size();i++){tour.add(null);}}//复杂路径publicTour(ArrayListtour){this.tour=(ArrayList)tour.clone();}//获取路径publicArrayListgetTour(){returntour;}//CreatesarandomindividualpublicvoidgenerateIndividual(){for(intcityIndex=0;cityIndexSimulatedAnnealing.allCitys.size();cityIndex++){setCity(cityIndex,SimulatedAnnealing.allCitys.get(cityIndex));}//随机的打乱Collections.shuffle(tour);}//获取一个城市publicCitygetCity(inttourPosition){return(City)tour.get(tourPosition);}publicvoidsetCity(inttourPosition,Citycity){tour.set(tourPosition,city);//重新计算距离distance=0;}//获得当前的总距离publicintgetDistance(){if(distance==0){inttourDistance=0;for(intcityIndex=0;cityIndextourSize();cityIndex++){CityfromCity=getCity(cityIndex);CitydestinationCity;if(cityIndex+1tourSize()){destinationCity=getCity(cityIndex+1);}else{destinationCity=getCity(0);}tourDistance+=fromCity.distanceTo(destinationCity);}distance=tourDistance;}returndistance;}//获得当前路径中城市的数量publicinttourSize(){returntour.size();}publicStringtoString(){StringprintString=|;for(inti=0;itourSize();i++){printString+=getCity(i)+|;}returnprintString;}}3.SimulatedAnnealing主类，是算法的实现类，也是模拟退火算法解决TSP问题相应的测试。packagemonituihuo;importjava.util.ArrayList;importjava.util.List;publicclassSimulatedAnnealing{publicstaticListCityallCitys=newArrayListC