牛顿插值法和最小二乘法在乳液聚合过程中的应用

1牛顿插值法和最小二乘法在乳液聚合过程中的应用摘要：本文介绍了牛顿插值法和最小二乘法在乳液聚合过程中的应用，比较了二者在数据处理上的误差，最终建立数学模型并进行了曲线拟合。关键词：牛顿差值法，最小二乘法，曲线拟合，聚合0前言在乳液聚合试验中，我们根据单体配比，引发剂用量等影响因素制备聚合物，并以聚合物最终的物理机械性能等为衡量指标；因此可以获得一系列的数据（ix，iy）（i=1，2，….，m），根据这些数据，希望能够找出规律，即构造一个近似函数y=φ(x)去逼近这组数所在的函数y=f(x)。由于实验数据往往具有不准确性，数据量大、能够基本反映因变量随自变量变化性态等特点，实际应用中并不要求曲线经过所有的观测点，而是在符合数据分布特征的某类曲线中依据标准选择一条最好的曲线作为观测数据的连续模型。即需要对其进行曲线拟合。1数据分析在本文中，选取引发剂用量与聚合物膜抗张强度的一组数据进行数据分析，并进行曲线拟合。为了获得引发剂用量M（质量百分比）和抗张强度Q（N/mm2）的关系，我们先对所采集到的大量数据进行简单分析，将试验所的数据用平滑的曲线进行连接后，从图1中可以看出聚合反应引发剂用量与聚合物膜的抗张强度之间的关系为非线性关系，Q随M变化的趋势近似二次函数关系，所以我们采用牛顿差值法和最小二乘法对数据进行分析，并建立方程，拟合曲线。表1实验数据表图1引发剂用量与聚合物膜抗张强度曲线图2牛顿插值法在乳液聚合过程的应用根据表1的实验数据，利用牛顿插值公式进行数据处理：()fx在x，x0两点的一阶差商为000,fxfxfxxxxM12345678Q3.95.35.786.126.587.217.568.012从而可得000()(),fxfxfxxxfxx①()fx在x，0x，1x三点上的二阶差商为001011,,,,fxxfxxfxxxxx从而可得001101,,,,fxxfxxxxfxxx②以此类推，有01010,,...,,,...,,,(1,2,...)kkkkfxxxfxxxxxfxxxkn③根据以上方程将后一式代入前一式便有000101012011010110101101,()(),,...()()...(),,...,...()()...(),,...,()()...()[,,...,]kknnnnfxfxxxfxxxxxxfxxxxxxxxxfxxxxxxxxxfxxxxxxxxxfxxx记000101101(),...()()...(),,...,nnnNfxxxfxxxxxxxxfxxx则可得递推公式101011()()()...(),,...,kknkNxNxxxxxxxfxxx因此利用差商表进行计算表2差商表MQ一阶差商二阶差商13.91.425.335.780.48-0.4646.120.34-0.0756.580.460.0667.210.630.08577.560.35-0.1488.010.450.05从而牛顿差值公式为'3.91.4(1)0.46(1)(2)Qxxx表3数据误差分析列表M123456783Q(试验值)3.905.305.786.126.587.217.568.01Q’（理论值）3.905.305.785.343.981.70-1.50-5.62△Q’0000.782.605.519.0613.63''1135.582.1240181niQiQn3最小二乘法在乳液聚合过程的应用根据表1和图1所示，可以看出聚合反应引发剂用量与聚合物膜的抗张强度之间的关系为非线性关系，Q随M变化的趋势近似二次函数关系，所以我们采用最小二乘法用二次函数对其进行拟合：设Q=C2M2+C1M+C0，系数C2,C1,C0可由下列方程求得：211201..................niiiiiiiniiiiiiiiiniiinnniiiiiixxyxyxxxnxyxxxccc解取2*2012012()1,1,,,()MMMMccMcM。由于8118i，8136iiM，821204iiM，8311296iiM，8418772iiM8150.46iiQ，81249.48iiiMQ，8211482.18iiiMQ从而可得法方程组为解此方程得*0123.34929,0.86786,0.03714ccc故所求二次拟合曲线为20.037140.867863.34929QMM表4数据误差分析列表M12345678Q(试验值)3.905.305.786.126.587.217.568.01Q（理论值）4.184.945.626.236.767.227.607.924△Q0.28-0.36-0.160.110.180.010.04-0.09Q的偏差110.00010.0038181niQiQn图2最小二乘法拟合曲线4总结比较牛顿插值法拟合曲线的偏差分析和最小二乘法拟合曲线的偏差分析结果，可看出最小二乘法的特点是在诸方法数据处理过程中，误差最小，精确性最好。用最小二乘法拟合的曲线的不确定度是最小的。所以，在日后的试验过程中，采用最小二乘法进行曲线拟合的误差较小。