模糊综合评判与模糊聚类.

模糊理论建模copyright@新余高专数模组一模糊集合及其运算二模糊模式识别四模糊聚类分析模糊理论建模三模糊综合评判一、模糊集合及其运算模糊理论建模一、经典集合与特征函数集合：具有某种特定属性的对象集体。通常用大写字母A、B、C等表示。论域：对局限于一定范围内进行讨论的对象的全体。通常用大写字母U、V、X、Y等表示。论域U中的每个对象u称为U的元素。模糊集合及其运算在论域U中任意给定一个元素u及任意给定一个经典集合A，则必有或者，用函数表示为：AuAu),(}1,0{:uuUAA其中AuAuuA,0,1)(函数称为集合A的特征函数。A经典集合有关概念经典集合具有三个性质:确定性、互斥性、无序性罗素（Russell）悖论：在一个孤岛上唯一的一个理发师，其工作是“专门替那些不给自己刮胡子的人刮胡子”，现问理发师本人该不该给自己刮胡子？取论域U={全岛刮胡子的人}，集合A={不给自己刮胡子的人}，用特征函数刻画为某人给自己刮胡子某人不给自己刮胡子某人,0,1)(A问题：显然理发师，那么理发师是否属于A？U罗素（Russell）悖论二、模糊集合及其运算美国控制论专家Zadeh教授正视了经典集合描述的“非此即彼”的清晰现象，提示了现实生活中的绝大多数概念并非都是“非此即彼”那么简单，而概念的差异常以中介过渡的形式出现，表现为“亦此亦彼”的模糊现象。基于此，1965年，Zadeh教授在《InformationandControl》杂志上发表了一篇开创性论文“FuzzySets”,标志着模糊数学的诞生。模糊数学的诞生1、模糊子集模糊子集有关概念设U是论域，称映射A(x)：U→[0,1]确定了一个U上的模糊子集A，映射A(x)称为A的隶属函数，它表示x对A的隶属程度.使A(x)=0.5的点x称为A的过渡点，此点最具模糊性.当映射A(x)只取0或1时，模糊子集A就是经典子集，而A(x)就是它的特征函数.可见经典子集就是模糊子集的特殊情形.模糊子集通常简称模糊集，其表示方法有：（1）Zadeh表示法nnxxAxxAxxAA)()()(2211这里表示对模糊集A的隶属度是。iixxA)(ix)(ixA如“将一1,2,3,4组成一个小数的集合”可表示为4032.028.011A可省略模糊集合常见表示方法（3）向量表示法))(,),(),((21nxAxAxAA（2）序偶表示法))}(,(,)),(,()),(,{(2211nnxAxxAxxAxA若论域U为无限集，其上的模糊集表示为：UxxxAA)(模糊集合常见表示方法2、模糊集的运算定义：设A，B是论域U的两个模糊子集，定义相等：UxxBxABA),()(包含：UxxBxABA),()(并：UxxBxAxBA),()())((交：UxxBxAxBA),()())((余：UxxAxAc),(1)(表示取大；表示取小。模糊集的运算几个常用的算子：（1）Zadeh算子),(},min{},,max{babababa（2）取大、乘积算子),(abbababa},,max{（3）环和、乘积算子),ˆ(abbaabbaba,ˆ模糊集的常用算子（4）有界和、取小算子),(},min{),(1babababa（5）有界和、乘积算子),(abbababa),(1（6）Einstain算子),()1)(1(1,1baabbaabbaba模糊集的常用算子3、模糊矩阵定义：设称R为模糊矩阵。,10,)(ijnmijrrR当只取0或1时，称R为布尔（Boole）矩阵。ijr当模糊方阵的对角线上的元素都为1时，nnijrR)(ijr称R为模糊自反矩阵。（1）模糊矩阵间的关系及运算定义：设都是模糊矩阵，定义nmijnmijbBaA)(,)(相等：ijijbaBA包含：ijijbaBA模糊矩阵及其运算并：nmijijbaBA)(交：nmijijbaBA)(余：nmijcaA)1(例：则设,2.03.004.0,3.02.01.01BA3.03.01.01BA2.02.004.0BA7.08.09.00cA8.07.016.0cB模糊矩阵及其运算（2）模糊矩阵的合成定义：设称模糊矩阵,)(,)(nsijsmijbBaAnmijcBA)(为A与B的合成，其中。}1)max{(skbackjikij例：则设,6.04.02.05.03.01.0,3.06.02.05.01.04.0BA3.03.06.05.0BA5.05.04.03.03.03.02.02.01.0AB模糊矩阵及其运算其中的“。”常用Zadeh算子（3）模糊矩阵的转置定义：设称为A的,)(nmijaAnmTijTaA)(转置矩阵，其中。jiTijaa（4）模糊矩阵的截矩阵定义：设对任意的称,)(nmijaA],1,0[nmijaA)()(为模糊矩阵A的截矩阵，其中ijijijaaa,0,1)(模糊矩阵及其运算例：则设,18.03.008.011.02.03.01.015.002.05.01A11001100001100115.0A11001100001000018.0A模糊矩阵及其运算三、隶属函数的确定1、模糊统计法模糊统计试验的四个要素：（1）论域U；（2）U中的一个固定元素;0u（3）U中的一个随机运动集合;*A（4）U中的一个以作为弹性边界的模糊子集A，*A制约着的运动。可以覆盖也可以不覆盖*A*A,0u,0u致使对A的隶属关系是不确定的。0u隶属函数的确定特点：在各次试验中，是固定的，而在随机变动。0u*A模糊统计试验过程：（1）做n次试验，计算出nAuAu的次数的隶属频率对*00（2）随着n的增大，频率呈现稳定，此稳定值即为nAuuAn的次数*00lim)(0u对A的隶属度：隶属函数的确定与概率统计类似，但有区别：若把概率统计比喻为“变动的点”是否落在“不动的圈”内，则把模糊统计比喻为“变动的圈”是否盖住“不动的点”.2、指派方法这是一种主观的方法，但也是用得最普遍的一种方法。它是根据问题的性质套用现成的某些形式的模糊分布，然后根据测量数据确定分布中所含的参数。3、模糊统计法求隶属函数隶属函数的确定模糊统计法的步骤：（1）确定论域与因素集。（2）要求参与实验者就论域中各给出的点是否属于因素集的各元素进行投票。（3）统计投票结果，求出隶属函数。4、其它方法德尔菲法：专家评分法；二元对比排序法：把事物两两相比，从而确定顺序，由此决定隶属函数的大致形状。主要有以下方法：相对比较法、择优比较法和对比平均法等。隶属函数的确定例设论域U={x1(140),x2(150),x3(160),x4(170),x5(180),x6(190)}(单位：cm)表示人的身高，请确定U上的一个模糊集“高个子(A)”和隶属函数A(x)。Zadeh表示法隶属函数的确定65432118.06.04.02.00xxxxxxA向量表示法A=(0,0.2,0.4,0.6,0.8,1)隶属函数A(x)可主观的定为：140190140)(xxA模糊集“矮个子”的隶属函数如何定义?例：设论域U年龄={20，35，50，65}，因素A={年青人，老年人}，20个人参与投票，结果如表所示：隶属函数的确定U∈A的次数uA20355065年表人201620老年人001819投票结果表试确定各年龄论域对因素集A的隶属度μ20对“年青人”这一概念的隶属度：μ20=20/20=1μ20对“老年人”这一概念的隶属度：μ20=0/20=0所以，μ20={1，0}。同理可求出年龄中各点对于因素集的隶属度μ35={0.8，0}μ50={0.1，0.9}μ65={0，0.95}二、模糊模式识别模糊模式识别模式识别的本质特征：一是事先已知若干标准模式，称为标准模式库；二是有待识别的对象。所谓模糊模式识别，是指在模式识别中，模式是模糊的，或说标准模式库中提供的模式是模糊的。一最大隶属原则最大隶属原则Ⅰ：设mAAA,,,21为给定的论域U上的m个模糊模式，Ux0为一个待识别对象，若)}(,),(),(max{)(002010xAxAxAxAmi，则认为0x优先归属于模糊模式iA。设A为给定论域U上的一个模糊模式，nxxx,,,21为U中的n个待识别对象，若)}(,),(),(max{)(21nixAxAxAxA，则认为ix优先归属于模糊模式A。最大隶属原则Ⅱ：模糊模式识别(一个对象有多个模式，确定最优模式)(多个对象一个模式，确定最优对象)例：已知年轻人的模糊集隶属函数为10025,])525(1[25,1)(121xxxxA老年人的模糊集的隶属函数为10005,])550(1[50,0)(122xxxxA现有某人55岁，问他相对来讲是老年还是年轻？)}55(),55(max{)55(.21)55(,371)55(21221AAAAA按最大隶属原则，该人属于老年。解：模糊模式识别例：今考虑三角形的识别问题。设U为所有待识别的三角形所构成的集合，由于每一个三角形完全由其三个内角所确定，故可以三角形的三个内角,,作为特性指标。于是，论域U可记为}180,0),,({xU。设A为U上的一个近似等腰三角形，其隶属函数为.)],min(6011[),,()(2AxA模糊模式识别给定4个三角形),35,45,100(),37,50,93(21xx)44,56,80(),17,38,125(43xx，试用最大隶属原则识别这4个三角形中哪个优先归属于近似等腰三角形A。解：经计算得)}(),(),(),(max{)(,64.0)(,423.0)(694.0)(,614.0)(432124321xAxAxAxAxAxAxAxAxA按最大隶属原则，2x应优先归属于A。模糊模式识别阈值原则：设mAAA,,,21为给定论域U上的m个模糊模式，规定一个阈值Ux0],1,0[为一个待识别对象。（1）如果,)}(,),(),(max{00201xAxAxAm则作“拒绝识别”的判决，这时应查找原因，再作分析。（2）如果,)}(,),(),(max{00201xAxAxAm并且有k个模糊模式)(,),(),(00021xAxAxAkiii大于或等于，则认为识别可行，并将0x划归于.21kiiiAAA模糊模式识别二、择近原则1、贴近度（1）格贴近度ABABA1([21),(0⊙B]，其中：)}()(max{xBxABA表示两个模糊集A，B的内积；A⊙B)}()(min{xBxA表示两个模糊集A，B的外积。),(BA表示两个模糊集A，B之间的贴近程度。模糊模式识别例：设论域},,,{4321xxxxU上的三个模式为),8.0,4.0,3.0,0(),3.0,6.0,1.0,9.0(BA),4.0,3.0,6.0,1.0(C判别A和B中哪个与C最贴近。解：3.03.03.01.01.0CAA⊙C=4.04.06.06.09.04.04.03.01.00CBB⊙C=1.08.04.06.01.065.0)]1.01(4.0[21),(0CB45.0)]4.01(3.0[2