模糊数学教案.

第1章模糊集的基本概念模糊数学是研究和处理模糊性现象的数学方法.众所周知，经典数学是以精确性为特征的.然而，与精确形相悖的模糊性并不完全是消极的、没有价值的.甚至可以这样说，有时模糊性比精确性还要好.例如,要你某时到某地去迎接一个“大胡子高个子长头发戴宽边黑色眼镜的中年男人”.尽管这里只提供了一个精确信息――男人，而其他信息――大胡子、高个子、长头发、宽边黑色眼镜、中年等都是模糊概念，但是你只要将这些模糊概念经过头脑的综合分析判断，就可以接到这个人.模糊数学在实际中的应用几乎涉及到国民经济的各个领域及部门，农业、林业、气象、环境、地质勘探、医学、经济管理等方面都有模糊数学的广泛而又成功的应用.§1.2模糊理论的数学基础一经典集合1.经典集合具有两条基本属性：元素彼此相异，即无重复性；范围边界分明,即一个元素x要么属于集合A(记作xA),要么不属于集合(记作xA)，二者必居其一.2.集合的表示法(1)枚举法，A={x1,x2,…,xn}；(2)描述法，A={x|P(x)}.3.集合的包含定义1A包含于B：AB若xA，则xB；A包含B：AB若xB，则xA；A等于B：A=BAB且AB.定义2若A包含于B，称A是B的子集；不含有任何元素的集合称为空集，用表示；设有集合U，对于任意集合A，总有AU，则称U为全集.显然，任何非空集合A，都有两个子集：A及.全集是个具有相对性的概念.4.集合的幂集定义3集合A的所有子集所组成的集合称为A的幂集，记为(A)，即(A)={B|BA}.对于有限集合来说，|(A)|=2|A|.5.集合的运算定义4并集：A∪B={x|xA或xB}；交集：A∩B={x|xA且xB}；余集：Ac={x|xA}.6.集合的运算规律幂等律：A∪A=A，A∩A=A；交换律：A∪B=B∪A，A∩B=B∩A；结合律：(A∪B)∪C=A∪(B∪C)，(A∩B)∩C=A∩(B∩C)；吸收律：A∪(A∩B)=A，A∩(A∪B)=A；分配律：(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)；(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)；0-1律：A∪U=U，A∩U=A；A∪=A，A∩=；还原律：(Ac)c=A；对偶律：(A∪B)c=Ac∩Bc，(A∩B)c=Ac∪Bc；排中律：A∪Ac=U，A∩Ac=.7.集合的直积定义5XY={(x,y)|xX,yY}.例1设X={1,2}，Y={a,b,c}.则XY=(1,a),(1,b),(1,c),(2,a),(2,b),(2,c)},YX=(a,1),(a,2),(b,1),(b,2),(c,1),(c,2)}.对于有限集合来说，|XY|=|X||Y|.二映射与扩张1.映射定义6设X与Y是两个非空集合，如果存在一个对应规则f，使得xX，有唯一的元素yY与之对应，则称f是X到Y的映射，记为f：XY定义域、值域、满映射、一一映射.2.集合A的特征函数特征函数满足：.,0;,1)(AxAxxA).(1)();()()();()()(xxxxxxxxAABABABABAc取大运算,如2∨3=3取小运算,如2∧3=2扩张：点集映射集合变换3.映射的扩张定义7(扩张原理)设映射f：XY，定义f(A)={y|f(x)=y，xA}例2设X={a,b,c}，Y={1,2}.f：XY且f(a)=1，f(b)=2，f(c)=1.则f：(X)(Y)且f()=，f({a})={1}，f({b})={2}，f({c})={1}，f({a,b})={1,2}，f({a,c})={1}，f({b,c})={1,2}，f({a,b,c})={1,2}.点集映射、集合变换三二元关系1.二元关系定义8XY的子集R称为从X到Y的二元关系，特别地，当X=Y时，称之为X上的二元关系.二元关系简称为关系.若(x,y)R，则称x与y有关系，记为R(x,y)=1；若(x,y)R，则称x与y没有关系，记为R(x,y)=0.映射R:XY{0,1}实际上是XY的子集R上的特征函数.定义9设R为X上的关系(1)自反性：若X上的任何元素都与自己有关系R，即R(x,x)=1，则称关系R具有自反性；(2)对称性：对于X上的任意两个元素x,y，若x与y有关系R时，则y与x也有关系R，即若R(x,y)=1，则R(y,x)=1，那么称关系R具有对称性；(3)传递性：对于X上的任意三个元素x,y,z，若x与y有关系R，y与z也有关系R时，则x与z也有关系R，即若R(x,y)=1，R(y,z)=1，则R(x,z)=1，那么称关系R具有传递性.2.关系的三大特性3.关系的矩阵表示法定义10设X={x1,x2,…,xm},Y={y1,y2,…,yn}，R为从X到Y的二元关系，记rij=R(xi,yj)，R=(rij)m×n，则R为布尔矩阵(Boole)，称为R的关系矩阵.布尔矩阵(Boole)是元素只取0或1的矩阵.4.关系的合成定义11设R1是X到Y的关系,R2是Y到Z的关系,则R1与R2的合成R1°R2是X到Z上的一个关系.(R1°R2)(x,z)=∨{[R1(x,y)∧R2(y,z)]|y∈Y}例3设X={1,2,3},Y={1,2,3,4},Z={1,2,3},R1={(x,y)|x＜y}是X到Y的关系,R2={(y,z)|y=z}是Y到Z的关系,则R1={(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)},R2={(1,1),(2,2),(3,3)},R1与R2的合成R1°R2={(x,z)|x＜z}={(1,2),(1,3),(2,3)}.5.关系合成的矩阵表示法设X={x1,x2,…,xm},Y={y1,y2,…,ys},Z={z1,z2,…,zn}，且X到Y的关系R1=(aik)m×s，Y到Z的关系R2=(bkj)s×n，则X到Z的关系可表示为矩阵的合成：R1°R2=(cij)m×n，其中cij=∨{(aik∧bkj)|1≤k≤s}.定义12若R为n阶方阵，定义R2=R°R，R3=R2°R…例3设X={1,2,3},Y={1,2,3,4},Z={1,2,3},R1={(x,y)|x＜y}是X到Y的关系,R2={(y,z)|y=z}是Y到Z的关系,则R1°R2={(x,z)|x＜z}.1000110011101R0001000100012RR1°R20001001106.合成(°)运算的性质性质1：(A°B)°C=A°(B°C)；性质2：Ak°Al=Ak+l，(Am)n=Amn；性质3：A°(B∪C)=(A°B)∪(A°C)；(B∪C)°A=(B°A)∪(C°A)；性质4：O°A=A°O=O，I°A=A°I=A；性质5：A≤B，C≤DA°C≤B°D.O为零矩阵，I为n阶单位方阵.A≤Baij≤bij.7.关系三大特性的矩阵表示法设R为X={x1,x2,…,xn}上的关系，则其关系矩阵R=(rij)n×n为n阶方阵.(1)R具有自反性I≤R；(2)R具有对称性RT=R；(3)R具有传递性R2≤R.性质:若R具有自反性，则I≤R≤R2≤R3≤…下面证明：R具有传递性R2≤R.记R=(rij)n×n,R2=(rij(2))n×n.先设R具有传递性.若rij(2)=0，则有rij(2)≤rij.若rij(2)=1，则由于rij(2)=∨{(rik∧rkj)|1≤k≤n}=1，故存在1≤s≤n，使得(ris∧rsj)=1，即ris=1,rsj=1.由于R具有传递性，ris=1,rsj=1，则rij=1.综上所述R2≤R.再设R2≤R，则对任意的i,j,k，若有rij=1，rjk=1，即(rij∧rjk)=1，因此∨{(ris∧rsk)|1≤s≤n}=1，即rik(2)=1.由R2≤R，得rik=1，所以R具有传递性.8.集合上的等价关系定义13设X上的关系R具有自反性、对称性、传递性，则称R为X上的等价关系.若x与y有等价关系R，则记为xy.设R是X上的等价关系，xX.定义x的等价类：[x]R={y|yX，yx}.[x]R为集合X上的一个等价类.相似关系定义14设X是非空集，Xi是X的非空子集，若∪Xi=X，且Xi∩Xj=(ij)，则称集合族{Xi}是集合X的一个分类.定理集合X上的任一个等价关系R可以确定X的一个分类.即(1)任意xX，[x]R非空；(2)任意x,yX，若x与y没有关系R，则[x]R∩[y]R=；(3)X=∪[x]R.9.集合的分类下面给出上述定理的证明(1)由于R具有自反性，所以x∈[x]R，即[x]R非空.(2)假设[x]R∩[y]R,取z∈[x]R∩[y]R，则z与x有关系R，与y也有关系R.由于R具有对称性，所以x与z有关系R，z与y也有关系R.又由于R具有传递性，x与y也有关系R.这与题设矛盾.(3)略.例4设X={1,2,3,4},定义关系R1：xi＜xj；R2：xi+xj为偶数；R3：xi+xj=5.则关系R1是传递的，但不是自反的，也不是对称的；容易验证关系R2是X上的等价关系；关系R3是对称，但不是自反的和传递的.按关系R2可将X分为奇数和偶数两类，即X={1,3}∪{2,4}.按关系R3可将X分为两类，即X={1,4}∪{2,3}.四格定义15设在集合L中规定了两种运算∨与∧,并满足下列运算性质：幂等律：a∨a=a，a∧a=a；交换律：a∨b=b∨a，a∧b=b∧a；结合律：(a∨b)∨c=a∨(b∨c)，(a∧b)∧c=a∧(b∧c)；吸收律：a∨(a∧b)=a，a∧(a∨b)=a.则称L是一个格，记为(L,∨,∧).例如(R,≤)是一个格.定义16设(L,∨,∧)是一个格，如果它还满足下列运算性质：分配律：(a∨b)∧c=(a∧c)∨(b∧c),(a∧b)∨c=(a∨c)∧(b∨c).则称(L,∨,∧)为分配格.若格(L,∨,∧)满足：0-1律：在L中存在两个元素0与1，且a∨0=a，a∧0=0，a∨1=1，a∧1=a，则称(L,∨,∧)有最小元0与最大元1，此时又称(L,∨,∧)为完全格.例如(R∪{+∞,-∞},≤)是一个完全格.定义17若在具有最小元0与最大元1的分配格(L,∨,∧)中规定一种余运算c，满足：还原律：(ac)c=a；互余律：a∨ac=1，a∧ac=0，则称(L,∨,∧,c)为一个Boole代数.若在具有最小元0与最大元1的分配格(L,∨,∧)中规定一种余运算c，满足：还原律：(ac)c=a；对偶律：(a∨b)c=ac∧bc，(a∧b)c=ac∨bc，则称(L,∨,∧,c)为一个软代数.例5任一个集合A的幂集(A)是一个完全格.格中的最大元为A(全集)，最小元为(空集)，并且(J(A),∪,∩,c)既是一个Boole代数，也是一个软代数.例6记[0,1]上的全体有理数集为Q，则(Q,∨,∧)是一个完全格.格中的最大元为1，最小元为0.若在Q中定义余运算c为ac=1-a，则(Q,∨,∧,c)不是一个Boole代数,但是一个软代数.例7([a,b],≤,c)是一个完全格.也不是一个Boole代数，而是一个软代数.§1.3模糊子集及其运算一模糊子集与隶属函数定义1设U是论域，称映射A(x)：U→[0,1]确定了一个U上的模糊子集A，映射A(x)称为A的隶属函数，它表示x对A的隶属程度.使A(x)=0.5的点x称为A的过渡点，此点最具模糊性.当映射A(x)只取0或1时，模糊子集A就是经典子集，而A(x)就是它的特征函数.可见经典子集就是模糊子集的特殊情形.例1设论域U={x1(140),x2(150),x3(160),x4(170),x5(180),x6(190)}(单位：cm)表示人的身高，那么U上的一个模糊集“高个子”(A)的隶属函数A(x)可定义为140190140)(xxA100200100)(xxA也可用Za