步尚全+泛函分析基础习题答案提示

泛函分析基础1第四章赋范空间中的基本定理1.设p是赋范空间X上的次线性泛函，满足(0)0p，且在0处连续。求证：p是连续映射。证明：由p在0处连续，且满足(0)0p可得：0,0使得满足||x||||0||x的x都有||(x)(0)||||p(x)||pp。从而h满足||h||则||(h)||p任取0,xxX令zxhX，且满足||||||||zxh，由p是x的次线性泛函可以得到：(h)p(xh)p(x)p(x)p(h)p(x)p(h)p即||(xh)(h)||max{||p(h)||,||p(h)||}pp注意到||||,||||hh从而||(h)||,||p(h)||p即得到||(xh)(x)||pp即p在x处连续，由x的任意性可知，p处处连续，为连续映射。2.设X为线性空间，:pX使得任取,,xyX，有(xy)p(x)p(y),p(x)||p(x)p求证：p是X上的半范数证明：=0取，则由条件(x)||p(x)p得到(0)0p。由X是线性空间，其中存在零元和负元。任取,,0xxXx则有：0(0)p(xx)(x)p(x)p(x)p(x)2(x)ppp即(x)0p从而得证半范数的三个条件。即pX是上的半范数。3.设12,aa固定，考虑3的线性子空间31233{(x,x,x):x0}Z及Z上的线性泛函1231122(x,x,x)afxax。求出所有f到3上的线性泛函分析基础2延拓及其相应的线性泛函的范数。解：由线性我们自然想到，对于3x应该为线性的。由Hahn-banach定理可知：3*(),|Zggf。并且对于形如123112233(x,x,x)gaxaxax3a3123(a,a,a)的线性泛函满足题目的要求。其范数为：222123|||||a||a||a|g4.设X为赋范空间，M为X的线性子空间，0xX。求证：0xM当且仅当,|0,MfXf都有0(x)0f证明：：00nnxMxMxx使得，由于nxM|0Mf故1,(x)0nnf。fXf为连续映射0nxx则0(x)(x)nff从而0(x)0f：假设对于fX，|0Mf都有0(x)0f的情况下0xM则0()cxM注意到：M是X的闭线性子空间，M是X的真子集。令00=(x,)inf||x||0yMMy则由定理4.1.7：fX使得0||||1,|0,(x)0Mfff，又条件fX都有0(x)0f矛盾！从而假设不成立，0xM5.设X为可分赋范空间，求证：存在X单位球面的可数子集N，使得任取xX，有||||sup|f(x)|x。证明：X为可分赋范空间X存在至多可数的稠密子集。令稠密子集为123{x,x,x......}A设123{x,x,x......}=XA则nxA，,,,||||1nmnmfXf泛函分析基础31,sup|(x)|||x||mnmnnf。6.设X为赋范空间，*fX求证：(f)fXN为X的闭线性子空间证明：：fXf是X上的有界线性算子，且X为赋范空间根据推论2.4.1，()Nf是X的闭线性子空间。：()Nf是X的闭线性子空间。若||||0f，则fX显然。若||||0f对于:fX，{0}并且是的闭集，()Nf是X的闭线性子空间，即()Nf也为闭集。从而由定理1.2.6得：f是连续映射。再根据定理2.4.4：,X为赋范空间，*fX即:fX为线性的故有f是连续映射f是X上的有界线性算子。从而得证fX7.设X为赋范空间，M为X的非空子集。求证：若()spanMX则(){0}fMNf。证明：事实上由Hahn-Banach定理4.1.4可知：fX有()0fx则0x()XspanM()fspanM有()0fx则0x(),(),nnxspanMxspanMxxfM有()0fx则0x(){0}fMNf。另证：假设(){0}fMNf，即000,()fMxxNf。即00(),()00fspanMfxx，。另一方面，由于()spanMX，则,()nfXfspanM()nffn。从而对,()()nxXfxfx。注意到：()0nnfx所以000=()()0()nfxfxn即4.1.400,()00HahnBanachfXfxx这与假设矛盾！结论得证。8.设X为赋范空间，M为X的线性子空间。xX，求证：(,)sup{|()|:,||||1,|0}MxMfxfXff证明：M为X的线性子空间M为线性空间0()MspanMM，泛函分析基础400\0xXMx。令0({})ZspanMx定义gZ0()()||gzgyx其中00,=(,)inf||||yMyMxMxy，显然有,()0g|0MyMgy，00\,()xXMgx。即,(,)()xXxMgx0000,|()|||||inf||||inf||/||inf||y||||||yMyMyMzZgzxyxyxyxz从而||||1g。由Hahn-Banach定理：,|,||||||g||1ZfXfgf|0Mfg(,){|()|:fX,||f||1,f|0}MxMfx9.考虑0c的线性子空间01{{}:0}2nnnnxMxc。求证：任取xMx在M中无最佳逼近元。10.设X为赋范空间，M为X的线性子空间，令{:|0}MMfXf。若12,MM为X的闭线性子空间，且12MM。求证：12MM。11.设赋范空间X中包含n个线性无关的元素，求证：X也包含至少n个线性无关的元素。12.设M为赋范空间X的非空子集，求证：M在X中为完全集在M上恒为0的fX在X上也恒为0.13.设,XY为赋范空间，*(,),T(,)TBXYBYX为其共轭算子。求证：*()()RTNT。14.设(,)Xd为度量空间。求证：MX为无处稠密子集当且仅当()cM为X的稠密子集。15.证明：非空完备度量空间的第一范畴子集的余集必为第二范畴子集。16.设nx为赋范空间X中的一列元，任给fX，()nfx都是纯量有界列。求证：{}nx为有界列。泛函分析基础517.设X为Banach空间，Y为赋范空间，(,)nTBXY为一列有界线性算子，设任取xX，{}nTx都是中的柯西列，求证：存在常数0C，使得任取1n，||||CnT。18.在上题中又设Y为Banach空间，求证：存在(,)TBXY，使得任取xX，nTxTx，且1||||sup||||nnTT。19.设X为Banach空间，Y为赋范空间，(,)nTBXY为一列有界线性算子。证明下述命题相互等价：存在0C,||||CnT;任取xX，{}nTx为Y中的有界列；任取,,{()}nxXfYfTx为纯量有界列。20.设X为赋范空间，,nxxX，nx弱收敛到x。求证：{:1}nxspanxn。21.设X为赋范空间，,nxxX，nx弱收敛到x。求证：ny为123,,,......xxx的线性组合，使得nyx。22.设,0,1nxxC，nx弱收敛到x。求证：{}nx点点收敛到x。即任取[0,1]t，有()()nxtxt23.设,XY为赋范空间。(,)TBXY，,nxxX，nx弱收敛到x。求证：nTx弱收敛到Tx。24.设X为赋范空间，,,,nnxyxyX，,n，假设nx弱收敛到x，ny弱收敛到y，n。求证：nnxy弱收敛到xy，nnx弱收敛到x。25.设X为可分Banach空间，MX为有界集。证明：M中任意序列均有子列弱星收敛到X中某元。26.设,XY为赋范空间，:TXY为闭线性算子，求证：()NT为X的闭线性子空间；泛函分析基础6若T为一一映射，则1:TYX也为闭线性算子。T将X的紧集映射到Y的闭集。Y中的紧集通过T的逆象为X的闭集。27.设H为Hilbert空间，:AHH为线性算子，满足,,AxyxAy，,xyH求证：()ABH28.设X为Banach空间，12,XX为X的闭线性子空间。假设任取xX，存在唯一的1122,xXxX，使得12xxx。求证：存在0a，使得112||||||||xaxx，212||||||||xaxx，11xX，22xX29.设,XY为赋范空间，:TXY为线性算子。求证：T为闭算子当且仅当任取nxX，0,nnxTxy，都有0y。