抛物线的简单几何性质

一、复习回顾：.1物线，则这个点的轨迹是抛是常数的距离的比线的距离和它到一条定直与一个定点动点elFMl.FMd.1.le定点F是抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线，常数＝是抛物线的离心率xOyK－－抛物线标准方程0p是焦准距22ypx1、抛物线的定义：标准方程图形焦点准线)0(22ppxy)0(22ppyxxyoF.xyFo)0,2(pF.yxoF2px)2,0(pFxoyF2py)0(22ppxy)0,2(pF2px)0(22ppyx)2,0(pF2py2、抛物线的标准方程：3、椭圆和双曲线的性质：方程性质)0(12222babyax)0,0(12222babyax图形范围bybaxa,Ryaxax,或对称性轴及原点对称关于yx,轴及原点对称关于yx,顶点坐标),0(),,0()0,(),0,(2121bBbBaAaA)0,(),0,(21aAaA叫短轴叫长轴2121,BBAA叫虚轴叫实轴2121,BBAA离心率)10(,eace)1(,eace结合抛物线y2=2px(p0)的标准方程和图形,探索其的几何性质:(1)范围(2)对称性(3)顶点类比探索x≥0,y∈R关于x轴对称,对称轴又叫抛物线的轴.抛物线和它的轴的交点.二、讲授新课：.yxoF(4)离心率(5)焦半径(6)通径e=1通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的通径。|PF|=x0+p/2xOyFP通径的长度：2P方程图形范围对称性顶点焦半径焦点弦的长度y2=2px（p＞0）y2=-2px（p＞0）x2=2py（p＞0）x2=-2py（p＞0）lFyxOlFyxOlFyxOx≥0y∈Rx≤0y∈Rx∈Ry≥0y≤0x∈RlFyxO12pxx12()pxx12pyy12()pyy02px02px02py02py关于x轴对称关于x轴对称关于y轴对称关于y轴对称（0,0）（0,0）（0,0）（0,0）特点：1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无限延伸,但它没有渐近线;2.抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线;4.抛物线的离心率是确定的e=1;5.抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响.P越大,开口越开阔---本质是成比例地放大！例1.顶点在坐标原点,对称轴是坐标轴,并且过点M(2,)的抛物线有几条,求它的标准方程.22当焦点在x[或y]轴上,开口方向不定时,设为y2=mx(m≠0)[或x2=my(m≠0)],可避免讨论！三、例题选讲：思考：斜率为1的直线l经过抛物线24yx的焦点F,且与抛物线相交于AB、两点,求线段AB的长.解这题,你有什么方法呢?法一:直接求两点坐标,计算弦长(运算量一般较大);法二:设而不求,运用韦达定理,计算弦长(运算量一般);联立用韦达定理解得X^2-6X+1=0X1+X2=6X1X2=1弦长公式：/AB/=根号1+K^2*/X1-X2/=8法三:设而不求,数形结合,活用定义,运用韦达定理,计算弦长.X^2-6X+1=0X1+X2=6X1X2=1/AB/=X1+X2+P=8法四:纯几何计算,这也是一种较好的思维.一般地,题目改为:倾斜角为的直线经过抛物线22ypx(0)p的焦点,与抛物线相交于AB、,求,(1)求|AB|;(2)求|AB|的最小值.22sinpAB思考：通径是抛物线的焦点弦中最短的弦吗？问题(接上一节的思考):倾斜角为的直线经过抛物线22ypx(0)p的焦点,与抛物线相交于AB、,求线段AB的长.解本题,可尝试用的方法有:法一:设而不求,运用韦达定理,计算弦长;法二:设而不求,数形结合,运用定义转化,计算弦长.法三:纯几何计算,这也是一种较好的思维.继续解:设1122(,),(,)AxyBxy22(,)xy问题:倾斜角为的直线经过抛物线22ypx(0)p的焦点,与抛物线相交于AB、,求线段AB的长.由2cot22pxyypx消去x并整理得222cot0ypyp11(,)xy∴122cotyyp,212yyp221212()()ABxxyy=2212(1cot)()yy∵焦点(,0)2pF,直线AB的倾斜角为∴直线AB的方程为cot2pxy=221212(1cot)()4yyyy=22sinp与直线的倾斜角无关!很奇怪!11(,)xy11(,)xy解完后回味一下,这是一个很好的解题习惯,利于提高!问题:倾斜角为的直线经过抛物线22ypx(0)p的焦点,与抛物线相交于AB、,求线段AB的长.解:设1122(,),(,)AxyBxy,焦点(,0)2pF11(,)xy22(,)xyMN由抛物线定义可知,FAMAFBNB准线:2plx,分别过点A、B作l的垂线,垂足分别为M、N.∴ABFAFB=12xxp∵直线AB的方程为cot2pxy由2cot22pxyypx消去y并整理得222(2cot)0xppxp∴AB=2222cot2sinppp问题:倾斜角为的直线经过抛物线22ypx(0)p的焦点,与抛物线相交于AB、,求线段AB的长.MN解:如图记焦点F,准线l,分别过点A、B作l的垂线,垂足分别为M、N.由抛物线定义可知,FAMAFBNB过点A作x轴的垂线,垂足为E.E在△AFE中cosEFAF.记x轴与准线l的交点为K,则KFp∴FA=cosMAKEpFA∴1cospFA同理1cospFB,∴221cos1cossinpppABKQ返回MNK发现一个结论:过抛物线22(0)ypxp的焦点的一条直线和抛物线相交,两个交点的纵坐标为12yy、,则212yyp.这一结论非常奇妙,变中有不变,动中有不动.几何解释,就是2MKNKKF思考:“一条直线和抛物线22(0)ypxp相交,两个交点的纵坐标为12yy、,且212yyp.则这条直线过焦点.”成立吗?继续大胆猜想刚才发现的结论的逆命题是否成立?已知直线l和抛物线22(0)ypxp相交,两个交点的纵坐标为12yy、,且212yyp,求证:直线l过焦点(,0)2pF.太漂亮了!大胆猜想:过定点(,0)Pa(a0)的一条直线和抛物线22(0)ypxp相交,两个交点的纵坐标为12yy、,求证:12yy是定值.关于过焦点弦还有一条性质,请大家思考:思考:过抛物线焦点F的直线交抛物线于AB、两点,通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点,D求证:直线DB平行于抛物线的对称轴.坐标法是一种非常好的证明,你还有没有其他好方法呢?本题几何法也是一个极佳的思维!作业:AB、是抛物线22(0)ypxp上的两点,满足OAOB(O为坐标原点).求证:⑴AB、两点的横坐标之积,纵坐标之积分别为定值;⑵直线AB经过一个定点.答案:下一张设A（x1,y1），B（x2,y2），中点P（x0,y0）⑴1212,OAOByykkxx∵OA⊥OB∴kOAkOB=-1∴x1x2+y1y2=0∵y12=2px1，y22=2px2∴221212022yyyypp∵y1≠0，y2≠0∴y1y2=-4p2∴x1x2=4p2⑵∵y12=2px1,y22=2px2∴（y1-y2）(y1+y2)=2p(x1-x2)∴1212122yypxxyy∴122ABpkyy∴直线AB：11122()pyyxxyy∴11121222pxpxyyyyyy∴21112121222ypxyypxyyyyy∵2211122,4ypxyyp∴2121224pxpyyyyy∴122(2)pyxpyy∴AB过定点（2p,0）.lFAxyBB1pp1211222(0)(,)(,)ypxpFAxyBxy00如图所示，弦AB过抛物线的焦点，设、，弦AB的中点为P(x,y).11BP11111111111从点A、B、P分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为A、、，依据抛物线的定义，|AF|=|AA|,|BF|=|BB|所以|AB|=|AF|+|BF|=|AA|+|BB|,又PP是梯形AABB的中位线，所以|AA|+|BB|=2|PP|.因此，我们容易得到A1二、抛物线的焦点弦：120(1)||2(2)ABxxpxpAB以为直径的圆必与准线相切另外，将直线方程与抛物线方程联立方程组，我们还可以推得以下结论：22(1)||.sinPAB若直线的倾斜角为，则2212(2),.4ABpyyp12、两点间的横坐标之积，纵坐标之积均为定值，即xx(4)所有的焦点弦中，通径是最短的.12(3)||,||,.AFmBFnmnp1设则lFAxyBB1pp1A1通径就是过焦点且垂直于x轴的线段长为2p即为的最小值22||sinPAB抛物线的焦点弦的如下性质:(2,3)5Fy1、求焦点为，准线方程为的抛物线方程..FxOyP是抛物线上任意一点解：设),(yxP则由抛物线的定义知：的距离的距离等于到直线到5yFP|5|)3()2(22yyx即)4(4)2(2yx化简得：222(3)1yxxy4、抛物线和圆上最近两点间的距离为？.FxOyPCQAQP与圆上任意一点抛物线上任意一点分析：如图，||||PAPQ圆心最小值时，连线必经过||PQ)0,3(),,(CyxP设22)3(||yxPC)0(952xxx211||25minPCx时，当1211||minPQ22,,(1)(2)yxOAOBABABx5、过抛物线的顶点作互相垂直的二弦求中点的轨迹方程；证明与轴的交点为定值..FxOyBAM:,OAlykx解：(1)设xkylOB1:则xykxy22联立22,2kxkyAAxyxky212联立22,2kxkyBB22ABABxxxyyykkkk11222)1(2kk22xy轨迹方程：22,,(1)(2)yxOAOBABABx5、过抛物线的顶点作互相垂直的二弦求中点的轨迹方程；证明与轴的交点为定值.bkxylyxByxAAB:).,(),.(22211）设（xybkxy22联立0)22(222bxkbxk2221kbxxkbyy221同理02121yyxxOBOA由kbkbkb20222即kkxylAB2:)0,2(轴交点与x.FxOyBAM6、已知直线l：x=2p与抛物线=2px(p0)交于A、B两点，求证：OA⊥OB.2y证明：由题意得，A(2p,2p),B(2p,-2p)所以=1，=-1因此OA⊥OBOAKOBKxyOy2=2pxABL:x=2pC(2p,0)变式1:若直线l过定点(2p,0)且与抛物线=2px(p0)交于A、B两点，求证：OA⊥OB.2yxyOy2=2pxABlP(2p,0)2:22lxmypypx设代如得22240ypmyp....................1122,,AxyBxy设、变式2：若直线l与抛物线=2px(p0)交于A、B两点，且OA⊥OB，则__________.2y直线l过定点(2p,0)xyOy2=2pxABlP2:2lxmyaypx设代如得2220ypmypa1122,,AxyBxy设、22121212222yyyypaxxpp又、212xxa....................2019年12月24日星期二直线和抛物线的位置关系一、复习回顾：直线与圆、椭圆、双曲线的位置关系的判断方法：1