平面向量基本定理

一般地,实数与向量的积是一个向量,记作:aa(1)(2)当时,的方向与的方向相同;当时,的方向与的方向相同;(3)当时,或时,||||||;aa000aaaa0a一、数乘的定义：它的长度和方向规定如下:二、数乘的运算律：(2)第一分配律:(1)结合律:(3)第二分配律:()()aa()aaa()abab0a1.定理:向量与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数,使得.abab三、向量共线的充要条件：2).证明三点共线:直线AB∥直线CDAB=λCDAB∥CD利用向量共线定理，能方便地证明几何中的三点共线和两直线平行问题.但要注意的是:向量平行和直线平行在重合概念上有区别.一般说两直线平行不包含两直线重合,而两向量平行则含两向量重合.2.定理的应用：1).证明向量共线3).证明两直线平行:AB与CD不在同一直线上又B为公共点A,B,C三点共线AB∥BCAB=λBC探究1讨论探究探究2.212121之间的关系，与不共线，探究向量与是同一平面内任一向量共起点，向量，与向量向量eeaeeaeea.2121之间的关系，与量内的任一向量，探究向是这一平面个向量，向量同一平面内不共线的两，向量eeaaee知识点一平面向量基本定理1e2ea分解平移共同起点1e1ea2eOABOBOAa11eOA22eOB2211eea2ea1．平面向量基本定理(1)定理：如果向量是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数λ1，λ2，使得.(2)基底：不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．21ee,a2211eea21,ee2.定理说明（1）基底不共线，零向量不能做基底.21ee、（2）定理中向量是任一向量，实数唯一.a21与（3）叫做向量关于基底的分解式.2211eea21,ee(4)基底给定时,分解形式唯一.典例精析典例精析思路分析：要判断，能否作为基底，只需看，是否共线，若共线，则不能作为基底；否则可以作为基底．基底的概念cdcd试判断不共线，且，若向量,,badbacba232【例1】.能否作为基底与向量dc胜利彼岸)(ee作为基底的下面的四组向量中不能量的一组基底，则所有向是表示平面内，若跟踪练习21.D.33.C6423B..A212122112212121eeeeeeeeeeeeeee和和和和典例精析典例精析思路分析：画出平行四边形，以作为基底，利用向量加法的三角形或平行四边形法则转化表示．用基底表示向量【例2】在▱ABCD中，设AC→＝，BD→＝，试用，表示AB→，BC→.abab胜利彼岸,ab._______,//,,.的值为则实数且向量的一组基底，若向量是表示平面内所有向量，设向量变式训练baeebeeaee2121212..,,,.上一定在直线并且满足上式的点的分解式为关于基底，使得存在实数求证：直线上任意一点外一点，是直线上任意两点，点是直线，已知点例lPOBOAtOPOBOAOPtPlolBA)(}{31平面向量基本定理的应用典例精析典例精析胜利彼岸思路分析：以基底为出发点，应用平面向量基本定理结合向量共线，推证结论.课本P97例2BOPA),OBOAOPABPt（的中点，则是点令2121OPAB巩固练习巩固练习1．已知平行四边形ABCD，下列各组向量中，是该平面内所有向量基底的是()A.AB→，DC→B.AD→，BC→C.AD→，CB→D.AB→，DA→._______________;),,,,3.则（若的重心，设为已知RbaAGbACaABABCG._______,,.122123642eeeBCeABABCDo则的中心，是平行四边形若点拓展反馈拓展反馈3.如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若AD→＝xAB→＋yAC→，则x＝_______，y＝______.2.已知向量e1、e2不共线，实数x、y满足(3x－4y)e1＋(2x－3y)e2＝6e1＋3e2，则x－y＝________.1.下面三种说法：①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底；②一个平面内有无数多对不共线向量可作该平面所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量，其中正确的说法是()A．①②B．②③C．①③D．①②③知识点二、向量的夹角与垂直:OABba两个非零向量和,作，,则abAOB叫做向量和的夹角．OAaOBbab夹角的范围：00180,0180与反向abOABab记作ab90与垂直，abOABab注意:两向量必须是同起点的0与同向abOABab特别的：例2.在等边三角形中，求(1)AB与AC的夹角；(2)AB与BC的夹角。ABC60'C01201.平面向量基本定理2.平面向量基本定理的应用3.向量的夹角与垂直4.转化思想方法及其应用向量的正交分解12112212,,eeeeee　　一个平面向量用一组基底表示成ａ的形式，我们称它为向量的分解。当互相垂直时，就称为向量的正交分解。在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底时，会为我们研究问题带来方便2.3.2平面向量正交分解及坐标表示平面向量的坐标表示Oxy平面内的任一向量,有且只有一对实数x,y,使成立aaxiyj则称（x，y）是向量的坐标aji如图,在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴正方向同向的两个单位向量作基底.ij、记作：(,)axy（1）与相等的向量的坐标均为（x,y)aa注意：a(4)如图以原点O为起点作，点A的位置被唯一确定.aOAaOxy1212abxxyy且平面向量的坐标表示aaji(x,y)A此时点A的坐标即为的坐标a（5）区别点的坐标和向量坐标相等向量的坐标是相同的,但起点、终点的坐标可以不同(2)0(1,0)0(0,1)0(0,0)iijjij（1）与相等的向量的坐标均为（x,y)a注意：（3）两个向量相等的等价条件：1122(,),(,)axybxy(6)22axy例1．如图，用基底，分别表示向量并求它们的坐标．解：由图可知1223aAAAAij(2,3)a　同理，23(2,3)bij23(2,3)cij23(2,3)dij平面向量的坐标表示,,,abcdjiA1AA2yxO1abcdij?D,B,A,,jiCD,jiCB,jiAB,j,i.三点共线为何值时那么当实数若是两个不共线向量已知例23322