浅析“复合二次根式”的化简

浅析“复合二次根式”的化简江苏省盐城市刘顿所谓的“复合二次根式”就是指二次根式里面套二次根式，即形如AmB，本来二次根式问题就够棘手的，现在又在根号下套根号，如此复杂的问题，如何化简？事实上，此类问题还是有规律可循的.下面我们先给出公式，再给出证明，最后举例说明.1.公式：AmB＝222AAmB±222AAmB.2.证明：不妨设x＝AmB+AmB＞0，两边平方，得x2＝2A+22AmB，两边再开平方，得x＝2222AAmB，即AmB+AmB＝2222AAmB…①；同理，得AmB－AmB＝2222AAmB…②.由①+②，得AmB＝222AAmB+222AAmB，由①－②，得AmB＝222AAmB－222AAmB.3.应用：设3819的整数部分为x，小数部分为y，试求x+y+1y的值.分析要求这个代数式的值的关键是要能先求出x与y的值，而已知则是一个复合二次根式，此时得先化简这个复合二次根式，于是，可以运用公式化简，确定其整数和小数部分，进而求解.解在3819中，A＝19，m＝8，B＝3，所以由公式，得3819＝221919832－221919832＝4－3，因为1＜3＜4，即1＜3＜2，所以4－3＝2+(2－3)，即x＝2，y＝2－3，所以x＝2，y＝2－3时，x+y+1y＝2+2－3+123＝4－3+2+3＝6.通过上面对公式的运用，显然，当A2－B恰为一完全平方式时，公式可使含有复合二次根式的代数式化为只含有一重根式的代数式.下面一道题目供同学们自己练习：化简：2322+17122.答案：1.点拨：322＝2－1，即2322＝22－2，17122＝3－22.