浅析中学数学中柯西不等式的应用（3）

浅析中学数学中柯西不等式的应用（3）2.4柯西不等式在解析几何中的应用对于柯西不等式不仅在平面和立体几何中有应用，同时也在解析几何中发挥了作用。例1设抛物线22(0)ypxp的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于,AB两点，点C在抛物线的准线上，且//BCx轴。证明直线AC经过原点O.分析：xyOABC图2-3如图所示，欲证直线AC经过原点O，只须证,,AOC三点共线即可。因为AB是抛物线的焦点弦，可知,AB两点纵坐标之积为2p，故可设2(2,2)Aptpt，2(,)82ppBtt.据题意不难得出(,0),(,)222pppFCt，从而20(2,2),Aptpt(,),22ppOCt24OAtOC，因此,,AOC三点共线。2.5柯西不等式在解其它题方面的应用柯西不等式在整个不等式证明求解当中都起了很大的作用，它与我们的其它知识相结之后，就变得更加灵活，使解题增加了难度。例1设123,,aaa是正实数数列，对所有的1n满足条件21njjan，证明对所有1n，有21111(1)42njjan证明：先证一个更一般的命题：设12,,naaa和12,,nbbb都是正数，且12nbbb（2-1）若对所有1,2,,kn，11kkjjjjba（2-2）则有2211kkjjjjba（2-3）事实上，设10nb，由（2-1）和（2-2）可得111111()()nknkkkjkkjkjkjbbbbba改变求和次序得1111()()nnnnjkkjkkjkjjkjbbbabb由此可得211nnjjjjjbab由柯西不等式，有222111()nnnjjjjjijabab所以22221111()()nnnnjjjjjjjjjbabab即2211nnjjjjba令11(1,2,,)1jbjjjnjj则22211111111(1)42(1)(2)nnnjjjjanjjj例2试问：当且仅当实数01,,,(2)nxxxn满足什么条件时，存在实数01,,,nyyy，使得2222012nzzzz成立，其中222kkkzxiy，i为虚数单位，0,1,,kn.证明你的结论。分析：将2222012nzzzz成立转换到实数范围内求解。根据表达式的特点，结合柯西不等式寻找(1,2,,)ixin的范围解：将2222012nzzzz转化到实数范围内，即0022201101nnkkkknkkkxxyyxyxy（2-4）若存在实数01,,,nyyy使（2-4）成立，则022201()nkkkxyxy由柯西不等式可得02222011()()nnkkkkxyxy（2-5）如果0221nkkxx，由（2-4）可得2201nkkyy，从而02222011()()nnkkkkxyxy与（2-5）矛盾，于是得2201nkkxx（2-6）反之，若（2-6）成立，有两种情况①201nkkxx，则取kkyx，1,2,,kn，显然（2-4）成立②201nkkxx，则2210nkokaxx，则12,,nxxx不全为0。不妨设0nx，取0ky，0,1,,2kn，有11222211,nnnnnnnnaxaxyyxxxx.易知（2-4）成立。综上，所求的条件为201nkkxx2.6柯西不等式的变形推广的数学中的应用首先我们先来看这两个定理。由柯西不等式易得：定理1设,(1,2,,)iiabRin，则22111()niniiniiiiaabb（2-7）将定理1加以推广，有定理2设,(1,2,,)iiabRin，,,mkNnk，则1111()/()mnnnkmmkiiikiiiianabb（2-8）首先证明如下的引理设(1,2,,1,2,,)ijaRinjm，1,1,2,,nijjiaAjm，则12121nmmiiimmiaaaAAA（2-9）证明：；由算术——几何平均值不等式得111/(/)(1,2,,)mmmijjijjjjaAaAinm所以11111(/)mnnmijmijjiijjjaaAmA，此即（2-9）式。定理2的证明：11nin，由引理得11111(1)()()mnnnnmkkmiiikiiiiiabab此即（2-8）式。应用定理2，可以简捷地解决一些较难的数学问题。例1（1987年CMO集训队试题）设,,abcR，求证：555333abcabcbcacab（2-10）证明：因222abcabbcca，由定理1有4442222222()abcabcabcbccaabbccaab此即（2-10）式。例2设,,abcR，求证：2222223()bcaabcabc证明：由均值不等式得322323222,2,2acaacbababcbcbc，故3332222222()abcabbccaabbcca即222222()()3()abcabcabbcca.又由柯西不等式知22223()()abcabc，故2223()abcabc又由定理1，得原式左＝44422222222222222222()3()()()abcabcabcacbacbbccaababcabc原式右例3(第26届IMO预选题)已知,,abc为正数，*,2abcsnN，求证：212()3nnnnnabcsbccaab证明：由定理2得nnnabcbccaab2()3(222)nnabcabc212()3nns