浅析排列组合的经典十二问

1浅析排列组合的经典十二问楚雄东兴中学冯显林在现行高中新课标人教版《选修2-3》第一章《计数原理》中安排学习排列组合知识；排列组合知识，既是高中数学的重点也是高中数学的难点，更是今后进一步学习“二项式定理”及“随机变量及其分布”的基础，因此学好排列组合显得尤为重要。本文将从以下几类典型的问题入手，探寻解题方法，供同学们参考，给同学们借鉴，让同学们从中受到启发，最终帮助同学们突破难点，度过难关，提升学习效率。以下具体说明。一、元素不受限可重复排列问题-------“分步乘法计数原理”[例1]、有5个班级选3个风景区旅游，的不同的选法是53还是35？分析：关键词是：班级选风景区；因此，1班有3种不同的选法，2班有3种不同的选法，3班有3种不同的选法，4班有3种不同的选法，5班有3种不同的选法；依据分步计数原理知，符合题意的选法有3×3×3×3×3=53种。点评：这是一个元素不受限且可重复排列问题，即5个班可同时选一个，两个，或者三个风景区旅游不受任何限制。二、特殊元素或特殊位置问题（受限问题）-------“优先法”[例2]、要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6门课各一节的课程表，要求数学课排在前3节，英语课不排在第6节，则不同的排法种数为。（以数字作答）分析：首先应注意几个关键词：数学课排在前3节，英语课不排在第6节，所以英语、数学两门课程受限，是特殊元素，因此应优先考虑。以下将英语课分成两类：（1）当英语课排在前3节时，有13A种排法，此时数学课有12A种排法，而余下4门课全排列，有44A种排法，由分步计数原理知，共有114324144AAA种排法；（2）当英语课排在第4节或第5节时，有12A种排法，此时数学课有13A种排法，而余下4门课全排列，有44A种排法，由分步计数原理知，共有114234144AAA种排法；由分类计数原理知，共有144+144=288种不同的排法。点评：对于排列问题中有特殊元素（受限元素）时应优先考虑特殊元素。[例3]、用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有（）（A）288个（B）240个（C）144个（D）126个分析：首先应注意几个关键词：没有重复数字、比20000大、五位、偶数；因为有偶数所以末位（个位）数字最为特殊，应优先考虑其次比20000大，所以首位也特殊；（1）当0在末位时，万位可排2、3、4、5之一，有14A种排法，而其余各位有34A种排法，由分步计数原理知，共有134496AA种排法；（2）当2或4在末位时，有12A种排法，万位有13A种排法，而其余各位有34A种排法，由分步计数原理知，共有113234144AAA种排法；2由分类计数原理知，共有96+144=240种不同的排法。所以选(B)点评：对于排数问题一般情况下，首位和末位（个位）通常是两个比较特殊的位置，需要优先考虑。三、相邻（小团体）问题-------“捆绑法”[例4]、有4名女生，3名男生站成一排，女生必须相邻，男生必须相邻，一共有多少种不同的站法？分析：首先应注意几个关键词：女生必须相邻、男生必须相邻；第一步先把4名女生作为一个整体，看成一个元素；3名男生作为一个整体，看成一个元素，两个元素排成一排共有22A种排法；第二步女生内部有44A种排法，男生内部有33A种排法；由分步计数原理知，符合题意的排法共有243243288AAA种。点评：一般地，n个不同元素排成一排，其中k个元素相邻，的排法是：先将k个元素“捆绑在一起”暂时看成一个元素与其他()nk元素一起排列，共有11nknkA种排法；然后再将捆绑在一起的k个元素进行内部全排列有kkA种排法，由分步乘法计数原理得：符合条件的排列一共有11nkknkkAA种。这种解决问题的策略也可看成是先整体后局部。四、不邻（间隔）问题-------“插空法”[例5]、将8名学生站成一排照相，其中甲，乙，丙三名同学不相邻，且不站排头，问有多少种不同的站法？分析：首先应注意几个关键词：不相邻、不站排头；第一步先将除甲，乙，丙三名同学外的其他5名同学排成一排，共有55A种排法；第二步由于甲，乙，丙三名同学不相邻，且不站排头（注意排尾可以站），所以共有5个空可以插入甲，乙，丙三名同学，共有35A种排法；由分步计数原理知，符合题意的排法共有53557200AA种。点评：一般地，n个不同元素排成一排，其中k()knk个元素互不相邻，的排法是：先将()nk个元素排成一排，共有nknkA种排法，然后将k个元素插入(1)nk个空隙中，共有1knkA种排法，由分步乘法计数原理得：符合条件的排列一共有1nkknknkAA种。五、多排问题-------“单排法”[例6]、将6个不同元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是。分析：前后两排可以看成一排的两段，因此本题可以看成是6个不同元素排成一排的全排列，即共有66A=720种。点评：一般地，把n个不同元素排成几排的问题，可以归结为把n个不同元素排成一排考虑，共有nnA种排法，即多排问题单排处理。3[例7]、有8人将参加一圆桌会议，8把椅子，问他们的座位共有多少种不同安排的方法？分析：将8个人用A、B、C、D、E、F、G、H这8个点表示，如[图1]；于是这个问题可以看成是8个人排成一排后，再将他们首尾相接，因此我们可以用“剪刀”从点A、B、C、D、E、F、G、H，8个点中的任意相邻两点的空格处“剪开”，从而将“环排问题”转化为“直排问题”[如图2]；于是这8个点的排法有88A种，同时这种“剪法”一共有8种，又因8种“剪法”的效果等同，所以他们的座位的不同安排的方法有888A种。点评：一般地，将n个不同元素排在一个圆桌上，它们的不同位置的排法一共有nnAn种。即，“环排问题”转化为“直排处理”。六、定序问题-------“缩倍法”[例8]、将6个人排成一排，要求甲要排在乙的左边，乙要排在丙点左边（甲，乙，丙可以不相邻），共有多少种排法？分析：首先应注意几个关键词：甲要排在乙的左边、乙要排在丙点左边、（甲，乙，丙可以不相邻）；6个人排成一排共有66A种排法；定序元素甲，乙，丙的排列数为33A，因此符合题意的排法共有6633120AA种。点评：一般地，在n个不同元素的排成中，有k个不同的元素定序时，其排法种数为：nnkkAA，即符合条件的排法为，所有元素的全排列除以的定序元素的全排列；七、相同元素分配问题-------“隔板法”[例9]、将12个相同的小球放进4个不同的盒子里，每个盒子至少有一个球，问有多少种方法？分析：首先应注意几个关键词：相同的小球、不同的盒子、每个盒子至少有一个球；先将12个相同的小球排成一排后，在相邻的两个小球之间有一个空，则一共有11个空，然后在这11个空中插入3块挡板（由于每个盒子至少有一个球，所有两端不能放挡板，于是3块挡板就相当于形成四个盒子）[如图3]，所示，所以不同方法共有311C种。点评：一般地，将n相同元素的分配到k个盒子中的问题，可以先将要分配的n个元素排成一排，再在这些元素之间的(1)n个空格中，插上(1)k个板子（注意两端不能放板子，以保证盒子不空），其中这(1)k个板子就相当于构造了k个盒子。从而将n个相同图2BCDEFGHA图1ACEFGBHD图34元素放入了k个盒子中的放法数为11knC种。八、交叉问题（多面手问题）-------“图示法”[例10]、某公司有9名翻译，其中6人懂英语，4人懂日语，从中选拔5人参加外事活动，要求3人担任英语翻译，2人担任日语翻译，一共有有多少种不同的选拔方法？分析：因为有9名翻译，其中6人懂英语，4人懂日语，则必有1人既会英语又会日语（以下称为多面手），[如图4]所示，仅懂英语的有5人，仅懂日语的有3人；（1）在选出的5人中“多面手”未入选有3253CC种，（2）在选出的5人中“多面手”入选；入选后，若“多面手”担任英语翻译有22531CC；若“多面手”担任日语翻译有13351CC；由分类计数原理知，共有3253CC+22531CC+13351CC=90种不同的排法。点评：解决交叉问题的关键就是“合理分类，准确分步”；准确地将交叉元素进行分类处理，九、分组问题-------“先分堆，后乘除”（一）平均分组问题，“要看有无分配对象”在平均分组问题中，要看是否有分配对象。若没有分配对象，则不管它们的顺序。[例11]、有6本不同的书，按下列要求分配，有多少种不同的分法？（1）分给甲、乙、丙三人，每人2本；（2）平均分成三份；。分析：（1）第一步从先6本不同的书任取2本分给甲的方法，有26C种；第二步在从余下4本书中取2本分给乙的方法，有24C；第三步，最后将剩余2本分给丙的方法，有22C，由分步计数原理知，符合题意的分法共有26C·24C·22C=90种。分析：（2）平均分成3份，共有2226423315CCCA种。点评：第（1）小题是有分配对象的平均分组问题；，而第（2）小题是没有分配对象的平均分组问题；二者的区别在于；有分配对象时还要乘以组数的全排列，从而约去分母。一般地，把nm个不同元素平均分成m组（每组n个元素）；若仅是分组，没有分配对象，则有(1)(2)nnnnnmnmnmnmmCCCCA种分法；把nm个不同元素平均分成m组后，若还有分配对象，则有(1)(2)nnnnnmnmnmnmmmmCCCCAA=(1)(2)nnnnnmnmnmnCCCC种分法。（二）非平均分组问题，“要看是否定向”[例12]、有6本不同的书，按下列要求分配，有多少种不同的分法？（1）分给甲、乙、丙三人，甲一本，乙2本，丙3本；315图45（2）分成3份，一份1本，一份2本，一份3本；（3）分给甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本，一人3本。分析：（1）先从6本书中任选1本给甲，有16C种方法；再从余下5本中任选2本给乙有，25C种方法；最后将剩余的3本给丙，有33C种方法；依据分步计数原理知，符合题意的分法共有16C·25C·33C=60种。（2）先从6本书中任选1本作为一份，有16C种方法；再从余下5本中任选2本作为一份，有25C种方法；最后将剩余的3本作为一份，有33C种方法；依据分步计数原理知，符合题意的分法共有16C·25C·33C=60种。（3）由（2）的结论将6本不同的书分成3份；一份1本，一份2本，一份3本；的方法共有16C·25C·33C种，但由于甲、乙、丙三人谁得一本，谁得二本，谁得三本并没有确定，即归属不定向，所以还要针甲、乙、丙三人进行33A的全排列，依据分步计数原理知，符合题意的分法共有16C·25C·33C·33A=360种。点评：在非平均分组问题中，关键要看是定向分组还是非定向分组；如本题（1）是定向非平均分组问题，且无分配对象；（2）是定向非平均分组问题，且有分配对象；然而它们的结果相同，这说明：在非平均分组问题中，若是定向分组问题，则不管是否给出分配对象，其分组方法种数相同；（3）是不定向非平均分组问题，则要管是否给出分配对象，当给出分配对象时，还要乘以组数的全排列。（三）部分平均分组问题[例13]、有6本不同的书，按下列要求分配，有多少种不同的分法？（1）分给4人，甲、乙各得1本，丙、丁各得2本；（2）分成4份，两份各1本，两份各2本。分析：（1）先从6本书中任选1本给甲，有16C种方法；再从余下5本中任选1本给乙有，15C种方法；再从余下的4本中选2本给丙，有24C种方法；最后将剩余2本给丁，有22C种；依据分步计数原理知，符合题意的分法共有16C·15C·24C·22C=180种。（2）先将6本不同的书分成1本、1本、2本、2本的四堆，由于两个1本与两个2本是无区别（没有顺序）的，因此，所求的分法种数为112265422222CCCCAA=45种。点评：（1）是有分配对象的部分平均分组问题，而（2）是没有分配对象的部分平均分