时间序列分析讲义2011研究777

时间序列分析讲义山西财经大学统计学院孟勇本学期讲授的主要内容第一部分差分方程和滞后算子第二部分平稳ARMA过程及预测第三部分谱分析第四部分协方差-平稳向量过程第五部分向量自回归第六部分卡尔曼滤波第七部分协整第八部分异方差时间序列模型第九部分马尔科夫机制转换模型参考教材：1.J.Hamilton.TimeSeriesAnalysis.Princeton:PrincetonUniversityPress,1994.2.P.Brockwell.,andR.Davis.TimeSeries:TheoryandMethods.Secondedition.NewYork:Springer-Verlag,1991.3.W.Enders.AppliedEconometricTimeSeries.NewYork:Wiley,1995.4.H.White.AsymptoticTheoryforEconometricians.NewYork:AcademicPress,1984.教学计划：36学时第一部分时间序列建模思想本课主要在于为分析依次连续观察到的数据提供必要的工具。由于数据和新生成量不再独立，标准的推论技巧需要进一步细化才能发挥作用。这就需要考虑估计量和检验统计量的渐近特征。理论上解决相关问题的可行方法取决于产生新生变量的机制，该机制可以将观察出的非独立变量分解成独立的新生成量。这种机制即通常所说的时间序列模型。时间序列分析根据对系统观测得到的时间序列数据通过曲线拟合和参数估计或谱分析等来建立系统的统计模型的理论和方法。它的理论基础是数理统计学。时间序列建模分为时域建模和频域建模两类，一般采用时域建模，需要分析系统的频率特性时则采用频域建模。最简单地理解，时域就是和时间相关联的范围，频域就是与频率相关的范畴，频域是时域的倒数，时域分析是直接在时域中对系统进行分析的方法，它描述统计函数和时间的关系。时域分析的横轴是时间，纵轴是系统或函数的变化。频域分析就是分析系统的频率特点。简单地讲，频域就是在一个时间点上观察一个系统的各个侧面。对任何一个事物的描述都需要从多个方面进行，每一方面的描述仅为我们认识这个事物提供部分的信息。例如，眼前有一辆汽车，我可以这样描述它的颜色，长度，高度以及排量、品牌、价格等。频域分析，横轴也就是自变量是频率，纵轴是统计函数或系统频率的变化幅度。对时间序列进行分析时，即使统计函数的时域参数相同，并不能说时间序列性质就是相同的，因为时间序列不仅随时间变化，它还与频率、相图等有关系。所以在做时间序列的时域分析时，还需要作频域分析。时域建模采用曲线拟合和参数估计的方法（如最小二乘法等），频域建模采用谱分析的方法。时间序列建模主要决定于被观测序列的性质、可用观测值的数目和模型的使用情况等三个因素。时间序列建模的时域建模步骤是：①用观测、调查、统计、抽样等方法取得被观测系统的时间序列数据。②根据时间序列数据作相关图，进行相关分析，求自相关函数。相关图能显示出变化的趋势和周期，并能发现跳点和拐点。跳点是指与其他数据不一致的观测值。如果跳点是正确的观测值,则在建模时应考虑进去,如果是反常现象，应把跳点调整到期望值。拐点则是指时间序列从上升趋势突然变为下降趋势的点。如果存在拐点，则在建模时必须用不同的模型去分段拟合该时间序列。③辨识合适的随机模型,进行曲线拟合,即用通用随机模型去拟合时间序列的观测数据。对于短的或简单的时间序列，可用趋势模型和季节模型加上误差来进行拟合。对于平稳时间序列可用通用线性随机模型（自回归联合滑动平均模型）及其特殊情况的自回归模型、滑动平均模型。混合自回归滑动平均模型等来进行拟合。当观测值多于50个时一般都采用通用模型。对于非平稳时间序列则要先将观测到的时间序列进行差分运算，化为平稳时间序列，再用适当的随机模型去拟合这个差分序列。④估计模型参数。可用最小二乘法等方法，必要时可叠加上专门设计的误差项。⑤灵敏度分析和模型结构变化分析。当时间序列发生变化时，可用贝叶斯方法对模型结构变化进行分析。第二部分差分模型引言差分方程反映的是关于离散变量的取值与变化规律。通过建立一个或几个离散变量取值所满足的平衡关系，从而建立差分方程。差分方程就是针对要解决的目标，引入系统或过程中的离散变量，根据实际背景的规律、性质、平衡关系，建立离散变量所满足的平衡关系等式，从而建立差分方程。通过求出和分析方程的解，或者分析得到方程解的特别性质（平衡性、稳定性、渐近性、振动性、周期性等），从而把握这个离散变量的变化过程的规律，进一步再结合其他分析，得到原问题的解。应用：差分方程模型有着广泛的应用。实际上，连续变量可以用离散变量来近似和逼近，从而微分方程模型就可以近似于某个差分方程模型。差分方程模型有着非常广泛的实际背景。在经济金融保险领域、生物种群的数量结构规律分析、疾病和病虫害的控制与防治、遗传规律的研究等许许多多的方面都有着非常重要的作用。可以这样讲，只要牵涉到关于变量的规律、性质，就可以适当地用差分方程模型来表现与分析求解。差分方程建模：在实际建立差分方程模型时，往往要将变化过程进行划分，划分成若干时段，根据要解决问题的目标，对每个时段引入相应的变量或向量，然后通过适当假设，根据事物系统的实际变化规律和数量相互关系，建立每两个相邻时段或几个相邻时段或者相隔某几个时段的量之间的变化规律和运算关系（即用相应设定的变量进行四则运算或基本初等函数运算或取最运算等）等式（可以多个并且应当充分全面反映所有可能的关系），从而建立起差分方程。或者对事物系统进行划分，划分成若干子系统，在每个子系统中引入恰当的变量或向量，然后分析建立起子过程间的这种量的关系等式，从而建立起差分方程。在这里，过程时段或子系统的划分方式是非常非常重要的，应当结合已有的信息和分析条件，从多种可选方式中挑选易于分析、针对性强的划分，同时，对划分后的时段或子过程，引入哪些变量或向量都是至关重要的，要仔细分析、选择，尽量扩大对过程或系统的数量感知范围，包括对已有的、已知的若干量进行结合运算、取最运算等处理方式，目的是建立起简洁、深刻、易于求解分析的差分方程。在后面我们所举的实际例子中，这方面的内容应当重点体会。差分方程模型作为一种重要的数学模型，对它的应用也应当遵从一般的数学建模的理论与方法原则。同时注意与其它数学模型方法结合起来使用，因为一方面建立差分方程模型所用的数量、等式关系的建立都需要其他的数学分析方式来进行；另一方面，由差分方程获得的结果有可以进一步进行优化分析、满意度分析、分类分析、相关分析等等。我们介绍的主要内容是一阶和P阶差分方程及其矩阵和算子表示形式。差分方程就是表示一个变量与其前期值之间关系的一种模式。它是研究随着时间顺序发生的事件的原因及结果。一阶差分方程的形式是：1tttyy1.1.1P阶差分方程的形式是：1122...tttptptyyyy1.1.2如果把它写成矩阵的形式就是：1tttF1.1.3其中是其他变量。经济金融问题的研究离不开时间序列数据，而时间序列模型的建立与求解在很多情况下都用到了差分方程。我们举一个股票市场的例子。第一个例子，股价模型令tP表示股票价格，tD表示红利。假设投资者在时期t买进股票，在时期1t卖出股票，投资者将得到红利收益/ttDP和资本利得收益1/tttPPP。那么投资者的总收益就是：11//ttttttrPPPDP1.1.4我们来考虑一个简化的模型，也就是假设不同时期的收益率是不变的股市模型：1//tttttrPPPDP将模型作一简单变换：1(1)tttPrPD这个形式的方程就是一阶差分方程。这里1ttyP，1r，ttD。经过反复迭代，模型变为：112100121(1)(1)(1)(1).....(1)tttttttPrPrDrDrDrDD这就是一个很典型的利用差分方程研究股市的模型。第二个例子，商业贷款还款模型设现有一笔p万元的商业贷款，如果贷款期是n年，年利率是1r，今采用月还款的方式逐月偿还，建立数学模型计算每月的还款数是多少？模型分析：在整个还款过程中，每月还款数是固定的，而待还款数是变化的，找出这个变量的变化规律是解决问题的关键。模型假设：设贷款后第k个月后的欠款数是kA元，月还款为m元，月贷款利息为121rr。模型建立：关于离散变量kA，考虑差分关系有：mArAAkkk1，即：mArAkk)1(1这里已知有：0,100000240AA模型求解：令1kkkAAB，则111)1()1(kkkrBrBBkkBBBAA...210])1(...)1(1[110krrBA,...2,1,0],1)1[()1(0krrmrAkk这就是差分方程（3.15）的解。把已知数据rA,0代入012nA中，可以求出月还款额m。例如：2,0052125.0,100000nrA时，可以求出：356.444m元。模型的进一步拓广分析：拓广分析包括条件的改变、目标的改变、某些特殊结果等。如果令AAk，则rmA，并且当rmA0时，总有rmAk，即表明：每月只还上了利息。只有当rmA0时，欠款余额逐步减少，并最终还上贷款。第三个例子，养老保险模型问题：养老保险是保险中的一种重要险种，保险公司将提供不同的保险方案供以选择，分析保险品种的实际投资价值。也就是说，分析如果已知所交保费和保险收入，按年或按月计算实际的利率是多少？也就是说，保险公司需要用你的保费实际获得至少多少利润才能保证兑现你的保险收益？模型举例分析：假设每月交费200元至60岁开始领取养老金，男子若25岁起投保，届时养老金每月2282元；如35岁起保，届时月养老金1056元；试求出保险公司为了兑现保险责任，每月至少应有多少投资收益率？这也就是投保人的实际收益率。模型假设：这应当是一个过程分析模型问题。过程的结果在条件一定时是确定的。整个过程可以按月进行划分，因为交费是按月进行的。假设投保人到第k月止所交保费及收益的累计总额为kF，每月收益率为r，用qp、分别表示60岁之前和之后每月交费数和领取数，N表示停交保险费的月份，M表示停领养老金的月份。模型建立：在整个过程中，离散变量kF的变化规律满足：MNkqrFFNkprFFkkkk,...,,)1(1,...,1,0,)1(11，在这里kF实际上表示从保险人开始交纳保险费以后，保险人帐户上的资金数值，我们关心的是，在第M个月时，MF能否为非负数？如果为正，则表明保险公司获得收益；如为负数，则表明保险公司出现亏损。当为零时，表明保险公司最后一无所有，表明所有的收益全归保险人，把它作为保险人的实际收益。从这个分析来看，引入变量kF，很好地刻画了整个过程中资金的变化关系，特别是引入收益率r，虽然它不是我们所求的保险人的收益率，但是从问题系统环境中来看，必然要考虑引入另一对象：保险公司的经营效益，以此作为整个过程中各种量变化的表现基础。模型计算：以25岁起保为例。假设男性平均寿命为75岁，则有600,420;2282,20MNqp，初始值为00F，我们可以得到：MNkrrqrFFNkrrprFFNkNkNkkkk,...,1],1)1[()1(`,..,2,1,0],1)1[()1(0在上面两式中，分别取,Nk和Mk并利用0MF可以求出：0)1)(1()1(pqrpqrNMM利用数学软件或利用牛顿法通过变成求出方程的跟为：00485.0r同样方法可以求出：35岁和45岁起保所获得的月利率分别为00413.0,00461.0rr第四个例子，宏观经济的例子：这个例子是戈德费尔得（1973）估计的美国货币需求函数，该模型是公众持有真实货币量的对数（tm）关于真是总收入的对数（tI）、银行帐户利率的对数（btr）