时频分析的基本性质

2.3.2时频分布的基本性质构造一个合适的时频分布函数是时频分析的是主要内容。此函数需要满足两个要求。其一，可以在一定的时间和频率范围内估计信号的能量百分比；其二，可以在一定的时间和频率范围内估计信号的其他特征参量。然而，并不是所以得时间-频率联合函数都能满足以上要求。只有符合以下的基本要求的时间-频率联合函数才能作为有效的时频分布。也就是说,时频分布函数具有以下的基本性质。假设信号x(t)的频谱函数和时频分布函数分别X(w)和P(t,w)。1.能量特性由能量守恒定律可得，信号的能量不应的计算方法的不同而改变。则信号x(t)的能量与时频分布函数P(t,w)的总能量应该相等，即E=∬𝑃(𝑡,𝑤)𝑑𝑤𝑑𝑡=∫|𝑥(𝑡)|2𝑑𝑡=∫|X(w)|2𝑑𝑤(2.2)若一个时间-频率联合函数，其他方面都符合描述非平稳信号的要求，但并不符合此性质，实际应用中也可作为可用的时频分布函数。2.边缘特性理想情况下，某一特定时刻，时频分布函数P(t,w)对频率的积分等于信号在该时刻的能量密度即瞬时功率；而某一特定频率，时频分布函数P(t,w)对时间的积分等于信号的能量谱密度，即∫𝑃(t,w)dw=|𝑥(𝑡))|2(2.3)∫𝑃(t,w)dt=|𝑋(𝑤)|2(2.4)需要指出的是，边缘特性是理想情况的一个性质。在实际的应用之中，一个合理的时频分布不一定严格具备这个性质。此外，可以观察到，若P(t,w)具有边缘特性就一定具有能量特性，反之，则不一定成立。3.平移不变性（1）时移不变性假设信号x(t)在时间上产生了一个位移𝑡0，记为x(t−𝑡0)。那么x(t−𝑡0)对应的时频分布为P(t−𝑡0,w)。简记为：x(t)→P(t,w)⟹x(t−𝑡0)→P(t−𝑡0,w)（2.5）（2）频移不变性假设信号频谱X(w)在频谱上产生了一个位移𝑤0，记为X(w−𝑤0)。那么X(w−𝑤0)对应的时频分布为P(t,w−𝑤0)。简记为：X(w)→P(t,w)⟹X(w−𝑤0)→P(t,w−𝑤0)（2.6）4.线性尺度变换假设信号𝑥𝑎(𝑡)和频谱𝑋𝑎(𝑤)为信号x(t)和频谱X(w)的尺度变换。信号被放大还是缩小取决于a的大小。变换结果可表示为xa(t)=√ax(at)(2.7)𝑋𝑎(𝑤)=1√𝑎𝑋(𝑤𝑎)(2.8)由此可知，若信号被扩展，那么频谱就被压缩；反之若信号被压缩，那么频谱就被扩展。时频分布函数也具有线性尺度变换。假设𝑃𝑎(𝑡,𝑤)为P(t,w)的尺度变换。𝑃𝑎(𝑡,𝑤)可表示为𝑃𝑎(𝑡,𝑤)=𝑃(𝑎𝑡,𝑤/𝑎)(2.9)值得注意的是，若P(t,w)具有边缘特性，则尺度变换也具有边缘特性，即∫𝑃𝑎(t,w)dw=|𝑥𝑎(𝑡))|2=𝑎|𝑥(𝑎𝑡)|2(2.10)∫𝑃𝑎(t,w)dt=|𝑋𝑎(𝑤)|2=1𝑎|𝑋(𝑤𝑎)|2(2.11)5.有限支撑性Cohen指出有限支撑性是时频分布的一个基本性质。在实际的工程应用中进行信号处理时,信号的时宽和频宽一般都是有限的。若信号x(t)在特定的时间区间内有非零值,则称信号x(t)是有限支撑的。同理，若信号的频谱X(w)也只在特定频率区间有非零值,则称频谱X(w)是有限支撑的。由此，可以得出，时频分布的有限支撑性的含义为：在信号x(t)和频谱X(w)的总支撑区间之外,信号的时频分布P(t,w))等于零。时频分布的有限支撑性可分为弱有限支撑性和强有限支撑性两种。弱有限支撑性指的是信号的定义域与时频分布的定义域相同。即t∉(𝑡1,𝑡2),𝑥(𝑡)=0⟹t∉(𝑡1,𝑡2),𝑃(𝑡,𝑤)=0(2.12)w∉(𝑤1,𝑤2),𝑋(𝑤)=0⟹w∉(𝑤1,𝑤2),𝑃(𝑡,𝑤)=0(2.13)强有限支撑性指的是在任何时刻和任何频点，如果信号或者频谱为零，则时频分布函数为零。即∃𝑡0,𝑥(𝑡0)=0⟹𝑃(𝑡0,𝑤)=0(2.14)∃𝑤0,𝑋(𝑤0)=0⟹𝑃(𝑡,𝑤0)=0(2.15)其实，时频分布除了这些一般性质外，还有需要具备一些简单的性质，如时频分布必须是时函数，取值是非负的等。当然还有一些比较复杂的性质，如整体平均，局部平均等，限于篇幅等原因就不在此一一赘述了。