浅析矩阵pade逼近在模型降阶中的应用

浅析矩阵pade型逼近在模型降阶中的应用刘永（上海大学，理学院，上海200444）摘要：本文通过探讨构造矩阵pade型逼近的行列式公式方法，将矩阵pade型逼近应用于频率域高阶的多变量输入输出的线性系统.在简化系统规模的同时，很好的保持了系统的性能.关键词：矩阵pade型逼近；线性系统；行列式公式SimplyAnalyzetheApplicationsofMatrixPadeTypeApproximationtoModelReductionLIU-YONG(CollegeofScience，ShanghaiUniversity,Shanghai200444,China)Abstract：Bydiscussingthedeterminantformulaofmatrixpadeapproximation.Thisarticleappliedthematrixpadeapproximationtothelinearsystemsofhighorderfrequencydomainandinputtingandoutputtingofmultivariable.Thismethodsimplifiedthescaleofthesystems,simultaneously,thenatureofthissystemswerepreservedperfectly.Keywords:Matrixpadeapproximation；Linearsystems；Determinantformula1引言大系统是控制系统领域里一个新兴的分支，它是近年来随着控制理论在工程和社会系统的应用日趋深入而发展起来的.当前对大系统的研究面临着一个非常棘手的问题：由于高阶次带来的数值问题，随着阶次的线性增加使计算量将以3次方或4次方关系增加.这就给计算带来了挑战.现在一般的处理方法是将大系统进行简化处理，把系统问题控制在我们能够计算的范围之内，而简化后的模型又不改变原系统的性态.YuriDolgin在[137]中研究了交换系统的模型简化问题,Zhuang在[138]中讨论了矩阵pade型逼近与控制系统模型简化的问题，给出了几种算法.本文探讨的就是简化后系统的计算问题，讨论了一种模型简化方法:矩阵pade型简化算法.文章利用矩阵pade型逼近的思想来计算大系统简化后的模型，所研究的对象为频率域高阶的多变量输入多变量输出的线性系统.2矩阵pade型逼近的行列式公式下面考虑矩阵pade型逼近逼近的行列式公式[3]构造方法，设rlijijCbBaA，，矩阵A和矩阵B的直接内积定义为lirjijijbaBABA11，.(1)由矩阵pade型逼近的误差公式知xzxvzvznmzFnmmF1~11.~221111zvxzxvvzvznmnmnmm(2)这里，，tsiiiCzCzFi0CzvzAzAAnmmmF~10.已知生成多项式zv由1n个系数组成，如果将生成多项式变为zv原幂级数的pade逼近是不变的，所以我们只需求出n个系数即可，为此令1,001kkxvxknm，.(3)即nikinmikkCb011,,00，.(4)用1nmC并假设它不等于零与上式作内积得0011niikinmnmbCC，.(5)将nnzbzbzbbzv2210与(5)式联合得0001121012113102111121011nmnmnmnmmnmmnmnmnmnmnmmnmnmnmnmnmCCbCCbCCCCbCCbCCCCbCCbCC，，，，，，，，，.(6)由上面的分析这里我们令1nb以确保zv是n次多项式.从(6)中我们能很方便的解出1-n10b，，，bb.然后再按照下式miiiiiiniiizAzCzb0000.(7)解出012110101101000CbCbCbACbCbACbAmmmm.(8)至此我们已经求出了Fnm的分子和分母，下面将利用(6)和(8)计算简化后的模型.3多变量线性系统的模型简化对一个多变量定常线性系统，设它的状态空间的表达式为tCxtytButAxtx.(9)其中x是k维的状态向量，u是r维的控制向量，y是l维的输出向量.对应的，该系统在频域内的表达式为BAsICsGsUsGsY1.(10)其中sG是rl阶的传递函数矩阵，可以表示成下列形式kkkkseseesDsDDsG101110.(11)其中1-k10，，，iDi是rl阶的常量矩阵，kiei,,1,0是常量.接下来我们将sG写成下列幂级数的形式2210sCsCCsG.(12)其中,1,0iCi是rl阶常量矩阵，并且由下列关系式给出，，，2111100000iCeDeCDeCijjjiii.(13)这里01C且0iDki.我们的目地就是要找到一个阶数相对较低的函数nnnnnssbsbbsAsAAsR11101110去逼近sG.这里1,1,0niAi是rl阶常量矩阵.1,,1,0nibi是常量.设sR是sG的一个nn1矩阵pade逼近，那么利用上面的结论我们很容易看出有下面的关系式成立000012011010010120100011000012110101101000bCCbCCCCbCCbCCCCbCCbCCCCCbCbCbACbCbACbAnnnnnnnnnnnn，，，，，，，，，.(14)这样以来我们就通过矩阵pade型逼近的方法构造了多变量定常线性系统的简化模型，这种简化模型能有效的计算传递函数矩阵.4数值实验考虑下列系统(Chen[6])10010886647.1338354.110077.212400010044.120.8510898.1951501007.196.14sssssssssssssG将sG展成幂级数形式332210sCsCsCCsG根据(13)计算得99.101985893.4227.71500721.10C869.82131759.383.543794683.01C946.64002414.2639.407566919.02C091.4932425.1231.305404439.03C由于sG的分子中最高次项是二次的，故我们寻找sG的G21矩阵pade逼近sR，由(14)知：3012001020110000CCCC，，，，，，CbCbCCCbCbCC和01101000CbCbACbA解得283381.463385.402.112248.472611393.85156.22245.93725.331418622.166726.4sssssssR下面进行模型验证作出sG和sR中第二个元素的图像其中实线表示sG的第二个元素，虚线表示sR的第二个元素，由图像可以看出它们的图像几乎重合，这说明逼近效果很好.5结论本文的目地是对一个多变量定常线性系统的传递函数矩阵进行计算，但由于这个传递函数的规模较大，所以我们就想着把它进行简化，最终通过将其展开成幂级数的形式再构造它的低维矩阵pade逼近进行各种问题的分析，使得原问题得到解决.利用矩阵pade逼近的思想，可以简化大规模系统的计算，这种简化能得到较好的结果，其实这种思想源于矩阵pade逼近的核心实质—对于含有极点的函数pade逼近是最好的选择.基于这种思想我们还可以构造其它类型的矩阵pade逼近，例如，选取以原函数的极点为极点的生成多项式构造矩阵pade逼近.目前这种方法还非常有效但并不是对于所有类似的问题它都能解决，有些问题我们进行简化后并不能保持它的稳定性，这就还需要我们进行不断的探索.6参考文献[1]王仁宏，数值逼近[M].北京:高等教育出版社，1999:173-219.[2]蒋正新，施国梁，矩阵理论及其应用[M].北京:北京航空学院出版社，198:823一85.[3]吴忠强，现代控制理论[M].北京:中国标准出版社，2002:1一57.[4]YuriDolgin，EzraZeheb，OnRouth-padeModelReductionofIntervalSystems[J].IEEE.Trans.Automat.Control，2003，48(9):1610-1612.[5]ZhuangGuozhong，MatrixPadeTypeApproximationsandModelReductionofMulti-variableControlSystems[J].ControlTheoryandApplications,1993，10(4):451一456.[6]徐献瑜，李家楷，徐国良，pade逼近概论[M].上海:上海科技出版社，1990:1一132.[7]涂序彦，王极，郭燕慧，大系统控制论[M].北京:北京邮电大学出版社，2005:1-59.[8]顾传青，基于广义逆的矩阵Pade逼近[J].计算数学，1997，19(1):l9-28.[9]AriokaS，Pade-TypeApproximationinMultivariable[J].Appl.Numer.Math,1987，3:497-511.[10]顾传青，一种新型的矩阵pade逼近方法[J].自然杂志，2002，24(1):41一44.