明德第五章留数

1第五章留数及其应用5.1孤立奇点5.2留数5.3留数在定积分计算中的应用第一节孤立奇点孤立奇点的概念以及分类函数的零点与极点的关系函数在无穷远点的性态(一)孤立奇点的概念定义1如果函数0z)(zf在不解析,但)(zf在0z的某一去心邻域00zz内处处解析,则称0z)(zf为的孤立奇点.例1是函数zzezsin,1的孤立奇点.1z是函数11z的孤立奇点.11sin例2：的奇点？fzz0z?试问z=0是否是孤立奇点即在0z的不论怎样小的去心邻域内,说明:10,(1,2,)zzkk解：函数的奇点为1lim0kk因为，,()0fzz总有的奇点存在所以不是孤立奇点()()2若函数有有限多个奇点，则它们全都是的孤立奇点。fzfz(1)孤立奇点一定是奇点,但奇点不一定是孤立奇点.内解析在圆环域00)(zzzf()对应的洛朗展开式存在。fz的一个孤立奇点，为若)(0zfz()fz00()nnnCzz01()nnnCzz根据主要部分中负幂项的多少，对孤立奇点分类：)(0zz(二)孤立奇点的分类可去奇点：极点：本性奇点：孤立奇点不包含负幂项有限多个负幂项无穷多个负幂项()fz00()nnnCzz01()nnnCzz1．可去奇点00    ,    .如果洛朗级数中不含的负幂项那么孤立奇点称为的可去奇点zfzzzf(z)=c0+c1(zz0)+...+cn(zz0)n+....:0)(0内的洛朗展开式在zzzfF(z)00000,,在z点解析，且zzFzfzFzzzFzc0000lim()lim()F,zzzzfzFzzc00000,nnnfzczzfzczz在内0000()()lim()zzzfzzfzfzc若为函数的孤立奇点，是的可去奇点结论：则总结:可去奇点的判定方法00()li2,m():判断极限:若极限存在且为有限值则为的可去奇点。zzzfzfz00)1:(()由定义判断如果在z的洛朗级数无负幂项则为的可去奇点。ffzzzsin()1zfzz函数的奇点是什么？什例：试问么类型？24sin1113!5z.!,0中不含负幂项是的可去奇点zzzz0sin1lim另解：也可得是可去奇点。zzz1000001()[()()]()1(),()mmmmmfzcczzczzzzgzzz2.极点1210102010010()()()()()(1,0)mmmmmfzczzczzczzczzcczzmc即有如果洛朗级数中只有有限多个的负幂项其中关于的最高幂为0100()(),,mzzzzzz那么孤立奇点称为函数的级极点0m.zfz说明:210201()()()mmmgzcczzczz00()0zzgz1.在内是解析函数2.特点:()()(),()mfzgzgzzz012反过来如果其中满足上面两条，能推出什么呢？结论0000()()1()()()()0.()mzfzmfzfzgzgzzgzzz是的级极点可的表示为在的形式，其中解析，0zfzm是的级极点总结:极点的判定方法其中在的邻域内解析,且)(zg0z.0)(0zg(1)由定义判别(2)由定义的等价形式判别(3)利用极限)(lim0zfzz判断（缺点此方法无法判断级数）.0.()fzzz的洛朗展开式中含有的负幂项为有限项00()()()mgzfzzzz在点的某去心邻域内例2有理分式函数,)2(23)(2zzzzf是级极点,0z2z是级极点.21课堂练习2101.?zezz问是的几级极点112!3!zz解0221!11nnznzzze所以0z不是二级极点,而是一级极点.注意:不能以函数的表面形式作出结论.3.本性奇点00,.zfzzz如果洛朗级数中含有无穷多个的负幂项那么孤立奇称为的本性奇点,!1!211211nzznzze)0(z含有无穷多个z的负幂项0l.:im()zzfz特点在本性奇点的邻域内不存在且不为z所以0为本性奇点10zez在内的罗朗展式是什么？试问:综上所述:孤立奇点可去奇点m级极点本性奇点洛朗级数特点)(lim0zfzz存在且为有限值不存在且不为无负幂项含无穷多个负幂项含有限个负幂项10)(zzmzz)(0关于的最高幂为1()zfz是的级零点。0()zfz是的级零点。1.m级零点的定义(三)、函数的零点与极点的关系00000()()()()()()()0,().mfzzfzzzgzmgzzgzzfzm若不恒等于零的解析函数在的邻域内能表示成为正整数其中在解析且则称为的级零点问题：例:3)1()(zzzf函数一三()()sin,0fzfzzzz复杂的函数如：是多少级零点如何判定？证明：解析在0)(zzf的泰勒展开式存在，在0)(zzf000)(00)(!)()()(nnnnnnzznzfzzczf,0110mccc,0mcmzz)(0)()(0zgzzm00()()0mgzzgzc在解析，])([01zzccmm论。级零点的定义，得到结根据m)(zf1010)()(mmmmzzczzc2.零点的判定()()000,()0,(0,1,2,1)()0nmfzzfznmfz若在点解析0zfzm为的级零点30()sinzfzzz例：是函数的几级零点？0)0(f的零点。是)(0zfz解：)0('f]cos[sinzzz0|z0)0(''f]sincos[coszzzz0|z0级零点。的是)(0zfz二3.零点与极点的关系定理如果0z是)(zf的m级极点,那么0z就是)(1zf的m级零点.反过来也成立.例子:1z二级极点1z二级零点的孤立奇点？函数2)1(1z的零点？函数2)1(z问题:对于一般的函数是否有类似的结论?说明此定理为判断函数的极点提供了一个较为简便的方法.0()zfzm总结：若是极点，级数的判定方法：（1）定义00()0fzzzz计算在的去心邻域内的洛朗展开式m若其中含有负幂项，且负幂项次数最高为（3）根据零点与极点间的关系..)(级零点的是mzfz101sin4,,.z例函数有些什么奇点如果是极点指出它的级0001(2)()()()()0()mfzzzzzzz若其中在解析，??:m级数类型？如果是极点，其下列函数的孤立奇点练习4cosz11)()fzz解孤立奇点为.0z4cosz1()fzz241(1),(2)!nnnzn0().zfz是的二级极点内的洛朗级数的去心邻域在zzzf00)(2401(-11)2!nnnzzn解:izizz321,,0孤立奇点22112)()()zzzf22)1(1)(zzzf01z分析点)0(1z22)1(1z0)1(10)1(1022122zzzz处解析，在1的一级极点。是221)1(10zzz四、函数在无穷远点的性态1.定义及分类(,)().fzzRzfz如果函数在无穷远点的去心邻域内解析则称点为的孤立奇点Rxyo分析：1tz令，(),fzRz0()ttm若是函数的可去奇点、级极点或本性奇点，()zfzm那么就称点是函数的可去奇点、级极点或本性奇点.1()()=,tffzt10.tR判别法1(利用洛朗级数)2.判别方法()fzRz由于函数在内解析，所以可以展开成洛朗级数：10()nnnnnnfzCzCz010()nnnnnntCtCCt1tz()(1)():fzRzzzfz不含正幂项，则是如果在内的的洛朗级数中可去奇点；(2)()mzzzfzm含有的有限多的正幂项，且为最高正幂项，则是的级极点；(3)()zzfz含有无穷多的正幂项，则是的本性奇点.判别法2:(利用极限特点)1;lim())()))2;3.;zfzzfzm如果极限存在且为有限值那末是的可去奇点无穷大是级极点不存在且不为无穷大是本性奇点说明:对无穷孤立奇点来说，它的各类型与洛朗级数中系数之间的关系跟有限孤立奇点一样，不过把正幂项与负幂项的作用互相对调了.1()23sinzfzzfzzzfzz例:试问z=是下列函数的什么类型的孤立奇点？11课堂练习1).(zfzze说出函数的奇点及其类型.0,是本性奇点是一级极点zz答案3002():0,fzDzzR设在内解析则DR2cCfzdz12iC0z0100()()1():(0,1,2,)2().nnnnncfzczzfcdnizcDz其中是内绕的任何一条简单闭曲线§5.2留数留数的定义有限点留数定理及留数的求法无穷远点的留数0()fzz在处的留数为：定义0000Czzzz为的去心邻域内包围的任意一条正向简单闭曲线.1()d2Cfzzi一、有限远处孤立奇点的留数定义说明:函数在有限孤立奇点的留数为罗朗展开式中负一次幂前面的系数.1=cDc0z0Res[(),]=fzz12D,,,,CD.nfzzzz函数在区域内除有限个孤立奇点外处处解析是内包围各奇点的一条正向简单闭曲线1z2z.nzDC.如图：()?Cfzdz.)(1nkCkdzzfCdzzf)(1(),].2iRes[nkkfzz根据复合闭路定理，1z2z.nzDC..1c2cnc.]),(Res[2)(1nkkCzzfidzzf即围绕起来，的正向简单闭曲线用互不包含内的孤立奇点把在kkCnkzC),2,1(如图：二、留数定理及留数的求法说明:将沿闭曲线C积分问题转化为被积函数在C内各孤立奇点处的留数计算.1.留数定理.]),(Res[2d)(1nkkCzzfizzf)(zf在区域D内除有限个孤nzzz,,,21外处处解析,立奇点函数C是D内包围各奇点的一条正向简单闭曲线,那么如何计算留数?2.留数的计算方法(1)如果0z为)(zf的在有限远处的可去奇点,.0]),(Res[0zzf则成洛朗级数求.1c(2)如果0z为的本性奇点,)(zf)(zf展开则需将①若能求出洛朗展式,则负一次幂前的系数即为留数②若能提前知道孤立奇点的类型,则可以按照以下规则求:0010011dRes[(),]lim[()()].(:? 1d!,)mmmzzzfzmfzzzzfzmz规则如果为的级极点那么0(3)(,)zfz如果为的极点除利用洛朗级数求留数外还有如下计算规则:证2020)()()(zzczzczfmm)()(010101zzcczzc101010)()()()(mmmmzzczzcczfzz10100)()(mmzzczzc0010011dRes[(),]lim[()(:m)].(1)!,dmmmzzfzzzzfzmzfzz规则如果为的级极点那么1,m两边求阶导数,)!1()]()[(ddlim10110cmzfzzzmmmzz10]),(Res[czzf所以+(含有正幂的项)0zz1)!1(cm)].()[(ddlim)!1(