浅谈二次函数在高中阶段的应用3

毕业设计（论文）题目：浅谈二次函数在高中阶段的应用院系：数学与信息科学系专业：数学与应用数学班级：2005级1班姓名：豆国兴学号：2005053006指导教师：张英伟2009年5月22日I浅谈二次函数在高中阶段的应用【摘要】二次函数的概念问题是最基础问题，二次函数解析式的应用、二次函数单调性、图像和最值问题是二次函数应用的基本问题，分析了二次函数与函数的相关的一些典型例题。【关键词】二次函数应用IIQuadraticfunctionoftheapplicationinthehighschoolstage【Abstract】Theconceptofquadraticfunctionisthemostbasicproblems,aquadraticfunctionoftheapplicationofanalytical,quadraticfunctionmonotonicity,thevalueofimagesandtheproblemistheapplicationofaquadraticfunctionofthebasicissues,analysisofthequadraticfunctionwiththefunctionofanumberofrelatedtypicalexample.【KeyWords】QuadraticfunctionApplyIII目录1引言..................................................................12二次函数的概念理解....................................................12.1二次函数的定义及理解................................................12.2二次函数解析式......................................................22.3二次函数的一些性质..................................................23二次函数的运用........................................................33.1二次函数解析式的运用................................................43.2单调性、图像和最值问题的应用........................................43.3二次函数在方程方面的应用............................................6结论...................................................................8参考文献...............................................................8致谢..................................................................9石家庄学院毕业论文1引言二次函数作为高考的重点及其难点始终是高中教学的重点，而且二次函数在连接其它知识方面有着至关重要的作用，二次函数的应用充分的体现了数学思维，因此对于二次函数的应用的研究对于高中阶段教学有重要的意义。2二次函数的概念理解2.1二次函数的定义及理解一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：2yaxbxc（a，b，c为常数，0a，且a决定函数的开口方向，a0时，开口方向向上，a0时，开口方向向下,a还可以决定开口大小,a越大开口就越小a越小开口就越大.）二次函数表达式的右边通常为二次三项式。与二次函数在初中阶段理解的不同，高中阶段的二次函数在集合和映射的基础之上进行认识理解的，主要以映射的知识重新认识了函数的定义二次函数是从一个集合A（定义域）到集合B（值域）上的映射:fAB使得集合B中的元素2yaxbxc(0a)与集合A的元素X对应，记作：2fxaxbxc（0a），这里面的这里ax2+bx+c表示对应法则，又表示定义域中的元素X在值域中的象，从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识。从映射上理解了函数的话可以出一下例题加深理解：例题1已知2321fxxx，求2fx在这里不能将2fx理解为2xx时函数值，只能理解为自变量为x+2的函数值。例题2设2221fxxx，求fx。[1]这个问题理解为已知对应法则下，定义域中元素x+2象是221xx，求定义域中中元素X的象，其本质是求对应法则。一般有两种方法：（1）把所给表达式表示成x+2的多项式。222212(2)9(2)11fxxxxx在用x=x+2得22911fxxx，（2）变量代换：这种方法可以通用，可以使用一般的函数17II令2tx，则2xt，所以2()2(2)9(2)11fttt，从而可以得出22911fxxx。2.2二次函数的解析式二次函数解析式中有三个系数，我们求二次函数解析式关键问题就是用已知求出三个系数的的确定值。我们可以根据化简配方等方式获得二次函数的三种解析式1.一般式：2yaxbxc；2顶点式：2()yaxhk其中（h，k）是次二次函数图像定地坐标；3交点式：12()()yaxxxx其中1x2x是这个二次函数与x轴两个交点的横坐标。2.3二次函数的一些性质在平面直角坐标系中作出二次函数y=x²的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。1抛物线是轴对称图形。对称轴为直线2bxa。对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）2.抛物线有一个顶点P，坐标为P2(4)[,]24bacbaa。当02ba时，P在y轴上；当240bac时，P在x轴上。3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。a越大，则抛物线的开口越小。石家庄学院毕业论文III4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。当a与b同号时（即0ab），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即0ab），对称轴在y轴右。5.常数项c决定抛物线与y轴交点。抛物线与y轴交于(0,)c6.抛物线与x轴交点个数240bac时，抛物线与x轴有2个交点。240bac时，抛物线与x轴有1个交点。240bac时，抛物线与x轴没有交点。3二次函数的应用问题3.1二次函数解析式的应用下面是一般式的例题：例3已知二次函数()fx的图像过点M（-1，0），且在xR时不等式21()2xxfx恒成立，求()fx的解析式。[2]解析：二次函数的解析式中有三个未知数，而我们学过的知识可以只需三个条件就能确定这三个未知数的确定值，以下我们运用一般式来解答这个问题：解：设解析式为2()fxaxbxc根据题意()fx过点M（-1，0）即(1)0f则可以有(1)0fabc①（做到这里我们只有从其它已知中获得条件了）由()xfx恒成立可以得2(1)0axbxc横成立，即0a，21(1)40bac②由21()2xfx恒成立，可得2(12)2(12)0axbxc恒成立，即17IV120a且2244(12)(12)0bac③由得bac代入②并化简得2()221acac④把bac代入③并化简得2()(221)acac⑤由④⑤比较可得14ac，12b，故2111()424fxxx。下面是交点式例题：例：已知()fx的顶点是(2,5),()fx在y轴上的截距是-1，求解析式。这道例题很明显的给出了()fx的顶点和截距，如果应用一般式或者交点式可能会有很繁琐，但是如果运用顶点式的话便很快的能解答出来。3.2单调性、图像和最值的应用在高中阶阶段学习单调性时，必须让学生对二次函数2yaxbxc在区间,2ba及,2ba上的单调性的结论用定义进行严格的论证，使它建立在严密理论的基础上，与此同时，进一步充分利用函数图象的直观性，给学生配以适当的练习，使学生逐步自觉地利用图象学习二次函数有关的一些函数单调性。下面将给出几道典型的二次函数单调性、最值与图像的例题。例4已知实数a，b满足122baba，且22baabt，求t的取值范围？分析：由已知条件可得出1)(2baab，构造一个关于x的一元二次方程01)()(22baxbax，显然a，b是这个一元二次方程的两个实根，从而01)(4)(22baba.即得出不等式0)(342ba，∴313)(2334)(022baba.石家庄学院毕业论文V3)(21)(3)(322222222bababaabbaabbaabt，所以313t。下面是单调性的例题例5求3()fxxx在R上是递增的。[3]解析：求证单调性的一般问题都是取值，做差之后得出答案证明：任取1x2x，且12xx，则有120xx，所以有33221211221211222221212()()()(1)3()[()1]024fxfxxxxxxxxxxxxxxxx，即12()()fxfx，故求3()fxxx在R上是递增的。下面是最值的一道典型题目例6设2()21fxxx在区间[,1]tt上的最小值是()gt，求()gt。解：22()21(1)2fxxxx在x=1时取最小值－2当1[,1]tt，01t，()2gt；当t＞1时，2()()21gtfttt；当t＜0时，2()(1)2ftftt；222,0()2,0121,1ttgttttt关于值域的问题首先要使学生弄清楚题意，一般地，一个二次函数在实数集合R上或是只有最小值或是只有最大值，但当定义域发生变化时，取最大或最小值的情况也随之变化，为了巩固和熟悉这方面知识，可以再给学生补充一些练习。例如要求2()21fxxx的值域与求2()21fxxx(13)x的值域就不是会有很大的不同。学生切记定义域对于值域的限制作用。不要盲目的求出最大值最小值就认为自17VI己的答案正确，要认真审题，看清题目给的要求。3.3二次函数在方程方面的应用下面给出几道例题：例7设二次函数2()(0)fxaxbxca，方程()0fxx的两个根是1x、2x满足1210xxa。[4]（1）当(0,1)x时，证明1()xfxx；（2）设函数()fx，关于0xx对称，证明102xx。解题思路：（1）先证明()xfx，令()()Fxfxx因为1x2x是方程()0fxx的两个根2()fxaxbxc，所以12()()()FXaxxxx。因为120xx所以(0,1)x时10xx，20xx得1()xx2()xx0又0a，因此()0FX，即()0fxx至此可得()fxx。根据韦达定理,有12cxxa∵1210xxa，121()caxxxfx,又(0)cf,∴1(0)()ffx，根据二次函数的性质，曲线()yfx是开口向上的抛物线，因此，函数()yfx在闭区间10,x上的最大值在边界点x=0或1xx，处达到，而且不可能在区间的内部达到，由于1()(0)fxf，所以当x∈10,xx时11()()fxfxx，即1()xfxx（2