普朗克黑体辐射量子理论

普朗克的假设在热力学中，黑体（Blackbody），是一个理想化的物体，它能够吸收外来的全部电磁辐射，并且不会有任何的反射和透射。随着温度上升，黑体所辐射出来的电磁波则称为黑体辐射。“紫外灾难”：在经典统计理论中，能量均分定律预言黑体辐射的强度在紫外区域会发散至无穷大，这和事实严重违背马克斯·普朗克于1900年建立了黑体辐射定律的公式，并于1901年发表。其目的是改进由威廉·维恩提出的维恩近似（至于描述黑体辐射的另一公式：由瑞利勋爵和金斯爵士提出的瑞利-金斯定律，其建立时间要稍晚于普朗克定律。由此可见瑞利-金斯公式所导致的“紫外灾难”并不是普朗克建立黑体辐射定律的动机。）。维恩近似在短波范围内和实验数据相当符合，但在长波范围内偏差较大；而瑞利-金斯公式则正好相反。普朗克得到的公式则在全波段范围内都和实验结果符合得相当好。在推导过程中，普朗克考虑将电磁场的能量按照物质中带电振子的不同振动模式分布。得到普朗克公式的前提假设是这些振子的能量只能取某些基本能量单位的整数倍，这些基本能量单位只与电磁波的频率有关，并且和频率成正比。这即是普朗克的能量量子化假说，这一假说的提出比爱因斯坦为解释光电效应而提出的光子概念还要至少早五年。然而普朗克并没有像爱因斯坦那样假设电磁波本身即是具有分立能量的量子化的波束，他认为这种量子化只不过是对于处在封闭区域所形成的腔内的微小振子而言的，用半经典的语言来说就是束缚态必然导出量子化。普朗克没能为这一量子化假设给出更多的物理解释，他只是相信这是一种数学上的推导手段，从而能够使理论和经验上的实验数据在全波段范围内符合。不过最终普朗克的量子化假说和爱因斯坦的光子假说都成为了量子力学的基石。爱因斯坦的光电子假设截止电压，最大动能，极限频率，几乎瞬时发射，偏振方向经典理论无法完美解释以上现象1905年，爱因斯坦发表论文《关于光的产生和转化的一个试探性观点》，对于光电效应给出另外一种解释。他将光束描述为一群离散的量子，现称为光子，而不是连续性波动。从普朗克黑体辐射定律，爱因斯坦推论，组成光束的每一个量子所拥有的能量等于频率乘以一个常数，现称为普朗克常数。假若光子的频率大于某极限频率，则这光子拥有足够能量来使得一个电子逃逸，造成光电效应。爱因斯坦的论述解释了为甚么光电子的能量只与频率有关，而与光强度无关。虽然光束的光强度很微弱，只要频率足够高，则会产生一些高能量光子来促使束缚电子逃逸。尽管光束的光强度很剧烈，由于频率太低，无法给出任何高能量光子来促使束缚电子逃逸。爱因斯坦的论述极具想像力与说服力，但却遭遇到学术界强烈的抗拒，这是因为它与詹姆斯·麦克斯韦所表述，而且经过严格理论检验、通过精密实验证明的光的波动理论相互矛盾，它无法解释光波的折射性与相干性，更一般而言，它与物理系统的能量“无穷可分性假说”相互矛盾。甚至在实验证实爱因斯坦的光电效应方程正确无误之后，强烈抗拒仍旧延续多年。爱因斯坦的发现开启了的量子物理的大门，爱因斯坦因为“对理论物理学的成就，特别是光电效应定律的发现”荣获1921年诺贝尔物理学奖。根据波粒二象性，该效应也可以用波动概念来分析，完全不需用到光子概念。威利斯·兰姆与马兰·斯考立（MarlanScully）于1969年证明这理论。爱因斯坦的论文很快地引起美国物理学者罗伯特·密立根的注意，但他也不赞同爱因斯坦的理论。之后十年，他花费很多时间做实验研究光电效应。他发现，增加阴极的温度，光电子最大能量不会跟着增加。他又证实光电疲劳现象是因氧化作用所产生的杂质造成，假若能够将清洁干净的阴极保存于高真空内，就不会出现这种现象了。1916年，他证实了爱因斯坦的理论正确无误，并且应用光电效应直接计算出普朗克常数。密立根因为“关于基本电荷以及光电效应的工作”获颁1923年诺贝尔物理学奖。光电效应的一些数量关系：逸出功是从金属表面发射出一个光电子所需要的最小能量。光子的频率必须大于金属特征的极限频率，才能给予电子足够的能量克服逸出功。逸出功与极限频率之间的关系为；其中，是普朗克常数，是光频率为的光子的能量。克服逸出功之后，光电子的最大动能为；其中，是光频率为的光子所带有并且被电子吸收的能量。实际物理要求动能必须是正值，因此，光频率必须大于或等于极限频率，光电效应才能发生光电效应的一些应用：光电倍增管，金箔验电器，光电子能谱学，航天器，月球尘，夜视仪等等。康普顿效应康普顿效应首先在1923年由美国华盛顿大学物理学家康普顿观察到，并在随后的几年间由他的研究生吴有训进一步证实。康普顿因发现此效应而获得1927年的诺贝尔物理学奬。这个效应反映出光不仅仅具有波动性。此前汤姆孙散射的经典波动理论并不能解释此处波长偏移的成因，必须引入光的粒子性。这一实验说服了当时很多物理学家相信，光在某种情况下表现出粒子性，光束类似一串粒子流，而该粒子流的能量与光频率成正比。在引入光子概念之后，康普顿散射可以得到如下解释：电子与光子发生弹性碰撞，电子获得光子的一部分能量而反弹，失去部分能量的光子则从另一方向飞出，整个过程中总动量守恒。波函数公设：量子力学第一条公设：分束器是50%反射，50%透射，如果将光子理解成经典的粒子，那么在两个探测器中各有50%概率检测到光子，但是实际上只有在其中一个探测器上检测到光子。经典解释：经过第一个分束器，电子分成两束，为了区分它们，我们记为a状态和b状态。有50%概率处于a状态，50%概率处于b状态，经过第二个探测器，a状态的光子又有50%的概率变成b状态，或者50%概率保持a状态不变，两次透镜的结果是，0.5×0.5=0.25的概率在探测器检测到，对于b状态光子可以得到同样的结论，于是两个探测器检测到光子概率各占50%。量子力学解释：必要的数学补充：线性代数：矢量（向量）向量空间中的任一个矢量我们可以用一个符号来表示，例如a,b,c等等，但在量子力学中我们常常用|a,|b来表示，这个记号叫Dirac符号，作用之一是强调这是一个矢量，方便与前面的复系数区分，例如c|a我们明白是个复数乘以矢量a,不然写成ca意义就不明显了。基与线性无关习题：证明(1,-1),(1,2),(2,1)是线性无关的线性算子与矩阵习题：Pauli矩阵内积习题：习题：特征值和特征向量伴随和厄米算子量子力学的波函数公设：态叠加原理：回到我们的系统….（推导）光的干涉的粒子解释：量子力学的哥本哈根诠释认为光子的干涉是单个光子波函数的几率幅叠加，波函数是一种几率波，其复振幅（几率幅）的模平方正比于对应的状态（本征态）发生的几率。以双缝干涉为例，对于每个光子而言，其状态都为从两条狭缝中的每一条经过的量子态的叠加：其中、分别对应从狭缝1、狭缝2经过的量子态，几率幅、对应这一光子从狭缝1和狭缝2出射的各自几率，其本身是一个复数。而光检测器探测到这一光子的几率，从统计上看也就是光检测器探测到的光强，是几率幅叠加之后的模平方：这一表达和经典的电磁波的矢量叠加非常相似——实际上，如果将上面的量子态、用具体的电磁波形式来代换，即用电磁场来表示光子的波函数，在形式上能得到和经典干涉相同的结论。然而，这种等效从根本上是错误的，因为电磁场是一个可观测量，而波函数在哥本哈根诠释中是一个不可观测量；从光子角度所看到的双缝实验是单个光子本身几率波的干涉，而几率也是单个光子出现在特定量子态的几率，而不是位于特定量子态的光子数量。关于这一点，保罗·狄拉克在《量子力学原理》中做了说明：“在量子力学发现以前不久，人们就已了解到，光波和光子之间的联系必须是统计的性质。然而，他们没有清楚地了解到，波函数告诉我们的是一个光子在一特定位置上的几率，而不是在那个位置上可能有的光子数目。这一区别的重要性可在下面看清楚。假定我们令大量光子组成的光束分裂为两个强度相等的部分。按照光束的强度与其中可能的光子数目相联系的假定，我们就会得到，光子总数的一般分别走入每一组分。现在，如果使这两个组分互相干涉，我们就得要求，在一个组分中的一个光子能够与另一组分中的一个光子互相干涉。在某些情况下，这两个光子就要互相抵消，而在另一些情况下，它们就要产生四个光子。这样一来，就会和能量守恒相矛盾了。而新的理论把波函数与一个光子的几率联系起来，就克服了这一困难，因为这个理论认定，每一光子都是部分地走入两个组分中的每一个。这样，每一个光子只与它自己发生干涉。从来不会出现两个不同的光子之间的干涉。”——保罗·狄拉克，《量子力学原理》第四版，第一章第3节德布罗意波路易·德布罗意生于法国滨海塞纳省的迪耶普。父亲是维克多，第五代布罗意公爵(Victor,5thducdeBroglie)，母亲是Paulined'Armaillé。路易是家里最年幼的儿子。路易的哥哥摩里斯·德布罗意(MauricedeBroglie)后来也成为一位很有成就的物理学家。当路易才十四岁的时候，他的父亲就过世了。摩里斯继承为第六代布罗意公爵(6thducdeBroglie)。教养弟弟的责任就落在摩里斯身上。摩里斯是一位很好的哥哥。他给路易去巴黎最好的贵族中学LycéeJansondeSailly读书。路易天资聪颖，有惊人的记忆力。他读书能够过目不忘。在法文、历史、物理、哲学、这些不同的领域，他都能得到很好的成绩。中学毕业后，他进入了极具声誉的索邦大学就读。那时，他并不清楚应该主修哪个科目。最初，他选择了历史。后来，又转为主修法律。一直到他读了昂利·庞加莱的两本巨著，《科学和假设》与《科学的价值》，他才认知物理学是他的最爱，开始专心研读理论物理。1913年，他得到了学士学位。1914年，第一次世界大战爆发。德布罗意正在陆军服役。刚开始，他被派到FortMont-Valérien当坑道工兵。很快地，性情活泼的他，对于这刻板僵硬，缺乏变化的生活，觉得枯燥无味，难以忍受。经过哥哥运用人脉关系，他被转派去埃菲尔铁塔的陆军无线电部门做通讯兵。闲暇时间，还可以思考关于无线电的技术问题。对于日后的科学研究有很多实用价值。1919年，退役后，德布罗意又回返索邦大学，继续先前的理论物理研究，立志拿到博士学位。他参加了保罗·朗之万主讲的一个关于量子理论的专题讨论会，又修了一堂关于相对论的课。那时，哥哥摩里斯正在研究x-射线光谱和光电效应。他时常在哥哥的实验室里帮忙，兄弟两人共同发表了几篇论文。经过几年的努力，德布罗意终于在1924年完成了博士论文《量子理论研究》。在这篇论文里，他详细地解释他所创建的的电子波理论。这包括了，根据阿尔伯特·爱因斯坦和马克斯·普朗克对于光波的研究，而推论出来的关于物质的波粒二象性：任何物质同时具备波动和粒子的性质。由于论文的题目与内容相当先进，让当时许多学者都直摇头，因为这份报告的创造了一个新观念，而德布罗意的老师朗之万其实也很难相信这个论点，但论文的内容实在是太过让人惊叹，不能确定是否有瑕疵，所以寄给爱因斯坦一份，寻求他的意见。爱因斯坦那时候很忙，正在研究玻色-爱因斯坦统计，抽不出时间仔细阅读，只能稍微翻了一下。立刻，他意识到这论文很有重量，兴奋地回信：“他已经掀起了面纱的一角”！并且将论文送去柏林科学院，因而使得这理论广知于物理学界。德布罗意获得了梦寐以求的博士学位。后来，埃尔温·薛定谔从这篇论文里，得到很多宝贵的灵感。既然电子是波动，那么，什么是电子的波动方程？两年后，薛定谔发表了薛定谔方程，也从此开启了量子力学的新纪元。1927年，克林顿·戴维森与雷斯特·革末将电子射向镍晶体，发现其衍射图谱和布拉格定律（这原是用于X射线的）预测的一模一样。这证实了德布罗意的电子波理论正确无误。因为这历史性的发现，瑞典皇家科学院特别颁授德布罗意1929年的诺贝尔物理学奖。Thefundamentalideaof[my1924thesis]wasthefollowing:Thefactthat,followingEinstein'sintroductionofphotonsinlightwaves,oneknewthatlightcontainsparticleswhichareconcentrationsofenergyincorpor