浅谈在数学画图中培养学生创造性思维

1浅谈在数学画图中培养学生创造性思维浙江省乐清市乐成六中325600李艳敏13587770063【摘要】数学是人们生活，劳动和学习必不可少的工具，数学在提高想象力和创造力等方面有着独特的作用。数学教学的重要目的在于培养学生的数学思维能力，而思维能力反映在通常所说的思维品质上，它是数学思维结构中的重要部分，本文提出在数学教学中，如何培养学生的思维的独创性、发散性、灵活性及广阔性等良好的思维品质。【关键词】画图独创性发散性灵活性广阔性在数学学习活动中，学生通常表面两种不同的水平，再造性学习和创造性学习。所谓再造性学习，一般指按照模式完成学习活动；而创造性学习是指独立地、创造性地掌握知识，灵活地、综合地运用知识解决新问题或有新的发现，创造性思维是创造性学习的重要因素。长期以来，由于受“应试教育”思想的影响，数学教育过于重视对学生知识的传授，而忽视对学生能力的培养，现代教育观要求培养具有全面素养的学生，作为全面素质的一个分支——数学素质，如何适应时代赋予的使命；如何顺从教育发展潮流，达到学科培养目标，是摆在教学面前一个十分现实的课题，而数学素质通过数学能力来体现，而数学能力反映在思维品质上，思维品质是评价和衡量学生思维优劣的重要标志，在数学教学中应积极引导学生多向思维培养学生良好的思维品质，本文主要从数学画图的角度，谈谈对学生创造性思维的培养。一、数学画图培养创造性思维的独创性思维定势即思维的习惯性，学生在解答问题时，往往受思维定势的影响，自觉或不自觉的按固有的思路、习惯的解题方法去做，思路显得狭窄。如果克服这种思维的定势，必能增智生巧，活中见新，故须培养学生思维的深刻性和创造性。要培养学生的创造性思维能力，教师本身必须有创新精神和创造性。教师启发学生独立操纵题目条件和结论，产生各种各样的为数众多的信息，注重独特性和新颖性。创造性思维的特点是创造，不是简单的再造与重复模仿，这就要有较强的独创能力。教师必须钻研教材，勇于创造，要鼓励学生敢于突破知识的局限，独辟蹊径，给出标新立异的结果。在数学画图中，应充分尊重学生的独立思考，不因循陈规，使画图结果具有独特性和新颖性。例如：在“求索杯”数学知识应用能力竞赛初一试卷中有这样一道题：线段、2角(∠、等)、三角形和圆都是几何要研究的基本图形。请用这些图形设计四个表现客观事物的图形，每幅图可以由一种图形组成，也可以由两种或三种图形组成，但总数不得超过三种，力求美观，并且为每幅图命名，命名要与画面相符。这道题从一个侧面体现了几何知识与生活的联系，具有较强的激发学生兴趣和创造性思维，但有的学生却一个图形都画不出，或画出类同的图形没有创造性。实际上只要突破线段、角、三角形、圆的形状大小、长度的局限，结合自己的想象力，就能构思出许多具有个性新颖的作品，现从人物、山水、自然界等现实生活中举例图形如下：创造性思维结果，往往能引起学生强烈的反响，激发他们的创造灵感，同时，创造性的结果能为社会创造价值。要培养学生良好的思维品质，教学中还要积极教育和引导学生培养坚毅顽强的钻研力，对比筛选的分析，专注持久的注意力，丰富大胆的想象力，以及破旧立新的创造力等，注意从基础抓起，着重发展学生的形象思维和逻辑分析思维能力，有利于调动学生发现问题和思考问题的积极性，有利于理清学生的思路，提高学习效果。二、数学画图培养创造性思维的发散性发散性思维是指从已知的信息中，沿不同方向、不同范围、多方面地考虑，产生大量变化的信息，找出两个或更多的可能答案。例如：温州市2002年中考画图题：已知菱形ABCD(如图)∠A=72°，请设计三种不同的分法，将菱形ABCD分割成四个三角形使每个三角形都是等腰三角形。(画图工具不限，要求画出分割线段；标出能够说明分法所得三角形内角的度数，不要求写出画法，不要求证明。)大部分学生会尝试连结对角线AC画出一两种图形，如图①或图①关于BD的对称图形。如果学生没有从已知条件中多方面去考虑，那么学生一时很难画出四种或更多的结果，从而陷入乱分割、无头绪的情况。其实我们利用图形的轴对称、中心对称性质或连结不同线段进行变换，思维就会变的发散，结果就变的更多。3由于已知菱形与分割的等腰三角形都是轴对称图形，同时菱形又是中心对称图形，所以把图①中的△DCE作关于DB的对称就得到图②，作关于AC与BD交点的中心对称就得到图③。如果在图②中分别延长三角形两边就得到图④，在图①中延长DF就得到图⑤。从另一个方面考虑不连结AC，只连结BD，在图①基础上得到图⑦，在图⑤基础上得到图⑥，也会得到图⑧等。同时，图①至图⑧每个图形的关于轴对称或中心对称轴的图形也都满足设计的要求。图(1)图(2)图(3)图(4)图(5)图(6)图(7)图(8)在教学中，重视对典型的画图习题采用一题多解教学，对巩固基础知识，提高画图技能，培养学生思维的发散性起到立竿见影的作用。三、数学画图培养创造性思维的灵活性思维的灵活性是指善于根据事物的变化及时调整思维角度，从已知因素中看出新因素，从隐密的形式中分清实质，在更深、更广的领域内根据知识的内在联系，探究问题的纵横延伸。1、通过横向对比、类比，培养思维的灵活性。例如，作一直线把如图的空白部分分成两个面积相等的部分。4这道题，学生可能一时画不出直线，或可能通过圆心画出估计会使画积相等的一条直线，或通过矩形对角线交点，画一直线把矩形面积分割而没有把圆面积分割的一条直线，这时画图就遇到了困难。其实，只要横向对比，两种图形面积分割与各自图形面积分割的不同性与共同性，经过圆心任意直线能把圆平分，经过矩形对角线交点的任意直线能把矩形面积等分，那么同时分割两个图形等面积的条件就是同时经过圆心与矩形对角线的交点的直线。2、通过纵向联想、延伸，培养思维的灵活性。例如：温州市2003年中考画图题：已知△ABC(如图)，∠B=∠C=30°，请设计三种不同的分法，将△ABC分割成四个三角形，使得其中两个是全等三角形，而另外两个是相似但不全等的直角三角形，请画出分割线段，标出能够说明分法的所得三角形的顶点和内角度数(或记号)。(画图工具不限，不要求证明，不要求写出画法，两种分法只要有一条分割线段位置不同，就认为是两种不同的分法。)如果学生孤立的思考每一种图形怎么画，只能画出一两种设计方法，如果通过纵向联想、延伸将很快得到不同的结果。倘若我们结合∠B=∠C=30°的特点，两个相似但不全等的直角三角形的要求，就自然联想到在直角形中的射影定理，在图①画∠BAE=90°，作AD⊥BC，就是射影定理本型，△AEC是等腰三角形作EF⊥AC，就得到两个全等的三角形，再画图①关于AD对称图形就是图②。图(1)图(2)这时，学生画了两个图形后，如果思维局限于在△ABC中的变化与连结，那么画图就会困难。如果我们从△ABC与△AEC相似得到启发与延伸，那么容易得到不同的结果，只要在△AEC中借用在△ABC中的同样方法，画一个角∠ADE=90°，作EF⊥DC，就得到图③，同样在△ADC中画出对称关系就得到图④，同时图③、图④也有自己关于AD对称的图形图⑤、图⑥。图(3)图(5)图(4)图(6)如果我们再调整思维角度从全等三角形出发，作∠ABC的平分线，交AC于D，5作△DBE全等于△ABD，同时计算得到△DEC为直角三角形，利用射影定理画DF⊥BC，就可得到图⑦。如果把AD看作绕点A旋转的变化，画图思路变得更宽，就容易得到图⑧、图⑨及它们的对称图形，图⑩、⑾、⑿。图(7)图(10)图(8)图(11)图(9)图(12)3、通过逆向思考、探究，培养思维的灵活性逆向思维是认识事物相反向面，揭示不同的现象，获得不同的效果，从而发现新的思路、新的方法。例如：如图已知凸四边形ABCD，能否将凸四边形剪两刀，分割成四块，拼成一个平行四边形？为什么？学生对这道题一般无从入手或连结AC、BD作为分割结果，其实学生从正面思考分割后图形是平行四边形，困难很大。但只要我们摆脱思维定势从相反面认识，就发现新思路，假设已分割成平行四边形，与原图形对照分析，探究四边形的角、边有什么变化、应满足什么条件。就不难发现根据四边形内角和为360°，点A、B、C、D必须集中在一个点上，根据四边形的各边被剪后的两条线段必须相等才能重合，所以只要取凸四边形各边中点E、F、G、H沿EG和FH把四边形ABCD剪成四小块，这四小块可以拼成一个平行四边形。如图：解∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，∴这四个角可拼成一个周角。∵∠5+∠6=180°，∠7+∠8=180°，∠9+∠10=180°，∠11+∠2=180°，∠1=∠4，∠2=∠3∴∠1＋∠2＝∠3＋∠4=180°∴图(2)为平行四边形。四、数学画图培养创造性思维的广阔性。思维的广阔性是指从不同方面、不同角度去研究问题，避免思维的局限性、片面性。培养学生思维的广阔性首先要重视学生思维的发散性，要鼓励学生放开思考、扩散思维，寻找多种解决问题的办法。如有这样一道练习题（第九届“希望杯”全国数学邀请赛培训题）。如图，已知∠A=75º，∠B=35º，C=30º，求∠CDB的度数。6分析：通过添辅助线，可将图形分割或补成某个三角形，这样可寻找未知与已知数的联系。思路一：延长BD交AC于E，利用三角形内角和定理的推论可求得：（1）(2)(3)∠BDC=∠C+∠BEC=∠A+∠B+∠C=140º。如图(1)思路二：仿思路一，可延长CD与AB相交。思路三：过D画AC的平行线，如图（2）容易得到∠BDC=∠BDF+∠CDF=∠BED+∠B+∠C=∠B+∠C+∠A=180º思路四：仿思路三可过点D作AB的平行线。思路五：如图（3）连结BC，则∠BDC=180º-∠DBC-∠DCB=180º-（180º-∠DBA-∠DCA-∠A）=∠DBA+∠DCA+∠A=140º。思路六：过B作DC的平行线交AC的延长线于E,如图(4)根据三角形内角和定理,得∠E=∠DCA=25º,∠BDC=180º-∠DBE=180º-(180º-∠DBA-∠A-∠E)（4）=∠DBA+∠A+∠DCA=140º思路七:仿思路六过C作BD的平行线与AB的延长线相交。从上题的七种分析过程，可以看到发散式思维的多端性特点，对一个数学问题可产生许多联想，获多种不同解法从而使思维更广阔，在平面几何教学中，尤其需要教师引导学生从不同角度，多种方法分析，解决问题，克服思维的狭隘性，提高思维的广阔性。总之，创造性思维不是自发地产生，而是在学习活动中形成和发展。在教学中，教师必须善于培养发现与鼓励学生的想象，同时教师也应改变教法，要利用各种有利因素，多进行创造性思维的培养与训练，引导学生进行创造性的数学活动经验学习。数学学习的内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，有利于DCBAEDCBAEDCBADCBAEDCBA7学生想象力的创造力的发挥。使学生在动手实践、自主探索与合作交流的过程中获得广泛的数学活动经验，培养学生的数学创造性思维能力，并乐意把更多的精力投入现实的、探索性的数学活动中去。【参考资料】：1．温州市2002、2003年中考分析报告2．2002、2003年全国中考荟萃3．马忠林主编，郑君文、张思华著《数学学习论》广西教育出版社4．马忠林主编，胡烔涛著《数学教学论》广西教育出版社。