浅谈如何培养学生的数学素养

-1-浅谈如何培养学生的数学素养贵州省印江二中555200任达茂在学生的成长、成才过程中，学校的教育和培养起着决定性的作用，而学校的教育又主要是在课堂，甚至每一节课都是至关重要的，在大力提倡和推行素质教育的今天，更应抓紧每节课，向第一节课要质量、讲效果，同时又要使学生在课堂上不受压抑，轻松愉快地学习，创造性地学习，为此，本人在此文中浅谈如何营造活跃的课堂气氛，培养学生学习数学的兴趣，克服和战胜数学难题的坚强意志，为学好数学，提高数学素养的一些尝试性作法：一、根据数学知识的特点，如图形的对称性、命题的对偶性、逻辑的严谨性、符号的简洁性，让学生在数学课堂上感受快乐，数学美的享受和陶冶，从而对数学产生极大兴趣，这样的素材在教材中蕴藏很多，譬如对偶原则在数学教材特别多，通过对这些对偶命题的教学，对学生进行辩证唯物主义教育。[题目1](教材第一册(上)P13例8)。设U＝｛1、2、3、4、5、6、7、8｝A＝｛3、4、5｝B＝｛4、7、8｝求：CUACUB(CUA)∩(CUB)(CUA)∪(CUB)CU(A∪B)CU(A∩B)。解∵U＝｛1、2、3、4、5、6、7、8｝A＝｛3、4、5｝B＝｛4、7、8｝∴CUA＝｛1、2、6、7、8｝CUB＝｛1、2、3、5、6｝(CUA)∩(CUB)＝｛1、2、6、7、8｝∩｛1、2、3、5、6｝＝｛1、2、6｝(CUA)∪(CUB)＝｛1、2、6、7、8｝∪｛1、2、3、5、6｝＝｛1、2、3、5、6、7、8｝CU(A∪B)＝CU｛3、4、5｝∪｛4、7、8｝＝｛3、4、5、7、8｝-2-＝｛1、2、6｝CU(A∩B)＝CU｛3、4、5｝∪｛4、7、8｝＝｛4｝＝｛1、2、3、5、6、7、8｝在讲解过程之后，引导学生进行归纳，总结出如下的结论，才算收到满意的效果。要归纳出重要的结论分两步进行：(1)指导学生观察上面所得结果的形式，发现什么？①(CUA)∩(CUB)＝CU(A∪B)(Ⅰ)②(CUA)∪(CUB)＝CU(A∪B)(Ⅱ)(2)指导学生根据找出的两个式子的结构特点，总结出如下结论：结论1：两个集合补集的交集等于两个集合并集的补集，简记为：“补”的“交”＝“并”的“补”(“CU”的“∩”＝“∪”的“CU”)结论2：两个集合补集的并集等于这两个集合交的补集，简记为：“补”的“交”＝“并”的“补”(“CU”的“∪”＝“∩”的“CU”)这就是著名数学家德摩根发现的，故称为德摩根对偶原理，此结论还可以推广到任意个集合的情形：命题：设A1、A2、A3……,An是n个不同的集合，∪是全集，则(CUA1)∩(CUA2)∩……∩(CUAn)＝CU(A1∪A2∪……∪An)(CUA1)∪(CUA2)∪……∪(CUAn)＝CU(A1∩A2∩……∩An)利用上述结论在解题时非常方便、快捷！例如〔题目〕(教材第一册上)P13练习第四题图中U是全集，A、B是U的两个子集，用阴影一表示(1)(CUA)∪(CUB)(2)(CUA)∩(CUB)-3-解：(1)利用上述对偶原理得(CUA)∪(CUB)=CU(A∩B)(2)(CUA)∩(CUB)＝CU(A∪B)图示如下：(1)(1)〔题目3〕(1)(教材第二册9.4节P21例1)求证：过一点和已知平面垂直的直线只有一条(2)(教材第二册9.4节P22练习第3题)求证:过一点和一条直线垂直的平面是否只有一个？为什么？这两个题目为书中例题和练习题，故证明从略，为了让学生看出其对偶性，将这两个题目的叙述约作改动，但不改变原题本意，改述于后：(1)过一点有且只有一条直．线．和一个已知平面．．垂直。(2)过一点有且只有一个平面．．和一条已知直线．．垂直。在这两个命题中只需对换两处的两个概念(加点概念)得到两个对偶的真命题，学生在学习中只需掌握其中一个命题的真假，即可知道其对偶命题的真假。因此，学生在学习及其形成技能的过程中，只要掌握了这种数学的思想和方法，便可达到事半功倍的效果。又如：UAABBU-4-〔题目4〕(1)(教材9.6节P41例5)求证：如果两直线．．．同垂直于一个平面．．，则这两直线．．．平行。它的对偶命为：如果两平面．．．同垂直于一条直线，则这两平面．．平行(证明略)。这两个命题中只需将加点的概念直线换成平面，平面换成直线，即得它的对偶命题，象这样的命题在教材中枚不胜举，教学中只要认真抓住这些命题的对偶原理，可以减轻学生学习负担，同时也能激起学生的学习兴趣和学习动力。二、利用数学思想和方法指导学生实践，让学生感受“条条大道”通“罗马”的喜悦，同时也培养了学生的发散思维，这也是直接培养学生兴趣和数学素养的有效方法之一。〔题目5〕(教材第二册上P82习题7.7第11题)求函数2cos1sin)(f的最达值和最小值。解：(法Ⅰ)(数型结合法——解析几何法)构造几何模型:把2cos1sin)(f看作是过两点P(cosθ,sinθ)(动点)，A(2、1)(定点)直线的斜率，且动点P(cosθ,sinθ)在园C：sincosYX上运动，过定点A作园C的两条切线AP1、AP2，如图显然直线AP1斜率为最小，即f(θ)min＝kAP1＝0。直线AP2的斜率最大即f(θ)max=kAP2=K，下面求K的值(方法I)设直线AP2斜率为k，则AP2的直线方程是：y-1=k(x-2)即kx-y-2k+1=0因为AP2与图以：sincosYX(x2+y2=1)相切所以园心到切线的距离d=2112kk=1解得k1=0，k2=4/3其中k1=0为AP1的斜率，k2=4/3为AP2的斜率yx1－1OP2A(2，1)P1-5-∴f(θ)max=4/3f(θ)min=0(方法II)要求直线AP1、AP2的斜率，可以运用求园C：sincosYX与以OA为直经的园的交点(切点)再利用过两点的斜率公式还应求出其斜率，较大值为f(θ)max，较小值为f(θ)min，用此法计算量稍大，同学们可以去试一试，此处略。解(法Ⅱ变量替换法—建立新变量)由万能公式有2tan12tan1cos22=2tan12tan2sin2令t=tan2代入原式化简得：1)(22ttttfy整理成关于t的二次方程的0)1(2yytty∵t∈R∴△=y2-4(y-1)y=-3y2+4y≥0解得0≤y≤4/3即0≤f(t)≤4/3∴f(θ)max=4/3f(θ)min=0评注：解法Ⅰ与Ⅱ反映了两种截然不同的数学思想和方法，在数学中多收集这样的素材，进行讲解，对培养学生的兴趣，思维能力、数学素养都大有稗益，又如：[题目6]若点P(x，y)在园C：sincosYX(θ为参数)上，则x2+y2的最小值是多少？解：(法I)(数型结合—构造几何图形)由sin24cos23yx(x-3)2+(y+4)2=4∴已知园是以(3、-4)为园心，2为半径的园，如图：要求x2+y2的最小值，即在已知园上找一点P(x、y)、使│OP│为最小由几何知识可知，作直线OC，则直-6-线OC与园的交点P(x、y)为使│OP│最小(同理│OP′│为最大)，为了求点P的坐标(或P′的坐标)，直线OC的方程为：y=34x由：4)4()3(3422xxy解得：5125911yx52852122yx即点P的坐标是P(59，512)9)512()59()(22min22yx解法Ⅱ——(直接利用参数法)∵sin24cos23yx∴x2+y2=(3+2cosθ)2+(-4+2sinθ)2=29+(-16sinθ+12cosθ)=29+2212)16((sinθ+φ)=29+20sin(θ+φ)(φ为辅助角)∴9≤29+20sin(θ+φ)≤49∴(x2+y2)min=9(x2+y2)max=49上述两种解法思路显然不同，解法I直观，思路清晰，解法Ⅱ，思维抽象，过程简捷！三、利用各学科之间的相互联系、相互渗透的事实说明数学是其他自然科学之基础，只有扎实的数学知识才能学好其他自然科学的相关学科，在世界的许多物理学家中，绝大多数是数学家，由此激励学生认真学好数学的重要性和必要性，在教材中跨学科的综合题目是很多的，而且也是今天高考的主流，例如：[题目7]已知电流tiimsin，电压)2/sin(tvvm求证：电功率)2sin(21tivivPmmyxCOPP’-7-证明：P=iv=)2/sin(sintvtimm=)2sin(21tivmm∴电功率P=)2sin(21tivmm此题就是一个纯数学知识在物理学中的计算的简单例子，又如[题目8](教材第一册(下)P78阅读材料)已知：有同频率的正弦电流)sin(111tiim，)sin(222tiim求证：i=i1+i2=22QPsin(wt+Q)其中P=i2mcosφ1+i2mcosφ2Q=i1msinφ1+i2msinφ2证明：∵i1=i1msin(wt+φ1)i2=i2msin(wt+υ2)∴i=i1+i2=i1m(sinwt·cosφ1+coswt·sinφ1)+i2m(sinwt·cosφ2+coswt·sinφ2)=sinwt(i1mcosφ1+i2mcosφ2)+coswt(i1msinφ1+i2msinφ2)令P=i1mcosφ1+i2mcosφ2Q=i1msinφ1+i2msinφ2则i=Psinwt+Qcoswt=)cossin(222222wtQPQwtQPPQP∵22QPP22QPQ∴122QPP122QPQ∴可以设cosθ=22QPQ这时必有sinθ=±22QPQ取sinθ=22QPQ并取θ∈[0、2π]于是i=22QP(sinwt·cosθ+coswt·sinθ)=22QPsin(wt+θ)这就是说明，两个同频率的正弦电流相加，可以设到一个同频率的正弦电流、-8-这种方法在声波与光波的合成中也适用。评注：这个例子说明简单数学知识在物理学中的重要应用，物理学的发展离不开数学。四、椭圆方程与天体运行之间的关系：宇宙间的各天体的运行轨道绝大多数是椭圆，只是它们各自焦距、长轴、短轴不同而已，当然人造地球卫星也不例外。所以深刻理解和掌握椭圆的有关性质，对于制造和研究人造地球卫星有着重要指导作用。[题目9]假设人造地球卫星的运行轨道是椭圆：12222byax（ab0），F1、F2是椭圆的左右焦点，求：人造地球卫星的运行轨道上到地面的近距离和远距离。解：（利用椭圆的定义及平面几何知识）设点M（x，y）是人造地球卫星的运行轨道任一点∵|MF1|+|MF2|=2a∴|MF1|=2a-|MF2|①又∵||MF2|-|MF1||≤2c∴-2c≤|MF2|-|MF1|≤2c②由①与②可得：2a-2c≤2|MF2|≤2c+2a∴a-c≤|MF2|≤a+c当点M在长轴左端点时，∣MF2|=a+c是最大值，即点M相对于F2为最远点；当点M在长轴右端点时，|MF2|=a-c是最小值，即点M相对于F2为最近点；综上所述，在数学的教学中，认真备课，时时抓住数学知识的特点，一些基本数学的思想和方法及各学科之间的相互联系、学科的纵向联系，找准一些相关的素材的题目，经常性进行透彻剖析、重点剖析、让学生掌握其思想精髓，让学生感受这样的数学课是一种享受，乐意去听，对于激起学生学习数学的兴趣，产生极大的学习动力，提高数学素养是切实可行的。