浅谈对复合函数概念的认识

浅谈对复合函数概念的理解阮晓锋若u=g(x)是从A到M上的函数，而y=f(u)是从M到B内的一个函数，则称从A到B的映射为从A到B的复合函数，记作y=f[g(x)]，其中被u称为复合函数的中间变量，u=g(x),xєA叫内函数，而y=f(u),uєM叫外函数。理解：⑴复合函数的定义域即为其内函数的定义域；⑵对复合函数y=f[g(x)]而言，如果函数f(x)的定义域为A,则y=f[g(x)]的定义域为使得g(x)єA的x的取值集合；⑶若函数y=f[g(x)]的定义域为A，则函数f(x)的定义域恰为u=g(x)，xєA的值域。例1：设函数f(x)的定义域为[-2,1]，则函数xxf1-的定义域为（B）A.(0,+∞)B.[31,+∞)C.(-∞,0)∪[31,+∞)D.[3,+∞)解：由x1-xє[-2,1]解得x≥31,故选B.例2：若函数y=lg(1a2axx)的定义域为R，求实数a的取值范围；若该函数的值域为R，求实数a取值范围。解：⑴函数y=lg(1a2axx)的定义域为R即1a2axx0对xєR恒成立①当a=0时，显然1a2axx0对xєR恒成立；②当a≠0时，则得014-0a2aa解之得0a4综上得：此时实数a取值范围为[0,4）⑵若该函数的值域为则y可取任意实数。从而由1a2axx=10y知（0，+∞）1y2axayx当a=0时显然不满足上面的要求∴得014-0aa2a解之得a≥4故此时实数a取值范围为[4，+∞）。练习题1：⑴若f(x)的定义域为[2,4]，则f(1x1)的定义域为____;⑵若f(1x1)的定义域为[2,4]，则f(x)的定义域为____.题2：已知函数86-2mmxmyx的定义域为R⑴求实数m的取值范围；⑵当m变化时，若y的最小值为f(m),求f(m)的值域。题3：已知函数f(x)=bxax2,若至少存在一个正实数b,使得函数f(x)的定义域与值域相同，求实数a的取值范围。附答案提示：题1：⑴填[31，1]；⑵填[23,45，]；题2：⑴为[0,1]；⑵为[0，22]。题3：分a0,a=0,a0三种情况讨论，可得a=0或-4.