浅谈导数与微分

学校：贵阳学院系别:数学与信息科学学院专业：数学与应用数学班级：09应数班科目：数学分析选讲老师：姚老师姓名：郑刚学号：090501401007浅谈导数与微分一、引言我们知道一个函数在某点可导和可微是等价的，那我就分别从导数和微分的定义与应用来讨论它们的联系与区别。二、导数的定义1.函数在一点处可导的概念1【】定义设函数y=f(x)在x0的某个邻域内有定义．对应于自变量x在x0处有改变量x，函数y=f(x)相应的改变量为y=f(x0+x)-f(x0)，若这两个改变量的比xxfxxfxy00当x0时存在极限，我们就称函数y=f(x)在点x0处可导，并把这一极限称为函数y=f(x)在点x0处的导数(或变化率)，记作0|xxy或f(x0)或0xxdxdy或0)(xxdxxdf．即0|xxy=f(x0)=xxfxxfxyxx)()(limlim0000比值xy表示函数y=f(x)在x0到x0+x之间的平均变化率，导数0|xxy则表示了函数在点x0处的变化率，它反映了函数y=f(x)在点x0处的变化的快慢．如果当x0时xy的极限不存在，我们就称函数y=f(x)在点x0处不可导或导数不存在．在定义中，若设x=x0+x，则(2-1)可写成f(x0)=000limxxxfxfxx根据导数的定义，求函数y=f(x)在点x0处的导数的步骤如下：第一步：求函数的改变量y=f(x0+x)-f(x0)；第二步：求比值xxfxxfxy)()(00；第三步：求极限f(x0)=xyx0lim．例1求y=f(x)=x2在点x=2处的导数．解y=f(2+x)-f(2)=(2+x)2-22=4x+(x)2；xxxxy24=4+x；xyx0lim=0limx(4+x)=4．所以y|x=2=4．1【】注：当xxfxxfx000lim存在时，称其极限值为函数y=f(x)在点x0处的左导数，记作)(0xf；当xxfxxfx000lim存在时，称其极限值为函数y=f(x)在点x0处的右导数，记作)(0xf．据极限与左、右极限之间的关系f(x0)存在)(0xf,)(0xf，且)(0xf=)(0xf=f(x0)．2.导函数的概念如果函数y=f(x)在开区间(a,b)内每一点处都可导，就称函数y=f(x)在开区间(a,b)内可导．这时，对开区间(a,b)内每一个确定的值x0都有对应着一个确定的导数f(x0)，这样就在开区间(a,b)内，构成一个新的函数，我们把这一新的函数称为f(x)的导函数，记作等f(x)或y等．根据导数定义，就可得出导函数f(x)=y=xxfxxfxyxx00limlim导函数也简称为导数．注意：（１）f(x)是x的函数，而f(x0)是一个数值（２）f(x)在点处的导数f(x0)就是导函数f(x)在点x0处的函数值．例2：求y=C(C为常数)的导数．解因为y=C-C=0，xxy0=0，所以y=0limxxy=0．注：常数的导数恒等于零例3：求y=sinx,(xR)的导数．解xy=xxxxsin)sin(，在§1-7中已经求得0limxxy=cosx，即(sinx)=cosx．用类似的方法可以求得y=cosx,(xR)的导数为(cosx)=-sinx．三、可导和连续的关系如果函数y=f(x)在点x0处可导，则存在极限0limxxy=f(x0)，则xy=f(x0)+(0limx=0)，或y=f(x0)x+x(0limx=0)，所以0limxy=0limx[f(x0)x+x]=0．这表明函数y=f(x)在点x0处连续．但y=f(x)在点x0处连续，在x0处不一定是可导的．高阶导数的概念1【】定义设函数y=f(x)存在导函数f(x)，若导函数f(x)的导数[f(x)]存在，则称[f(x)]为f(x)的二阶导数，记作y或f(x)或22dxyd,22)(dxxfd，即y=(y)=)(dxdydxd=22dxyd．若二阶导函数f(x)的导数存在，则称f(x)的导数[f(x)]为y=f(x)的三阶导数，记作y或f(x)．一般地，若y=f(x)的n-1阶导函数存在导数，则称n-1阶导函数的导数为y=f(x)的n阶导数，记作y(n)或f(n)(x)或nndxyd,nndxxfd)(，即y(n)=[y(n-1)]或f(n)(x)=[f(n-1)(x)]或nndxyd=)(11nndxyddxd．因此，函数f(x)的n阶导数是由f(x)连续依次地对x求n次导数得到的．函数的二阶和二阶以上的导数称为函数的高阶导数．函数f(x)的n阶导数在x0处的导数值记作记作y(n)(x0)或f(n)(x0)或0xxnndxyd等．例4求函数y=3x3+2x2+x+1的四阶导数y(4)．解y=(3x3+2x2+x+1)=9x2+4x+1；y=(y)=(9x2+4x+1)=18x+4；y=(y)=(18x+4)=18；y(4)=(y)=(18)=0．四、导数的物理应用21【】速度与加速度设物体作直线运动，位移函数s=s(t)，速度函数v(t)和加速度函数a(t)分别为v(t)=dtds，a(t)=22dtsd．设位移函数为s=2t3－21gt2，(g为重力加速度，取g=9.8m/s2)，求t=2s时的速度和加速度．则v(2)=2tdtds=(2t3－21gt2)|t=2=(6t2－gt)|t=2=24－19.6=4.4(m/s)；a(2)=222tdtsd=(2t3－21gt2)|t=2=(6t2－gt)|t=2=(12t－g)|t=2=24－9.8=14.2(m/s2)．22【】电流电流单位时间内通过导体截面的电量，即电量关于时间的变化率．记q(t)为通过截面的电量，I(t)为截面上的电流，则I(t)=q(t)．现设通过截面的电流q(t)=20sin(25t+2)(C)，则通过该截面的电流为I(t)=[20sin(25t+2)]=2025cos(25t+2)=500cos(25t+2)．五、微分的概念１．微分定义3【】定义如果函数y=f(x)在点x0处的改变量y可以表示为x的线性函数Ax(A是与x无关、与x0有关的常数)与一个比x更高阶的无穷小之和y=Ax+o(x)，则称函数f(x)在x0处可微，且称Ax为函数f(x)在点x0处的微分，记作dy0xx，即dy0xx=Ax．函数的微分Ax是x的线性函数，且与函数的改变量y相差是一个比x更高阶的无穷小，当x0时，它是y的主要部分，所以也称微分dy是改变量y的线性主部，当|x|很小时，就可以用微分dy作为改变量y的近似值：ydy．如果函数y=f(x)在点x0处可微，按定义有y=Ax+o(x)，上式两端同除以x，取x0的极限，得0limxxy0limx[A+xxo)(]=A，结论：若y=f(x)在点x0处可微，则在x0处必定可导，且A=f(x0)．反之，如果函数f(x)在点x0处可导，即0limxxy=f(x0)存在，根据极限与无穷小的关系，上式可写成xy=f(x0)+，其中为x0时的无穷小，从而y=f(x0)x+x，这里f(x0)是不依赖于x的常数，x当x0时是比x更高阶的无穷小．按微分的定义，可见f(x)在点x0处是可微的，且微分为f(x0)x．结论：函数y=f(x)在点x0处可微的充分必要条件是在点x0处可导，且dy0xx=f(x0)x．由于自变量x的微分dx=(x)x=x，所以y=f(x)在点x0处的微分常记作dy0xx=f(x0)dx．如果函数y=f(x)在某区间内每一点处都可微，则称函数在该区间内是可微函数．函数在区间内任一点x处的微分dy=f(x)dx．由此还可得f(x)=dxdy，这是导数记号dxdy的来历，同时也表明导数是函数的微分dy与自变量的微分dx的商，故导数也称为微商．2．微分在近似数值计算应用若对可导函数且0'0fx，y=f(x)需要计算改变量y=f(x0+x)-f(x0)或f(x0+x)．因为当|x|很小时有近似式：ydy，即f(x0+x)-f(x0)f(x0)x或f(x0+x)f(x0)+f(x0)x，例5求sin31的近似值(精确到第4位小数)．解31＝18031，因为18030=6是一个特殊角，取x0=6．18031=6+180=x0+180=x0+x,x=180．由(1)式sin(18031)=sin(x0+x)sinx0+cosx0x=sin6+cos6180=0.5+231800.5151．例6.0360cos的近似值计算o解：,cos)(xxf设)(,sin)(为弧度xxxf,360,30xx.23)3(,21)3(ff)3603cos(0360coso3603sin3cos3602321.4924.0六、导数和微分的联系与区别第一，每一点处的微分事实上都必须通过这一点的导数来表达和计算；第二，在比较复杂的情况下（比如高阶的微分和导数以及多元函数的微分和导数等），无论是形式地思考还是实际地处理问题，由导数入手都要比由微分入手更容易和简单一些。第三，导数有它本身的意义，在数学的理论及其实际应用方面都扮演着重要的角色。参考文献【1】傅沛仁，林玎，刘宁等主编.数学分析讲义.第四版.高等教育出版社，2008.【2】华东大学出版社物理系编.大学物理.第二版.高等教育出版社，2004.【3】华东大学出版社物理系编.数学分析.第三版.高等教育出版社，2009.