浅谈平均值

更多资料请访问：豆丁教育百科浅谈平均值倪志强（浙江省洞头县第一中学325700）如图1所示，函数y=f(x)在21xx到区域内与横轴所围成的面积为S，则y在21xx到区域内的平均值为12xxS)x(f。物理量的平均值不仅与21xx到这一区域有关，还与选择怎样的自变量x有关。图11.平均速度平均速度的定义式是tsv。对于匀变速直线运动，由于速度对时间是线性变化，所以2vvvt0。例1伽利略通过研究自由落体和物块沿光滑斜面的运动，首次发现了匀加速运动规律。伽利略假设物块沿斜面运动与物块自由下落遵从同样的法则，他在斜面上用刻度表示物块滑下的路程，并测出物块通过相应路程的时间，然后用图线表示整个运动过程，如图2所示。图中OA表示测得的时间，矩形OAED的面积表示该时间内物块经过的路程，则图中OD的长度表示_____________。P为DE的中点，连接OP且延长交AE的延长线于B，则AB的长度表示______________。（06年上海高考）图2分析由题意，路程tODOAODSsOAED矩形，又tvs，比较两式可知OD表示平均速度。由CP是ΔOAB的中位线，得2ABODCP，更多资料请访问：豆丁教育百科又匀加速直线运动的平均速度2vvvt0，所以AB表示物块的末速度。2.力的平均值常见的力的平均值有两种：（1）功xFW中的力F，它以位移（空间）x为自变量；（2）冲量tFI中的力F，它以时间t为自变量。例2一根截面积为S、长为H的粗细均匀木棒，在外力作用下，以速度v匀速竖直向下浸入水中，求从木棒开始接触水面到全部浸入过程中，浮力做的功与浮力的冲量各是多少？（水的密度为ρ）分析浮力随木棒浸入水中的深度x的变化关系为gSxVg)x(F，可见F(x)与x成正比，所以gSH212FF)x(FH0，因此2gSH21H)x(FW。浮力随木棒浸入水中的时间的变化关系为gSvtgSxVg)t(F，可见F(t)与t成正比，所以gSH212FF)t(FH0，因此v2gSHt)t(FI2。在此例中，有)x(F)t(F。但若木棒以初速度v，加速度a匀加速浸入水中，则浮力对空间（x）仍是线性变化，其平均力仍为gSH21)x(F。但浮力随时间（t）的变化关系为)2atvt(gSgSx)t(F2，F(t)随t非线性变化，这时2FF)x(F)t(FH0。思考若质量为m的雨滴下落时所受阻力与速度成正比，雨滴的最大速度为mv，雨滴在从速度为零到mv的过程中阻力的功率P是否也可以用mvFP来计算？显然不可以！因为功是力在位移上的积累，冲量是力在时间上的积累，而功率不是力在速度上的积累。3.电流的平均值更多资料请访问：豆丁教育百科感应电动势的平均值tn)t(E，所以感应电流的平均值tRnREI总总。又根据电流的定义tqI，则有总Rnq。要注意，电流的平均值和有效值是两个不同的概念，求电流做功W=UIt用有效值，求电量tIq用平均值，求安培力的冲量LtIBtFI也用平均值。例3如图3所示，无限长的光滑金属导轨固定在绝缘水平面上，轨道间距L=1m，底部接有阻值4.0R的定值电阻，前端开口。竖直向上的匀强磁场的磁感应强度B=2.0T。一质量为m=0.5kg的金属棒ab与导轨接触良好，电路中其余部分电阻不计。现用一质量为M=2.0kg的物体通过一不可伸长且平行于导轨的轻质细绳绕过光滑的定滑轮与ab相连。由静止释放M，不计空气阻力和电磁辐射，当M下落高度h=2.0m时，ab开始匀速运动（运动中ab始终垂直于导轨，并接触良好，取2s/m10g）。在ab棒从开始运动到开始匀速运动的过程中，求：（1）流过电阻R的电量q；（2）电流的平均值I；（3）电流的有效值I；（4）平均速度v。图3分析（1）tREtIqC10RBLhRttR。注电量的多少只和磁通量变化的多少有关，和变化的快慢无关。（2）对于M、m系统，由动量定理得mv)mM(tFtMg。由于RIEBLvEBLIMgmmmmm＝，，，得s/m2LBMgRv22m。更多资料请访问：豆丁教育百科因为LIBF，所以BLqtLIBtF，得s25.1MgBLqv)mM(tm，所以A8tqI。（3）对于M、m系统，由功能关系得2mv)mM(21MghQ，所以A4.8tRQI。（4）s/m6.1thv。小结用恒定物理量代替变化的物理量时，要弄清该物理量是在何自变量上的积累，函数的形式怎样，积累的区域如何。自变量不同，函数不同，区域不同，那么同一个物理量的平均值就不一定相同。